Vari

1
Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória associa um número real a
  cada resultado de um experimento aleatório.
• Mais precisamente

2
Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória é uma função (mensurável)
  X W ? R que associa um número real a cada
  resultado de um experimento aleatório.

3
Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes
• W ccc, cck, ckc,
• X número de caras
• Y número de transições
• Quando se observa cck
• X 2
• Y 1

4
Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes
• W ccc, cck, ckc,
• X número de caras
• Y número de transições

x 0 1 2 3
P(Xx)
5
Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes
• W ccc, cck, ckc,
• X número de caras
• Y número de transições

x 0 1 2 3
P(Xx) 1/8 3/8 3/8 1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
6
Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes
• W ccc, cck, ckc,
• X número de caras
• Y número de transições

y 0 1 2
P(Yy)
7
Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes
• W ccc, cck, ckc,
• X número de caras
• Y número de transições

y 0 1 2
P(Yy) 1/4 2/4 1/4
8
Função de Distribuição Acumulada

• A função de distribuição acumulada de uma
  variável aleatória X é a função FX R?R definida
  por
• FX(x) P(X x)

9
Função de Distribuição Acumulada

• Exemplo

x 0 1 2 3
P(Xx) 1/8 3/8 3/8 1/8
1
7/8
1/2
1/8
1
2
3
Se x lt 0 P(Xx) 0 Se 0 x lt1 P(Xx)
P(X0) 1/8 Se 1 x lt2 P(Xx) P(X0 ou X1)
1/8 3/8 1/2
10
Função de Distribuição Acumulada

• Roleta numerada continuamente de 0 a 10
• X prêmio ganho
• 0, se x lt 0
• P(X x) x/10, se 0 x 10
• 1, se x gt 10

1
10
11
Função de Distribuição Acumulada

• Lança moeda honesta se tirar cara, gira roleta
  numerada continuamente de 0 a 10
• X prêmio ganho

12
Função de Distribuição Acumulada

• Lança moeda honesta se tirar cara, gira roleta
  numerada continuamente de 0 a 10
• X prêmio ganho
• 0, se x lt 0
• P(X x) ½ ½ x/10, se 0 x 10
• 1, se x gt 10

1
10
13
Tipos de Variáveis Aleatórias

• Discretas
• FX(x) ?xi ? x P(X xi)
• (Absolutamente) Contínuas
• FX(x) ?xi ? x fX(x) dx
• (onde fX(x) é a densidade de probabilidade de
  X)
• Mistas
• FX(x) ?xi ? x P(X xi) ?xi ? x fX(x) dx
• (Há outras, mais patológicas )

14
Exemplo
1
10
P(X 0) ½ 0, se x lt 0 fX(x)
1/20, se 0 ? x ? 10 0, se x gt 10
15
Propriedades da F.D.A.

• FX é não-decrescente
• lim x?? FX(x) 0, lim x?? FX(x) 1
• lim x?a FX(x) F(a) (continuidade à direita)

16
Função de Distribuição Acumulada

• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição
  de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a.
  podemos obter a probabilidade de qualquer evento
  envolvendo a v.a.)

P(X 2) P(X 3) P(X lt 3) P(1 ? X ?
3)
17
Principais Distribuições Discretas

• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Hipergeométrica
• Poisson

18
Principais Distribuições Contínuas

• Uniforme
• Exponencial
• Normal (e associadas c2, t, F)

19
Bernoulli

• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso,
  sim-não, 1-0)
• 1, com probabilidade p
• X
• 0, com probabilidade 1p
• Notação X ? be(p)

20
Binomial

• Sequência de n experimentos de Bernoulli,
  independentes e com mesma probabilidade p de
  sucesso
• X número de sucessos

21
Binomial

• Sequência de n experimentos de Bernoulli,
  independentes e com mesma probabilidade p de
  sucesso
• X número de sucessos
• Cada uma das seqüências com k sucessos e
  nk
• fracassos tem probabilidade pk (1p)n-k . Logo
• Notação X ? B(n, p)

22
Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli,
  independentes e com mesma probabilidade p de
  sucesso
• X lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

23
Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli,
  independentes e com mesma probabilidade p de
  sucesso
• X lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.
• X k ? k1 fracassos seguido de um sucesso
• Notação X ? G(p)

24
Hipergeométrica

• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são
  extraídas n bolas, sem reposição.
• X número de bolas brancas extraídas
• Notação X ? HG(N, B, n)

25
Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população
  com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um
  candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas
  favoráveis ao candidato na amostra?

