1
Deeltjes en velden HOVO Cursus

•  
• Jo van den Brand
• 3 oktober 2013

jo_at_nikhef.nl
2
Overzicht

• Docent informatie
• Jo van den Brand Gideon Koekoek
• Email jo_at_nikhef.nl en gkoekoek_at_gmail.com
• 0620 539 484 / 020 592 2000
• Rooster informatie
• Donderdag 1000 1300, HG 08A-05 (totaal 10
  keer)
• Collegevrije week 24 oktober 2013
• Boek en website
• David Griffiths, Introduction to Elementary
  Particles, Wiley and Sons, ISBN 978-3-527-40601-2
  (2008)
• Zie website URL www.nikhef.nl/jo
• Beoordeling
• Huiswerkopgaven 20, tentamen 80

3
Inhoud

• Inleiding
• Deeltjes
• Interacties
• Relativistische kinematica
• Speciale relativiteitstheorie
• Viervectoren
• Energie en impuls
• Quantumfysica
• Formalisme
• Spin van deeltjes
• Structuur van hadronen

• Symmetrieën
• Behoudwetten, quarkmodel
• Symmetriebreking
• Veldentheorie
• Lagrange formalisme
• Feynman regels
• Quantumelektrodynamica
• Diracvergelijking
• Quarks en hadronen
• Quantumchromodynamica
• Elektrozwakke wisselwerking
• Higgs formalisme

4
Relatieve beweging
Einstein 1905 Alle natuurwetten blijven
dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers
die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar
bewegen. De lichtsnelheid is invariant heeft
voor alle waarnemers dezelfde waarde.
Inertiaalsysteem objecten bewegen in rechte
lijnen als er geen krachten op werken (Newtons
eerste wet). Indien een systeem met constante
snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan
is het zelf ook een inertiaalsyteem.
Schrijf de wetten van de natuurkunde in een
covariante vorm als relaties tussen objecten die
niet van het (willekeurig gekozen)
coördinatensystem afhangen
5
Differentiaaltopologie
Ruimte verzameling met structuur 3D
Euclidische ruimte 4D ruimtetijd in SRT met
globaal een Minkowski structuur
Topologische objecten in een ruimte Scalarveld Vec
torveld In het algemeen tensorveld
Tensoren geometrische grootheden, los staand van
eventuele referentiesystemen
Relativiteitsprincipe de natuurwetten zijn
onafhankelijk van de keuze van het
referentiesysteem
Door gebruik te maken van tensoren kan een
referentiesysteem onafhankelijke beschrijving
verkregen worden
Ruimtetijd heeft additionele structuur metrische
tensor, waardoor we inproduct kunnen definiëren
6
Euclidische ruimte

• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als
  invariant
• Vectoren
• Inproduct
• Kies basis
• Voorbeeld en

Basisvector
Vectorcomponent
Sommatieconventie Einstein
Evenzo in 3 (of meer) dimensies
Metrische tensor
7
Euclidische ruimte

• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als
  invariant
• Pythagoras

Evenzo in 3 dimensies
Ook geldt
Metrische tensor
8
Minkowskiruimte

• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de
  waarnemer
• Golffronten zijn behouden voor bewegende
  waarnemers
• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong

9
Minkowskiruimte

• Metrische tensor
• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van
  de speciale relativiteitstheorie

Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx
Kan positief, nul of negatief zijn!
Metriek heeft signatuur 2 een pseudo-riemannse
variëteit
10
Minkowskiruimte
ct

