Javier Junquera

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Movimiento de rotación
Javier Junquera
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Bibliografía
Física, Volumen 1, 3 edición Raymod A. Serway y
John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson ISBN
84-9732-168-5 Capítulo 10
Física, Volumen 1 R. P. Feynman, R. B. Leighton,
y M. Sands Ed. Pearson Eduación ISBN
968-444-350-1 Capítulo 8
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Momento (o par o torque) de una fuerza
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo
rígido que puede girar alrededor de un cierto eje
gracias a un pivote, y la línea de acción de la
fuerza no pasa a través de ese pivote, el cuerpo
tiende a girar alrededor de ese eje
La línea de acción de una fuerza es una línea
imaginaria colineal con el vector fuerza y que se
extiende hasta al infinito en ambas direcciones
La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo
gire alrededor de un eje se mide mediante una
magnitud vectorial denominada par (o momento
axial) de la fuerza
El par es la causa de los cambios producidos en
el movimiento de rotación y juega un papel en la
dinámica de rotación análogo a las fuerzas en la
dinámica de traslación
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Momento (o par o torque) de una fuerza
Hasta ahora hemos definido el módulo, pero el
momento de una fuerza es un vector
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Interpretación de la fórmula del módulo del
momento (I)
Solo la componente perpendicular provoca un giro
alrededor del pivote
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Interpretación de la fórmula del módulo del
momento (II)
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Momento de un sistema de fuerzas
Si dos o más fuerzas están actuando sobre un
cuerpo rígido, cada una de ellas tiene una cierta
tendencia a producir un movimiento de rotación
alrededor del punto de pivote
Si el cuerpo está inicialmente en reposo
Por convenio signo positivo
Por convenio signo negativo
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No se debe confundir momento con fuerza
Las fuerzas también pueden producir cambios en
los movimientos de rotación, per su efectividad
no solo depende del módulo de la fuerza sino del
punto de aplicación con respecto al eje de giro
Las fuerzas pueden producir cambios en los
movimientos lineales (segunda ley de Newton)
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Naturaleza vectorial del momento de una fuerza
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Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
Supongamos que podemos considerar un cuerpo
rígido en rotación como un conjunto de partículas.
El cuerpo rígido está sometido a la acción de un
número de fuerzas que se aplican en distintas
posiciones del cuerpo rígido, en las cuales
estarán situadas determinadas partículas.
Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se
ejercen sobre el cuerpo rígido como si fueran
ejercidas sobre partículas individuales del mismo.
Calcularemos el momento neto sobre el objeto
debido a los momentos resultantes de la acción de
estas fuerzas alrededor del eje de rotación del
cuerpo.
Cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo rígido
puede ser descompuesta en sus componentes radial
y tangencial.
La componente radial de la fuerza aplicada no
contribuye al momento, dado que su línea de
acción pasa a través del eje de rotación. Solo
la componente tangencial contribuye al par.
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Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
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Segunda ley de Newton en las rotaciones
La segunda ley de Newton en las rotaciones El par
neto que actúa sobre un cuerpo rígido es
proporcional a su aceleración angular y la
constante de proporcionalidad es el momento de
inercia
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Trabajo y energía en el movimiento de rotación
La componente radial de la fuerza no realiza
ningún trabajo porque es perpendicular al
desplazamiento
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Trabajo y energía en el movimiento de rotación
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Trabajo y energía en el movimiento de rotación
A partir de la segunda ley de Newton para las
rotaciones
Exactamente la misma fórmula matemática que el
teorema de las fuerzas vivas para el movimiento
de traslación
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Potencia en el movimiento de rotación
La potencia es el ritmo al cual una fuerza
realiza un trabajo
Con lo que la potencia instantánea queda definida
como
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Definición de momento angular o cinético
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Definición de momento angular o cinético
Consideremos una partícula de masa m, con un
vector de posición y que se mueve con una
cantidad de movimiento
Tanto el módulo, la dirección como el sentido del
momento angular dependen del origen que se elija
Unidades SI kg m2/s
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Momento angular o cinético Casos particulares
Módulo
Dirección y sentido
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Conservación del momento angular
Ecuación análoga para las rotaciones de las
segunda ley de Newton para las traslaciones
Esta ecuación es válida - sólo si los momentos
de todas las fuerzas involucradas y el momento
angular se miden con respecto al mismo
origen. -válida para cualquier origen fijo en un
sistema de referencia inercial.