26
Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população
  com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um
  candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas
  favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta HG(N, B, n)

27
Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população
  com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um
  candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas
  favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta HG(N, B, n)Mas, se n ltlt N,
  aproximadamente B(n, B/N)

28
Distribuição de Poisson

• Em média, um site de internet tem l 0,5 acessos
  por segundo. Qual é o modelo apropriado para a
  distribuição do número de acessos efetuados em um
  segundo?

29
Distribuição de Poisson

• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração
  1/n
• Como o número de usuários é grande, é razoável
  considerar a existência de acessos neste
  intervalos como eventos independentes, cada um
  com probabilidade p.
• Para que o número médio de acessos por minuto
  seja igual a l, deve-se ter np l.

30
Distribuição de Poisson
31
Distribuição de Poisson

• Caso limite da distribuição binomial, quando n??
  e np se mantém constante
• Acessos a sites
• Chegadas de consumidores a um banco
• Número de erros tipográficos em um texto
• Número de partículas radioativas emitidas

32
Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a
  probabilidade de que haja pelo menos um acesso em
  um dado segundo?

33
Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a
  probabilidade de que haja pelo menos um acesso em
  um dado segundo?
• P(Xgt0) 1 P(X0) 1 e-0.5 0,395

34
Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um
  minuto?

35
Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um
  minuto?
• Poisson (30)
• Em geral, o número de acessos em um intervalo de
  duração t tem distribuição Poisson (lt)

36
Esperança

• Idéia a esperança (ou valor esperado) de uma
  v.a. é o valor médio que se espera obter ao se
  repetir um experimento aleatório um grande número
  de vezes.

37
Esperança

• Exemplo Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do
  bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o
  ganho esperado para quem aposta R 1,00?

38
Esperança

• Exemplo Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do
  bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o
  ganho esperado para quem aposta R 1,00?
• Ganha-se 17 com probabilidade 1/25
• -1 com probabilidade 24/25
• Após um grande número n de apostas, o ganho
  médio é, aproximadamente

39
Esperança

• O valor esperado de uma v.a. discreta X é
• EX Si xi. P(Xxi)
• (ou seja, a média dos valores assumidos por X,
  ponderados por sua probabilidade)
• EX pode ser um número real, ?, ? , ou não estar
  definida.

40
Esperança
finito finito EX ? R
? finito EX ?
finito ? EX ?
? ? EX não definido
41
Paradoxo de S. Petersburgo

• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja
  aposta é 11.
• Estratégia jogar até vencer, sempre dobrando o
  valor da aposta.
• Variáveis aleatórias de interesse
• X ganho quando se aposta 1.
• N número de apostas até a saída.
• Y ganho na saída.

42
Paradoxo de S. Petersburgo

• X 1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3
• EX 1/3.
• N é finito com prob. 1
• Y 1

43
Paradoxo de S. Petersburgo

• Mas seja C o capital usado até a vitória

44
Propriedades

• E(aX b) aEX b
• Mas, em geral, E(g(X)) ? g(E(X))
• Exemplo Y X2
• EX (1).0,2.(1)0.0,41.0,4 0,2
• EY 0.0,41.0,6 0,6
• Note que
• EY 02.P(X0) 12 .P(X1) (1)2 .P(X1)

X p
1 0,2
0 0,4
1 0,4
Y p
0 0,4
1 0,6
45
Propriedades

• Para X discreta
• E(g(X)) Si g(xi) P(Xxi)
• (Law of the unconscious statistician)

46
Propriedades

• E(XY) EX EY (sempre!)
• E(XY) EX EY, se X e Y são independentes

47
Exemplo

• Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco
  bolas são retiradas. Qual é o número esperado de
  bolas brancas retiradas
• com reposição?
• sem reposição?

