Kapitel III. Elementare Theorie

1

• Kapitel III. Elementare Theorie
• der Vektorräume

Die grundlegenden Begriffe Lineare
Unabhängigkeit(), Erzeugendensystem und
Basis werden eingeführt und studiert.
Diesen Begriffen liegt der Begriff der
Linearkombination zugrunde.
______________________________ ()Wer Lineare
Unabhängigkeit begriffen hat, der hat die
Lineare Algebra verstanden.
2

• 12 Linearkombination und Erzeugendensystem

Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W, ...
sind Vektorräume über K .
Zur Motivation des Begriffes Linearkombination
noch ein Beispiel
(12.1) Beispiel Es sei Cn(I) der in 10.11
eingeführte R-Vektorraum der n-mal stetig
differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf
dem Intervall I.
Unter einer homogenen linearen Differentialgleichu
ng n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
versteht man
Dabei sind die ak Koeffizienten aus R, also
konstante reelle Zahlen, und die f(k) sind die
k-fachen Ableitungen, also
3
Kapitel III, 12
26.11.01 ?
Unter einer Lösung der Differentialgleichung
versteht man eine Funktion f aus Cn(I) , die die
Gleichung in jedem Punkt aus I erfüllt.
Die wesentliche Aussage, die hier vorgestellt
werden soll, ist
Sind f1, f2, ..., fm Lösungen der
Differentialgleichung und s1, s2, ... , sm reelle
Zahlen, so ist die Linearkombination
ebenfalls eine Lösung.
die Eigenschaft
hat. (L ist linear.)
4
Kapitel III, 12
Daher ist die Menge der Lösungen ein
Untervektorraum von Cn(I) , also insbesondere
überhaupt ein Vektorraum über R.
? 21.11.01
(12.2) Definition Sei V ein K-Vektorraum.
1o Für Vektoren a1, a2, ..., am aus V und s1,
s2, ... , sm aus K , heißt
Linearkombination der a1, a2, ..., am .
2o Für eine Teilmenge A aus V heißt
die lineare Hülle von A .
3o Eine Teilmenge A aus V heißt
Erzeugendensystem (des Vektorraums V), wenn
Span(A) V gilt.
5
Kapitel III, 12
(12.3) Bemerkungen, Beispiele Sei V ein
K-Vektorraum, A aus V .
1o Die Quintessenz unseres Führungsbeispiels
12.1 ist Jede Linearkombination von Lösungen der
Differentialgleichng ist wieder eine Lösung.
2o Entsprechend dem Kriterium für
Untervektorräume (vgl. 10.4) gilt
Eine Teilmenge U von V ist genau
dann ein Untervektor-raum, wenn sie abgeschlossen
gegenüber Linearkombinationen ist,
3o A ist genau dann Untervektorraum, wenn
Span(A) A .
4o Span(A) ist immer ein Untervektorraum von V .
5o Span(Span(A)) Span(A) , und A liegt in
Span(A) .
6o Für b aus V gilt Span(b) Kb .
7o V erzeugt V .
6
Kapitel III, 12
8o Die leere Menge wie auch die Menge 0
erzeugen 0.
9o Die Standardeinheitsvektoren e1, e2, ... ,
en erzeugen Kn.
Im R3 werden diese Einheitsvektoren z.B. auch mit
ex, ey, ez bezeichnet.
11o Ebenso Tk k aus N erzeugt den
Vektorraum KT der Polynome.
12o KT wird auch von den Monomen M sTk
k aus N und s aus K erzeugt (M ist nicht gleich
KT).
(12.4) Bemerkung Die jeweiligen
Linearkombinationen in den Beispielen 9o- 11o
sind eindeutig, dh. die erzeugten Vektoren werden
eindeutig dargestellt.
Diese Eigenschaft liegt daran, dass in
den genannten Beispielen die erzeugende Menge
linear unabhängig ist.
7

• 13 Lineare Unabhängigkeit

(13.1) Definition V sei wieder ein K-Vektorraum.
1o Eine endliche Menge a1, a2, ... am von
Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es
Skalare s1, s2, ... sm aus K gibt mit

• s1a1 s2a2 ... smam 0 , und

• nicht alle sk sind Null dh. es gibt ein j aus
  1,2, ... ,m mit sj ist nicht 0 .

2o Eine endliche Menge a1, a2, ... am von
Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn für
alle Skalare s1, s2, ... sm aus K gilt

• Aus s1a1 s2a2 ... smam 0 folgt s1 s2
  ... sm 0 .