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Conservación del momento angular
(ley de Gravitación Universal)
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Analogías entre rotaciones y traslaciones
Rotaciones
Traslaciones
Una fuerza neta sobre una partícula produce un
cambio en el momento lineal de la misma
Un torque neto sobre una partícula produce un
cambio en el momento angular de la misma
Una torque neto actuando sobre una partícula es
igual a la razón de cambio temporal del momento
angular de la partícula
Una fuerza neta actuando sobre una partícula es
igual a la razón de cambio temporal del momento
lineal de la partícula
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Momento angular de una partícula en un movimiento
circular
Como el momento lineal de la partícula está en
constante cambio (en dirección, no en magnitud),
podríamos pensar que el momento angular de la
partícula también cambia de manera contínua con
el tiempo
Sin embargo este no es el caso
Una partícula en un movimiento circular uniforme
tiene un momento angular constante con respecto a
un eje que pase por el centro de la trayectoria
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Momento angular total de un sistema de partículas
El momento angular total de un sistema de
partículas con respecto a un determinado punto se
define como la suma vectorial de los momento
angulares de las partículas individuales con
respecto a ese punto.
En un sistema continuo habría que reemplazar la
suma por una integral
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Momento angular total de un sistema de partículas
A priori, para cada partícula i tendríamos que
calcular el torque asociado con - fuerzas
internas entre las partículas que componen el
sistema - fuerzas externas
Sin embargo, debido al principio de acción y
reacción, el torque neto debido a las fuerzas
internas se anula.
Se puede concluir que el momento angular total de
un sistema de partículas puede variar con el
tiempo si y sólo si existe un torque neto debido
a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
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Momento angular total de un sistema de partículas
EL torque neto (con respecto a un eje que pase
por un origen en un sistema de referencia
inercial) debido a las fuerzas externas que
actúan sobre un sistema es igual al ritmo de
variación del momento angular total del sistema
con respecto a dicho origen
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Momento angular de un sólido rígido en rotación
Consideremos una placa que rota alrededor de un
eje perpendicular y que coincide con el eje z de
un sistema de coordenadas
Y el momento angular del sistema angular (que en
este caso particular sólo tiene componente a lo
largo de z)
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Momento angular de un sólido rígido en rotación
Y el momento angular del sistema angular (que en
este caso particular sólo tiene componente a lo
largo de z)
Donde se ha definido el momento de inercia del
objeto con respecto al eje z como
En este caso particular, el momento angular tiene
la misma dirección que la velocidad angular
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Momento angular de un sólido rígido en rotación
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Ecuación del movimiento para la rotación de un
sólido rígido
Supongamos que el eje de rotación del sólido
coincide con uno de sus ejes principales, de modo
que el momento angular tiene la misma dirección
que la velocidad angular
Derivando esta expresión con respecto al tiempo
Si asumimos que el momento de inercia no cambia
con el tiempo (esto ocurre para un cuerpo rígido)
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Ecuación del movimiento para la rotación de un
sólido rígido
Supongamos que el eje de rotación del sólido no
coincide con uno de sus ejes principales, de modo
que el momento angular tiene la misma dirección
que la velocidad angular
Pero como el momento angular ya no es paralelo a
la velocidad angular, ésta no tiene por qué ser
constante
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Conservación del momento angular
El momento angular total de un sistema es
contante, tanto en dirección como en módulo si el
torque resultante debido a las fuerzas externas
se anula
Tercera ley de conservación en un sistema
aislado se conserva - energía total - el
momento lineal - el momento angular
El principio de conservación del momento angular
es un resultado general que se puede aplicar a
cualquier sistema aislado. El momento angular de
un sistema aislado se conserva tanto si el
sistema es un cuerpo rígido como si no lo es.
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Conservación del momento angular
El momento angular total de un sistema es
contante, tanto en dirección como en módulo si el
torque resultante debido a las fuerzas externas
se anula
Para un sistema aislado consistente en un
conjunto de partículas, la ley de conservación se
escribe como
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Conservación del momento angular
Si la masa de un sistema aislado que rota sufre
un redistribución, el momento de inercia cambia
Como la magnitud del momento angular del sistema
es
La ley de conservación del momento angular
requiere que el producto de I por w permanezca
constante
Es decir, para un sistema aislado, un cambio en I
requiere un cambio en w
Esta expresión es válida para - una rotación en
torno a un eje fijo. - una rotación alrededor de
un eje que pase por el centro de masas de un
sistema que rota. Lo único que se requiere es que
el torque neto de la fuerza externa se anule
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Comparación de los movimientos lineales y
movimientos rotacionales
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Transparencias de soporte
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Cálculos de momentos de inercia
Sistema discreto
Sistema continuo
Placa plana