48
Variância

• Var(X) E(XEX)2 E(X2) (EX)2

49
Propriedades

• Var(aXb) a2 Var(X)
• Var(XY) Var(X) Var(Y) 2Cov(X,Y)

50
Propriedades

• Se X1, X2, , Xn são independentes,
  entãoVar(X1 X2 Xn ) Var(X1)
  Var(X2) Var(Xn)

51
Exemplo

• X binomial(p)

52
Variáveis Aleatórias Contínuas

• F(x) ?-?x f(t) dt
• f ? 0 é a densidade de X
• P(a lt X lt b) ?ab f(t) dt
• ?-?? f(t) dt 1
• f(x) F (x)
• P(x?/2 lt X lt x?/2 ) ? ? f(x)

?
53
Exemplo

• Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso
  no triângulo da figura. Qual é a densidade de X?

1
1
54
Solução
1
x
1
55
Outra solução
1
1
x
56
Esperança

• discreta
• contínua
• mista

57
Principais Distribuições Contínuas

• Uniforme
• Exponencial
• Gama
• Normal (e associadas c2, t, F)

58
Distribuição Uniforme
1/(b-a)
fX
a
b
1
FX
a
b
59
Distribuição Exponencial

• De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a
  distribuição do tempo de espera X até a
  ocorrência do primeiro acesso?
• X gt t se e só se o número de acessos em 0, t
  é igual a 0
• Logo, P(Xgtt) P(N 0), onde NPoisson(lt)
• Portanto, P(Xgtt) e-lt

60
Distribuição Exponencial

• X tem distribuição exponencial com parâmetro l
  quandoFX (x) 1e lx, para x gt0
• Ou seja,fX(x) le lx , para x gt 0

61
Exemplo

• O tempo de vida, em meses, de um componente tem
  distribuição exponencial de parâmetro l 0,5.
• Qual é a probabilidade de que um componente novo
  dure pelo menos 2 meses?
• Dado que um componente usado já tem 1 mês de
  vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo
  menos mais dois meses?

62
Processo de Poisson

• Tempo entre chegadas consecutivas independentes,
  com distribuição exponencial (l)
• Número de chegadas em intervalos disjuntos
  independentes e com distribuição Poisson (lt),
  onde t é o comprimento do intervalo

63
Exemplo

• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com
  um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por
  dia
• Número médio de acidentes por semana?
• Número médio de dias sem acidentes por semana?
• Intervalo médio entre acidentes?
• Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1
  na 3a?
• Probabilidade de que o primeiro acidente em um
  certo dia só ocorra depois das 12 horas?

64
Distribuição Normal

• A distribuição normal padrão é a distribuição da
  variável aleatória Z de densidade
• Notação Z N(0, 1)
• EZ 0, Var Z 1

65
Distribuição Normal

• Uma variável X tem distribuição normal com
  parâmetros m (média) e s2 (variância) quando é da
  forma X sZ m, onde ZN(0,1)
• Notação XN(m, s2)

66
Distribuição Normal

• Qual é a densidade da distribuição XN(m, s2)?
• De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g
  é uma função inversível e X é uma v. a. de
  densidade f?

67
Transformando uma v. a.

• A densidade de Y g(X) é dada por
• onde x é tal que g( x) y.

68
Transformando uma v.a.

• Caso particular Se X tem densidade f, então
• Y aX b (agt0) tem densidade

X
Y 2X
X Y/2
Y
69
Densidade da distribuição normal

• A densidade da v.a. X com distribuição normal
  N(m, s2) é

70
Exemplo

• As notas dos alunos em um teste têm distribuição
  normal com média 70 e desvio padrão 10.
• Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a
  probabilidade de que sua nota seja maior que 85?
• Qual é a nota correspondente ao percentil 95?