Offensichtlich ist eine endliche Menge genau dann
linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig
ist.
8
Kapitel III, 13
(13.2) Bemerkungen, Beispiele Sei V ein
K-Vektorraum.
1o Die Standardeinheitsvektoren e1, e2, ... ,
en aus Kn sind linear unabhängig.
2o Für jeden weiteren Vektor x aus Kn ist x,
e1, e2, ... , en linear abhängig.
3o A a ist genau dann linear abhängig, wenn
a 0 .
4o A a,b ist genau dann linear abhängig,
wenn a in Kb oder b in Ka liegt. Analog mit 3
Vektoren.
Anschauung dahinter Punkt, Gerade,
Ebene (durch 0).
5o A a1, a2, ... am ist genau dann linear
abhängig, wenn es einen Index k zwischen 1 und
m gibt sowie Skalare s1, s2, ... sk-1, sk1, ...
, sm aus K mit
Dh. ak ist Linearkombination der übrigen Elemente
aus A .
9
Kapitel III, 13
28.11.01 ?
6o Sei A aus V eine nichtleere endliche Menge.
Dann
7o a1, a2, ... am sei linear unabhängig, und
für ein x sei die Menge x, a1, a2, ... am
linear abhängig.
Dann ist x Linearkombination der a1, a2, ... am .
(13.3) Definition (Ergänzung zu 13.1) Sei A eine
Teilmenge im K-Vektorraum V .
Diese Definition ist mit der von 13.1 kompatibel
wegen 13.2.6o . Sie ist anwendbar auch auf
beliebige Teilmengen von V.
? 26.11.01
10
Kapitel III, 13
(13.4) Bemerkungen, Beispiele Sei V ein
K-Vektorraum.
1o Die leere Menge ist linear unabhängig.
3o Ebenso Tk k aus N ist linear unabhängig
in KT .
(13.5) Fundamentallemma K sei Körper. Ein
homogenes lineares Gleichungssystem
mit n Gleichungen und mit den m Unbestimmten xj
hat im Falle m gt n stets eine nichttriviale
Lösung dh. x aus Km\0 mit den Komponenten xj ,
so dass das Gleichungssystem erfüllt ist.
(13.6) Schrankenlemma Hat der K-Vektorraum V ein
Erzeugen-densystem mit n Elementen (n aus N), so
sind je n1 Vektoren aus V stets linear abhängig.
11
Kapitel III, 13
Beweis Sei a1, a2, ... an Erzeugendensystem
von V.
Und seien b1, b2, ... bn, bn1 beliebige Vektoren
aus V.
Gesucht werden xj aus K , nicht alle 0, mit
Die Behauptung folgt jetzt aus dem
Fundamentallemma 13.5, denn
hat eine nichttriviale Lösung (n Gleichungen, n1
Unbestimmte).
12

• 14 Basis und Dimension

03.12.01?
(14.1) Definition V sei wieder ein K-Vektorraum.
Eine Menge B von Vektoren aus V heißt Basis von
V, wenn gilt

• B ist Erzeugendensystem von V , und

• B ist linear unabhängig.

(14.2) Beispiele
1o e1, e2, ... , en aus Kn ist Basis von Kn
Nach 12.3.9o Erzeugendensystem, nach 13.2.1o
linear unabhängig.
2o Auch e1e2, e1-e2, e3 ... , en ist eine
Basis von Kn, wenn in K die Gleichung 2x 0 nur
die Lösung x 0 hat, z.B. K aus R,C,Q .
3o Aber für x aus Kn ist x, e1, e2, ... , en
keine Basis von Kn, vgl. 13.2.2o.
5o Ebenso Tk k aus N ist Basis von KT .
6o Die leere Menge ist Basis von 0 .
13
Kapitel III, 14
(14.3) Lemma B sei ein Erzeugendensystem des
K-Vektorraums V.
Die folgenden Aussagen sind dann äquivalent
1o B ist Basis von V.
2o Jeder Vektor x aus K hat eine eindeutige
Darstellung als Linearkombination (bis auf die
Reihenfolge der Summation)
x s1b1 s2b2 ... smbm .
mit bk aus B und sk aus K\0 .
3o B ist minimales Erzeugendensystem, d.h. B
erzeugt V und für jede echte Teilmenge A von B
ist A nicht Erzeugendensystem von V.
Die grundlegenden Fragestellungen zum
Basisbegriff
1o Hat jeder K-Vektorraum eine Basis?
2o Steht die Anzahl der Basiselemente (im Falle
der Existenz) fest?
14
Kapitel III, 14
3o Wie kann die Gesamtheit der Basen (im Falle
der Existenz) beschrieben werden?

