Die theoretischen Grundlagen der Bondgraphen-Methodik

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Die theoretischen Grundlagen der
Bondgraphen-Methodik

• In dieser Vorlesung wollen wir uns die
  theoretische Untermauerung der Bondgraphen-Methodi
  k etwas genauer ansehen. Insbesondere befassen
  wir uns mit den vier Basisvariabeln sowie mit den
  Eigenschaften kapazitiver und induktiver
  Speicherelemente, und schliesslich erörtern wir
  das Dualitätsprinzip der Bondgraphen.
• Ebenfalls werden wir die zwei Typen von
  Energieumformern, den Transformator und den
  Gyrator, einführen und die Bondgraphen-Methodik
  auf hydrauli-sche Anwendungen erweitern.

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Table of Contents

• Die vier Basisvariabeln der Bondgraphen-Methodik
• Eigenschaften der Speicherelemente
• Hydraulische Bondgraphen
• Energieumwandlung
• Elektromechanische Systeme
• Das Dualitätsprinzip der Bondgraphen
• Die Diamantenregel

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Die vier Basisvariablen der Bondgraphenmethodik

• Neben den beiden adjugierten Variablen e und f,
  gibt es zwei weitere physikalische Grössen, die
  bei Bondgraphen eine Rolle spielen

Verallgemeinertes Moment
Verallgemeinerte Position
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Relationen zwischen den Basisvariablen
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Nichtlineare Kapazität
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Lineare Speicher
q C( e )
Allgemeine Kapazitätsgleichung
q C e
Lineare Kapazitätsgleichung
Lineare Kapazitätsgleichung abgeleitet
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Einsatz Fluss Verallgemeinertes Moment Verallgemeinerte Verschiebung
e f p q
Elektrische Schaltungen Spannung u (V) Strom i (A) Magn. Fluss ? (Vsec) Ladung q (Asec)
Translations-systeme Kraft F (N) Geschwindigkeit v (m / sec) Kraftmoment M (Nsec) Verschiebung x (m)
Rotations-systeme Drehmoment T (Nm) Winkelgeschw. ? (rad / sec) Torsion T (Nmsec) Winkel ? (rad)
Hydraulische Systeme Druck p (N / m2) Volumenfluss q (m3 / sec) Druckmoment G (Nsec / m2) Volumen V (m3)
Chemische Systeme Chem. Potential ? (J / mol) Molarer Fluss ? (mol/sec) - Anzahl Mole n (mol)
Thermodynamik- systeme Temperatur T (K) Entropiefluss S (W / K) - Entropie S (J / K )
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Hydraulische Bondgraphen I

• In der Hydraulik sind die beiden adjugierten
  Variablen der Druck p und der Volumenfluss q.
  Dabei wird der Druck als Einsatzvariable
  (Potential) betrachtet, während der Volumenfluss
  die Rolle der Flussvariable übernimmt.
• Der kapazitive Speicher beschreibt die
  Kompression der Flüssigkeit als Funktion des
  Drucks, während der induktive Speicher die
  Trägheit der bewegten Flüssigkeit modelliert.

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Hydraulische Bondgraphen II
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Energieumwandlung

• Neben den bisher betrachteten Elementen zur
  Energiespei-cherung ( C und I ) sowie Dissipation
  (Umwandlung in Wärme) ( R ) werden noch zwei
  weitere Elemente benötigt, welche allgemeine
  Energiewandler beschreiben, den Transformator
  und den Gyrator.
• Während Widerstände die irreversible Umwandlung
  freier Energie in Wärme beschreiben, werden
  Transformatoren und Gyratoren verwendet, um
  reversible Energieumwand-lungsvorgänge zwischen
  gleichartigen oder verschieden-artigen
  Energieformen zu beschreiben.

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Transformatoren
e1 m e2
(1)
Übersetzung
e1 f1 e2 f2
(2)
Energieerhaltung
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Die Kausalisierung des Transformators
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Beispiele von Transformatoren
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Gyratoren
e1 r f2
(1)
Übersetzung
e1 f1 e2 f2
(2)
Energieerhaltung
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Die Kausalisierung des Gyrators
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Beispiel eines Gyrators
r ?
Beim Gleichstrommotor ist das Drehmoment tm
proportional zum Ankerstrom ia , während sich die
induzierte Spannung ui proportional zur
Winkelgeschwindigkeit ?m verhält.
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Beispiel eines elektromechanischen Systems
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Das Dualitätsprinzip

• Es ist möglich, jeden Bondgraphen zu
  dualisieren, indem die Definitionen der
  Einsatz- und Flussgrössen vertauscht werden.
• Beim Dualisieren werden Einsatzquellen zu
  Flussquellen, Kapazitäten zu Induktivitäten,
  Widerstände zu Leitwerten, und umgekehrt.
• Bei den Transformatoren und Gyratoren wird der
  Wert der Übersetzung invertiert.
• Die beiden Verzweigungen vertauschen ihren Typus.
• Alle Kausalitätsstriche wandern ans jeweils
  andere Ende jedes Bonds.

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1. Beispiel
Die beiden Bondgraphen liefern iden-tische
Simulationsresultate.
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2. Beispiel
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Partielle Dualisierung

• Es ist immer möglich, Bondgraphen partiell zu
  dualisieren.

Bei den Transformatoren und Gyratoren ist die
partielle Dualisie-rung besonders einfach zu
bewerkstelligen. Die beiden Wandler tauschen
dabei ihren Typ. So mag es z.B. sinnvoll sein,
nur die mechanische Seite zu dualisieren, während
die elektrische Seite in der Originalkausalität
belassen wird. Es kann aber auch bei jedem
einzelnen Bond partiell dualisiert werden. Dabei
wird der verdrehte Bond zu einem Gyrator mit
der Übersetzung r1. Ein solcher Gyrator wird in
der Literatur als symplektischer Gyrator
bezeichnet.
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Umformung von Bondgraphen

• Jedes physikalische System mit konzentrierten
  Parametern kann durch einen Bondgraphen
  beschrieben werden.
• Die Bondgraphendarstellung ist aber nicht
  eindeutig, d.h. mehrere verschiedene Bondgraphen
  können identische Gleichungssysteme
  repräsentieren.
• Eine Mehrdeutigkeit haben wir bereits kennen
  gelernt die Dualisierung.
• Es gibt aber auch Mehrdeutigkeiten, die nicht auf
  Dualisierung zurückzuführen sind.

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Die Diamantenregel
?
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Referenzen

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
  Springer-Verlag, New York, Chapter 7.