71
V. A. Multidimensionais

• Exemplo moeda honesta lançada 3 vezes
• X número de caras
• Y número de transições
• Qual é a probabilidade de que X 2 e Y 1?

x 0 1 2 3
P(Xx) 1/8 3/8 3/8 1/8
y 0 1 2
P(Yy) 1/4 2/4 1/4
72
V. A. Multidimensionais

• Não se pode responder (em geral) a partir das
  distribuições individuais (marginais) de X e Y.
• Pode-se responder com base na distribuição de (X,
  Y), também chamada de distribuição conjunta de X
  e Y.

73
Distribuição Conjunta
w X Y
ccc 3 0
cck 2 1
ckc 2 2
kcc 2 1
ckk 1 1
kck 1 2
kkc 1 1
kkk 0 0
74
Distribuição Conjunta
w P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X Y 0 1 2 3
0
1
2
75
Distribuição Conjunta
w P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X Y 0 1 2 3
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
P(X2 e Y 1) 2/8
76
Distribuição Conjunta

• A distribuição conjunta de X (X1, X2, ..., Xn)
  completamente caracteriza probabilidades
  envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer
  subconjuntos delas (distribuições marginais).

77
Distribuição Conjunta
X Y 0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
X
78
Distribuição Conjunta
X Y 0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8 1/4
1 - 2/8 2/8 - 1/2
2 - 1/8 1/8 - 1/4
X 1/8 3/8 3/8 1/8
79
Função de Distribuição Acumulada

• A distribuição conjunta de X (X1, X2, ..., Xn)
  é completamente caracterizada pela sua função de
  distribuição acumulada.
• FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) P(X1 ?
  x1, X2 ? x2, ..., Xn ? xn)
• Exemplo
• FX1(x1) ?

80
Função de Distribuição Acumulada

• A distribuição conjunta de X (X1, X2, ..., Xn)
  é completamente caracterizada pela sua função de
  distribuição acumulada.
• FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) P(X1 ?
  x1, X2 ? x2, ..., Xn ? xn)
• Exemplo
• FX1(x1) limx2 ??, ..., xn?? FX1, X2, ... Xn
  (x1, x2, ..., xn)

81
Tipos de distribuição conjunta

• Discretas
• Quando existe um conjunto enumerável A x1,
  x2, ... tal que P(X ? A) 1.
• Neste caso, P(X ? B) ?xi ? B P(X xi)

82
Tipos de distribuição conjunta

• Discretas
• Quando existe um conjunto enumerável A x1,
  x2, ... tal que P(X ? A) 1.
• Neste caso, P(X ? B) ?xi ? B P(X xi)
• Contínuas
• Quando existe uma função de densidade f tal que
• Neste caso

83
Exemplo

• Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário
  com densidade proporcional a xy.
• Qual é a função de densidade?
• Qual é a probabilidade de que X seja menor que
  1/2?

84
Propriedades

• Esperança de funções de v.a. multidimensionais
• E(g(X)) Si g(xi) P(Xxi) (discreta)
• E(g(X)) ?Rn g(x) fX(x) dx (contínua)
• Casos particulares
• EX ?R2 x fX,Y(x,y) dy dx
• E(XY) ?R2 (xy) fX,Y(x,y) dy dx ?R2 x
  fX,Y(x,y) dy dx ?R2 y fX,Y(x,y) dy dx EX EY

85
Propriedades

• Em geral, E (XY) ? EX EY
• Mas E(XY) EX EY se X e Y são independentes.

86
Observação

• X, Y independentes ? E(XY) EX EY
• E(XY) EX EY ? X, Y independentes

não correlacionadas
87
Covariância e Correlação

• Cov(X, Y) E(XEX)(YEY)
• E(XY) EX EY
• r(X, Y) Cov(X,Y)/s(X)s(Y)
• Teorema 1 r(X, Y) 1