? 28.11.01
Zur Frage 2o
(14.4) Satz V sei ein endlich erzeugter
K-Vektorraum. Dann
Je zwei Basen haben gleichviel Elemente.
Zur Frage 1o
(14.5) Basissatz (für endlich erzeugte
Vektorräume) V sei ein endlich erzeugter
K-Vektorraum mit einem Erzeugendensystem E. Dann
gilt
1o V besitzt eine endliche Basis.
2o b1, b2, ... br aus V sei linear
unabhängig. Dann ist b1, b2, ... br eine Basis
von V, oder man findet br1, br2, ... , bn in E,
so dass b1, b2, ... br, br1, ... , bn eine
Basis von V ist.
3o Die Basis B nach 1o kann als Teilmenge von E
gewählt werden.
15
Kapitel III, 14
(14.6) Definition Die nach 14.4 eindeutig
bestimmte und nach 14.5 existierende Zahl n aus N
eines endlich erzeugten Vektorraumes V heißt die
Dimension von V. Notation dim V n .
Vollständige Notation, wenn klargestellt werden
soll, dass die Dimension sich auf den Körper K
bezieht dimK V n .
(14.7) Beispiele
1o dim Kn n , auch für n 0 .
2o dim (x,y,0)T aus K3 x,y aus K 2 .
3o dim (xy,0,x-y)T aus R3 x,y aus R 2 .
4o dimC C 1, aber dimR C 2.
5o V sei endlich erzeugt. Dann gilt
dim V minn aus N je n1 Elemente aus V sind
linear abhängig
Die letzte Formel hat ihre Gültigkeit
insbesondere auch für V 0. Sie gibt auch Sinn
für Vektorräume, die nicht endlich erzeugt sind
16
Kapitel III, 14
Zusammenfassend haben wir damit den
(14.9) Dimensionssatz Für einen K-Vektorraum V
gilt
1o entweder hat V die endliche Dimension n aus
N und das bedeutet V besitzt n linear
unabhängige Vektoren und je n1 sind linear
abhängig.
2o oder V ist unendlichdimensional und das
bedeutet, dass es zu jedem n aus N mindestens n
linear unabhängige Vektoren gibt.
(14.10) Beispiele
1o Jeder Untervektorraum U eines
endlichdimensionalen Vektorraumes V ist
endlichdimensional.
2o KT ist unendlichdimensional, ebenso KM
und K(M) für unendliche Mengen M.
17
Kapitel III, 14
3o Auch die Folgenräume in 10.6 sind
unendlichdimensional.
Ohne Beweis zitieren wir
(14.11) Satz Auch jeder unendlichdimensionale
Vektorraum hat eine Basis.
Das ist für KT und K(M) evident, weil wir eine
Basis direkt angeben können.
Im allgemeinen beruht der Satz auf dem
Wohlordnungsaxiom.
Dieses Axiom der Mengenlehre gehört nicht für
jeden Mathematiker zu den grundsätzlich
notwendigen und evidenten Axiomen.
Das Wohlordnungsaxiom ist äquivalent zu dem
Lemma von Zorn der Beweis der Existenz einer
Basis ist nicht konstruktiv!
Beispiel Für R als Vektorraum über Q ist keine
Basis bekannt.
18