• Ruimtetijd geometrie

C
C
B
A
B
Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk
de kortste? Wat zijn de lengten?
A
AB 5, BC 3, AC wortel(-32 52) 4
x
Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De
rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?
Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C
Tweelingparadox
Idem voor driehoek ABC
AB BC wortel(-3232) 0 en AC
6 Pad is ABC met lengte 0.
11
Minkowski meetkunde
Basisvectoren met
We hebben gevonden dat
Nieuw symbool
Inverse
Minkowskimetriek
Het invariante lijnelement
Notatie bevat metriek en coordinaten
Voor cartesische coordinaten
Lijnelement uitschrijven
Dezelfde tijd Ruimtelijke termen Stelling van
Pythagoras
Dezelfde plaats het lijnelement is een maat voor
de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen
voor een waarnemer die in rust is ten opzichte
van deze gebeurtenissen
Dan geldt
12
Tijddilatatie
Het invariante lijnelement
Waarnemer W1 twee gebeurtenissen op dezelfde
plaats
Waarnemer W2 meet tijdverschil
We vinden

met lorentzfactor
Snelheid tussen waarnemers
Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D
ruimtetijd
Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het
snelst voor een waarnemer die in rust is ten
opzichte van deze gebeurtenissen eigentijd
13
Translaties en rotaties
Minkowski meetkunde het invariante lijnelement
Welke transformaties laten dit element invariant?
Translaties
Rotaties, bijvoorbeeld
Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z
constant, terwijl x en y mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
a -b p/2
Rotatie rond de z-as
Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as
14
Lorentztransformaties
Welke transformaties laten dit element invariant?
Boost, bijvoorbeeld
Dit is een boost langs de x-as (met y en z
constant, terwijl t en x mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
Boost langs de z-as
Evenzo voor boosts langs de x- en y-as
Wat is die hyperbolische hoek ??
15
Rapiditeit
We hadden
Neem differentiaalvorm, kies en
schrijf
Kwadrateren, delen door en vergelijken met
tijddilatatie
Dat is een kwadratische vergelijking in
Manipuleer
Gebruik de abc-formule
Ook geldt
16
Lorentztransformaties
Transformaties laten ds2 invariant
Waarnemers in S en S bewegen met snelheid v
t.o.v. elkaar. Systemen vallen samen op t t
0. Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het
event. Waarnemer in S kent (x,y , z, t) toe
aan hetzelfde event. Wat is het verband tussen
de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?
17
Lorentztransformaties
18
Relativiteit van gelijktijdigheid
Stel dat in systeem S twee events, A en B, op
dezelfde tijd, tA tB, gebeuren, maar op
verschillende plaatsen, xA ? xB.
Events vinden niet simultaan plaats in systeem S
19
Lorentzcontractie (lengtekrimp)
Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust,
langs de x' as. Een einde op x' 0, het
andere op x' L'. Wat is de lengte L gemeten
in S? We moeten dan de posities van de uiteinden
meten op dezelfde tijd, zeg op t 0. Het
linker einde bevindt zich dan op x 0. Het
rechter einde op positie x L' / ?.
Langs bewegingsrichting!
Een bewegend object wordt korter met een factor ?
in vergelijking tot zijn lengte in rust.
20
Tijddilatatie (tijdrek)
Een bewegende klok loopt langzamer met een factor
? in vergelijking tot
toestand in rust. Deeltjes hebben ingebouwde
klokken (verval).
21
Optellen van snelheden
Een raket is in rust in inertiaalsysteem S'
dat met snelheid v beweegt t.o.v.
S. Iemand vuurt een kogel af in systeem S'
met snelheid ux' in S'. Wat is de
snelheid van de kogel in S ?
Als ux' c, dan u c en lichtsnelheid gelijk
voor alle systemen!!!
22
Viervectoren
Positie-tijd viervector xm, met m 0, 1, 2, 3
Lorentztransformaties
23
Viervectoren
algemeen geldig
24
Lorentzinvariantie
Plaats van minteken is kwestie van afspraak
25
Co- en contravariante vectoren
Dit is de uitdrukking die we zochten. De metriek
is nu ingebouwd in de notatie!
Deze notatie wordt ook gebruikt voor
niet-cartesische systemen en gekromde ruimten
(Algemene Relativiteitstheorie)
26
Viervectoren
Viervector am (contravariant) transformeert als
xm
Ruimte componenten krijgen een minteken
27
Snelheid
Snelheid van een deeltje t.o.v. het LAB afstand
gedeeld door tijd (beide gemeten in het LAB)
Proper snelheid afstand in LAB gedeeld door
eigentijd (gemeten met klok van het deeltje)
Een hybride grootheid. Er geldt
28
Impuls en energie
Indien behouden in S dan niet in S'
Klassieke impuls p mv
Definieer relativistische impuls als
Ruimtelijke componenten
Tijdachtige component
Definieer relatv. energie
Energie-impuls viervector
29
Energie
Taylor expansie levert
Merk op dat enkel veranderingen in energie
relevant zijn in de klassieke mechanica!
30
Botsingen
Energie en impuls behouden grootheden!
Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn!
Massa is Lorentzinvariant
Massa m is geen behouden grootheid!
31
Voorbeeld 1
Massas klonteren samen tot 1 object
begintoestand
Na botsing is object in rust!
Energiebehoud levert
Na botsing hebben we een object met massa M
5m/2. Massa is toegenomen kinetische energie is
omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.
32
Voorbeeld 2
Deeltje vervalt in 2 gelijke delen
eindtoestand
Heeft enkel betekenis als M gt 2m
(zie vorige opgave)
Men noemt M 2m de drempelenergie voor het
verval.
Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie
negatief. Bindingsenergie maakt net als alle
andere interne energieën deel uit van de
rustmassa.
33
Voorbeeld 3
Verval van een negatief pion (in rust) p- ? ?
m-
Vraag snelheid van het muon
Relatie tussen energie en impuls
Dit levert
Massa van neutrino is verwaarloosbaar!
Energiebehoud
34
Voorbeeld 3 vervolg
Gebruik
Relatie tussen energie, impuls en snelheid
Snelheid van het muon
Invullen van de massas levert vm 0.271c
35
Voorbeeld 3 viervectoren
Energie en impulsbehoud
Kwadrateren levert
Merk op dat
We vinden Em
Evenzo
Er geldt
Hiermee hebben we weer Em en p gevonden en weten
we de snelheid.
36
Minkowskiruimte causale structuur
tijdachtig ds2 negatief
lichtachtig ds2 0
toekomst
ruimteachtig ds2 positief
P
Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen
causaal verbonden zijn met gebeurtenis P. Er
buiten kan geen causaal verband bestaan.
verleden
37
Minkowskiruimte

