M

1
MÉTODOS NUMÉRICOS1.1 Raíces
2
RAÍCES DE ECUACIONES
3
DEFINICIÓN
raíces reales
raíces complejas
4
ECUACIONES ALGEBRAICAS

• Solución de una ecuación algebraica de primer
  grado
• es solución de
• Solución de una ecuación algebraica de segundo
  grado
• es solución de

5
BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ
Bisección
Regla falsa
Punto fijo
Newton Raphson
Secante
6
MÉTODOS GRÁFICOS

• Como auxiliares en la comprensión visual de los
  métodos numéricos tantos cerrados como abiertos,
  para identificar el número de posibles raíces y
  la identificación de casos en los que los métodos
  abiertos no funcionan.

7
BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES
8
RAÍCES DE POLINOMIOS
9
EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN INGENIERÍA
10
RAÍCES DE ECUACIONES
11
MÉTODO GRÁFICO
f(x)
Visual
x
xr
12
MÉTODO GRÁFICO
13
MÉTODO DE BISECCIÓN

1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en
   el que se garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
   bisección xm como aproximación de la raíz
   buscada.
3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos
   está la raíz.
4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto
   de bisección xm, coincide prácticamente con el
   valor exacto de la raíz.

14
PASO 1.
f(x)
f(xi)
x
xs
xi
f(xs)
15
PASO 2.

• La fórmula de recurrencia para el método de
  bisección es el promedio de los valores inferior
  y superior de los extremos del intervalo

16
PASO 2. (CONTINUA)
f(x)
f(xi)
f(xr)
x
xs
xi
xr
f(xs)
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PASO 3.

• Realizar las siguientes evaluaciones para
  determinar en cual de los dos intervalos esta la
  raiz
• Si f(xi)f(xm)lt0 entonces la raiz esta en el
  subintervalo inferior. Por lo tanto xixm
  f(xi)f(xm) y continua paso 2.
• Si f(xi)f(xm)gt0 entonces la riaz esta en el
  subintervalo superior. Por lo tanto xsxm
  f(xs)f(xm) y continua paso 2.

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PASO 4.

1. El proceso se repite n veces, hasta que el punto
   de bisección xm, coincide prácticamente con el
   valor exacto de la raíz.

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MÉTODO DE BISECCIÓN
Valor Verdadero 0.567143
Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e() e()
1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84  
2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33
3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00
4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11
5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26
6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70
7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37
8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69
9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34
10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17
11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09
12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04
13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02
14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01
Intervalos
Función
Raiz media