• 15 Lineare Abbildungen

05.12.01 ?
(15.1) Definition Eine Abbildung f zwischen
K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein
Vektorraumhomomorphismus), wenn
für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t
aus dem Körper K gilt f(sx ty) sf(x)
tf(y) .
Genauer K-linear oder K-Vektorraumhomomorphism
us
(15.2) Beispiele
19
? 03.12.01
(15.3) Bemerkungen
1o Eine lineare Abbildung f ist insbesondere ein
Gruppen-homomorphismus, sie respektiert neben
der Addition zusätzlich noch die
Skalarmultiplikationen.
3o Die Komposition linearer Abbildungen ist
linear.
4o Die Menge der linearen Abbildungen Hom(V,W)
von V nach W ist bezüglich der punktweisen
Addition und Skalarmultipli-kation ein
K-Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum von WV.
5o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die
Umkehrabbildung f 1 ebenfalls linear.
6o Aut(V) f aus Hom(V,V) f bijektiv ist
eine Gruppe bezüglich der Komposition von
Abbildungen, und zwar eine Untergruppe der
Permutationsgruppe S(V) .
20
Kapitel III, 15
(15.4) Definition Sei f eine lineare Abbildung
zwischen den K-Vektorräumen V und W. f heißt
1o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.
2o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
3o Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
4o Endomorphismus, wenn V W gilt.
5o Automorphismis, wenn V W gilt, und f
bijektiv ist.
(15.5) Lemma b1, b2, ... , bn sei eine Basis
von V . Dann wird für jedes n-Tupel (w1, w2, ...
, wn) von Vektoren aus W durch
f(s1b1 s2b2 ... snbn) s1w1 s2w2
... snwn
eine lineare Abbildung definiert.
Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese
Form.
Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensional
e Vektorräume V.
21
Kapitel III, 15
(15.6) Definition Sei f eine lineare Abbildung
zwischen den K-Vektorräumen V und W.
1o Ker f f 1(0), Kern von f .
2o Im f f(V), Bild von f .
(15.7) Lemma Sei f linear, A Teilmenge aus V .
1o Ker f und Im f sind Untervektorräume von
V bzw. W .
2o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f 0
.
3o f(Span(A)) Span(f(A)) .
4o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist
f(E) Erzeugendensystem von Im f .
5o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A)
gilt.
6o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A
gilt und wenn f injektiv ist.
10.12.01 ?
(15.8) Satz 1o Zwei endlichdimensionale
K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie
gleichdimensional sind.
? 05.12.01
22
Kapitel III, 15
2o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist
zu einem Kn isomorph mit n dim V .
(15.9) Bemerkung Jeder K-Vektorraum ist isomorph
zu K(B) , wobei B eine Basis von V ist.
(15.10) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen
Für gleichdimen-sionale K-Vektorräume V und W
endlicher Dimension sind die folgen-den Aussagen
für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent
1o f ist injektiv.
2o f ist surjektiv.
3o f ist bijektiv.
Mehr Information liegt in der Dimensionsformel,
die auch für unendlichdimensionale Vektorräume
gültig ist
(15.11) Satz (Dimensionsformel) Für eine lineare
Abbildung f von V nach W gilt
dim Ker f dim Im f dim V
23

• 16 Rang und lineare Gleichungssysteme

(16.1) Definition V sei wieder ein K-Vektorraum.
Der Rang einer Teilmenge A aus V ist die
Dimension der linearen Hülle Span(A)
rg A dim Span(A) .
Der Rang einer linearen Abbildung f aus Hom(V,W)
ist der Rang von Im f rg f dim Im f .
12.12.01 ?
(16.2) Beispiele
1o A aus V sei Erzeugendensystem. Dann rg A
dim V .
2o A e1, e1 e3, e3, e1 e3 hat den Rang
2 in Rn , n gt 2.
3o rg A 0 bedeutet A 0 oder A ist leer.
(16.3) Rangsatz Für eine Teilmenge A aus V gilt
r rg A für r aus N genau dann, wenn es r
linear unabhängige Elemente in A gibt und je r1
Elemente aus A linear abhängig sind.
? 10.12.01
24
Kapitel III, 16
(16.4) Lemma Sei A eine Teilmenge von V mit
endlichem Rang.
Lineare Gleichungssysteme haben wir bereits in 3
kennengelernt. Damals über R jetzt
interessieren wir uns für lineare
Gleichungs-systeme über einen beliebigen Körper K
25
Kapitel III, 16
Mit dieser Notation ist äquivalent zu
x1a1 x2a2 ... xnan b ,
und das bedeutet b ist Linearkombination der ak
mit den Skalaren xk aus K, die sich zu einem
Lösungsvektor x aus Kn zusammensetzen.
Wir haben jetzt vier Sätze zur Lösungstheorie
Es seien a1, a2, ... , an, b aus Km . f(x)
x1a1 x2a2 ... xnan , xk aus K , definiert
dann eine lineare Abbildung f aus Hom(Kn,Km) .
(16.5) Satz A Die folgenden Aussagen sind
äquivalent
1o f(x) b hat eine Lösung x aus Kn (d.h.
hat Lösung x).
2o b liegt in Span a1, a2, ... , an Im f .
3o rg a1, a2, ... , an rg a1, a2, ... ,
an, b .
(16.6) Satz B Die folgenden Aussagen sind
äquivalent
1o rg a1, a2, ... , an m .
2o f(x) b hat für alle b aus Km eine Lösung x
aus Kn .
3o f ist surjektiv .
26
Kapitel III, 16
(16.7) Satz C Es gilt
1o x aus Kn x1a1 x2a2 ... xnan 0
ist ein Untervektorraum, nämlich Ker f .
2o dim Ker f rg a1, a2, ... , an n .
3o (Superposition) Sei y aus Kn eine spezielle
Lösung, also f(y) b .
Dann erhält man alle Lösungen von f(x) b als
x y z mit f(z) 0 .
Die Lösungsgesamtheit ist also y Ker
f .
(16.7) Satz D x1a1 x2a2 ... xnan b
habe eine Lösung.
1o Die Lösung ist eindeutig genau dann, wenn
für b 0 die homogene Gleichung f(x) 0 nur die
triviale Lösung hat.
Das ist genau dann der Fall, wenn a1, a2, ... ,
an in Km linear unabhängig (d.h. f injektiv)
ist.
2o Im Falle m n Die Lösung ist eindeutig
genau dann, wenn für b 0 die homogene Gleichung
f(x) 0 nur die triviale Lösung hat.
Das ist genau dann der Fall,
wenn f bijektiv ist.
27

