G

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Généralités sur les constructions (1)

• Dans un théorème, on donne, par hypothèse une
  figure satisfaisant à certaines conditions et on
  demande de prouver quelle possède telle ou telle
  propriété.
• Dans un problème ou construction géométrique, on
  donne par hypothèse certaines conditions ou
  propriétés et on demande de construire une figure
  satisfaisant à ces conditions.

2
Généralités sur les constructions (2)

• Les conditions ou propriétés dun problème ou un
  théorème sont générales si les positions des
  objets impliqués ne vérifient pas des propriétés
  autres que celles spécifiées dans lénoncé du
  problème ou du théorème ou celle qui en découlent
  par un raisonnement logique. Sinon les conditions
  sont particulières ou spéciales. Le problème ou
  le théorème doit être résolu pour les conditions
  générales (cas général).

3
Généralités sur les constructions (3)

• Problèmes déterminés ceux qui ont un nombre
  limité de solutions dans le cas général.
• Problèmes impossibles ceux qui nadmettent
  aucune solution dans le cas général. Dhabitude
  les conditions de lénoncé sont trop
  restrictives.
• Problèmes indéterminés ceux qui admettent un
  nombre infini de solutions dans le cas général.
  Dhabitude les conditions de lénoncé sont trop
  larges.

4
Généralités sur les constructions (4)

• Problème. Mener par un point A une tangente à une
  circonférence O, de rayon R
• Discussion. Il y a autant de solutions que de
  points communs aux deux circonférences

5
Tangentes communes

• Problème. Mener une tangente commune à deux
  circonférences O et O de rayons R et r
• 1er cas tangente extérieure
• 2e cas tangente intérieure

6
Les milieux des cordes. Cercle dEuler

• Problème. Le lieu du milieu des cordes dune
  circonférence donnée de centre O, lorsque ces
  cordes passent par un même point C, est la
  circonférence décrite sur OC comme diamètre.
• Cercle dEuler.
• Le cercle qui passe par les pieds des trois
  médianes dun triangle passe aussi par les pieds
  des trois hauteurs.
• Ce cercle divise en deux parties égales les
  segments des hauteurs compris entre le point de
  concours des hauteurs et chaque sommet
• http//home.nordnet.fr/rdassonval/ddtcercleeuler
  .html
• http//home.nordnet.fr/rdassonval/ddtfeuerbach.h
  tml

7
Le droite dEuler

• Le centre de gravité G, lorthocentre H et le
  centre O du cercle circonscrit sont alignés sur
  une droite appelée droite dEuler du triangle. En
  plus, le segment GH est 2 fois plus long que OG.
• http//home.nordnet.fr/rdassonval/ddteuler.html
• http//aleph0.clarku.edu/djoyce/java/Geometry/eu
  lerline.html

8
Segments proportionnels.

• Théorème. Les parallèles qui déterminent des
  segments égaux sur une sécante donnée,
  déterminent aussi des segments égaux sur toute
  autre sécante
• Problème. Diviser un segment AB en un nombre
  quelconque de parties égales.

9
Segments proportionnels.

• Le rapport de deux segments est égal au rapport
  des nombres qui les mesurent avec le même unité.
• Deux segments sont proportionnels à deux autres
  segments lorsque le rapport des deux premiers est
  égal au rapport des deux derniers.
• Noter que le rapport des sommes ou celui des
  différences des segments respectifs restent les
  mêmes.

10
Le nombre dor

• Supposons quun rectangle donné X a été partagé
  en carré et un autre rectangle Y. Si le rapport
  des côtés de rectangle X est égal au rapport des
  côtés de rectangle Y alors ce rapport est égal au
  nombre dor (et X est un rectangle dor)
• Construction du nombre dor

11
Division de segment de droite dans un rapport
donné.

• Problème. Étant donné deux points fixes A et B
  sur une droite indéfinie, et un point mobile C
  sur cette droite, étudier suivant les diverses
  positions du point C comment varie le rapport
  CA / CB
• Étant donné deux points fixes A et B sur une
  droite indéfinie, il existe deux points et deux
  seulement tels que le rapport CA/CB soit égal
  au nombre donné k
• Problème. Diviser un segment donné en partie dont
  le rapport est égal au rapport de deux autres
  segments donnés

12
Longueurs proportionnels.

• Théorème. Deux droites parallèles découpent deux
  sécantes quelconques en segments proportionnels.
• Corollaire. Toute à un côté dun triangle
  détermine sur les deux autres côtés des segments
  proportionnels.

13
Bissectrices dun triangle.

• Théorème. Dans tout triangle, la bissectrice dun
  angle intérieur ou extérieur partage le côté
  opposé dans le rapport des côtés adjacents.

14
Triangles semblables.

• On dit que deux triangles sont semblables quand
  leur angles sont respectivement égaux, et que
  leurs côtés homologues sont proportionnels.
• On appelle
• Angles homologues, les angles respectivement
  égaux
• Côtés homologues, les côtés opposés à des angles
  égaux
• Rapport de similitude, le rapport constant de
  deux côtés homologues.

15
Triangles semblables.

• Théorème. Dans tout triangle, la bissectrice dun
  angle intérieur ou extérieur partage le côté
  opposé dans le rapport des côtés adjacents.

16
Triangles semblables. Théorème de Thalès.

• Théorème. Toute parallèle menée à un côté dun
  triangle détermine un second triangle semblable
  au premier.