• 17 Produkte und Quotienten von Vektorräumen

(17.1) Satz-Definition U und V seien
K-Vektorräume. Das mengentheoretische Produkt
(u,v) (x,y) (ux,vy) und t(u,v)
(tu,tv) .
(17.2) Bemerkungen
28
Kapitel III, 17
ii. jeder Vektor w aus W hat die eindeutige
Darstellung w w1 w2 mit w1 aus W1 und
w2 aus W2 .
4o Analog definiert man das (K-Vektorraum-)
Produkt von endlich vielen K-Vektorräumen V1, V2,
... , Vn oder auch von beliebig vielen
K-Vektorräumen.
Wenn U Untervektorraum von V ist, so heißt ein
weiterer Untervek-torraum W von V ein Komplement
von U (oder Komplementärraum), wenn V die direkte
Summe von U und W ist.
(17.4) Beispiele
1o Zu einem Vektor x aus V K2\0 und U
Kx ist W Ky genau dann Komplement, wenn x,y
linear unabhängig ist.
29
Kapitel III, 17
2o 0 ist immer Komplement von V in V und
vice versa.
4o U sei Untervektorraum eines
endlichdimensionalen Vektorraums V. Sei b1, b2,
... , br Basis von U, und seien br1, ... , bn
weitere Vektoren in V, so dass b1, b2, ... ,
bn Basis von V ist.
Dann ist W Span br1, ... , bn ein
Komplement von V.
(17.4) Lemma Ein Untervektorraum U eines
Vektorraums V besitzt stets ein Komplement (das
allerdings nicht eindeutig bestimmt ist).
(17.5) Satz Für Untervektorräume V1, V2 von V
mit V V1 V2 sind die folgenden Aussagen
äquivalent
1o V ist die direkte Summe von V1 und V2 .
2o Jeder Vektor v aus V hat die eindeutige
Darstellung v v1 v2 mit v1 aus V1 und
v2 aus V2 .
3o Für alle v1 aus V1 und v2 aus V2
folgt aus v1 v2 0 stets v1 0 und v2 0 .
30
Kapitel III, 17
Zur Untersuchung von Quotienten brauchen wir die
durch einen Unterraum gegebene Äquivalenzrelation
(17.6) Lemma U sei Untervektorraum von V . Dann
gilt für Vektoren v uns w aus V
1o Entweder v U w U oder v U und w
U haben keine gemeinsamen Elemente.
1o v v ( ist reflexiv).
2o Aus v w folgt w v ( ist symmetrisch).
3o Aus v w und w z folgt v z ( ist
transitiv).
Die Äquivalenzklassen von sind die Mengen v
U , v aus V
Die Äquivalenzklassen v U lassen sich auch
verstehen als die affinen Räume in V mit U als
Translationsraum.
31
Kapitel III, 17
Für v,w aus V und t aus K setze (v
U) (w U) (v w) U , t(v U) (tv)
U .
Mit dieser Struktur heißt V/ der
Quotientenraum (oder Faktorraum oder Quotient)
von V in Bezug auf U und wird mit V/U bezeichnet.
(17.10) Folgerung Für einen Untervektorraum U
von V gilt
(17.11) Beispiel V sei der Q-Vektorraum der
rationalen Cauchyfol-gen (V ist Untervektorraum
von QN ), und U sei der Untervektorraum der
rationalen Nullfolgen. Dann ist V/U isomorph zu R
.
(17.12) Kanonische Faktorisierung Sei f eine
lineare Abbildung von V nach W.
Dann ist die natürliche Abbildung
32
Kapitel III, 17
ein wohldefinierter Isomorphismus von
Vektorräumen.
Durch das folgende Diagramm wird diese Aussage
illustriert
(17.12) Folgerungen