• Bewegende waarnemers

Voor de x as stel ct0. Dan volgt ct bx.
Voor de schaal op de x as stel x1 en ct0.
Dan volgt xg.
Voor de ct as stel x0. Dan volgt ct x/b.
Voor de schaal op de ct as stel ct1 en x0.
Dan volgt ctg.
38
Ruimtetijd van de ART
Het belang van fotonen m.b.t. structuur van
ruimte tijd empirisch vastgestelde
universaliteit van de voortplanting in vacuum
Onafhankelijk van bewegingstoestand van de
bron golflengte intensiteit
polarisatie van EM golven
ct
deeltje in rust
deeltje met willekeurige snelheid
deeltje naar rechts bewegend met constante
snelheid
deeltje met lichtsnelheid
45o
x
39
Minkowskiruimte dopplerfactor
Waarnemers A en B hebben geijkte standaardklokken
en lampjes
ct
t tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten
met de klok van A
waarnemer A
t tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten
met de klok van B
waarnemer B
met dopplerfactor k
45o
x
40
Minkowskiruimte dopplerfactor
Vanuit punt P bewegen waarnemers A en B ten
opzichte van elkaar (constante snelheid v van B
tov A)
waarnemer A
R
Lampje van A flitst na tijd t gemeten met de klok
van A (in E)
B ziet de flits van A na tijd kt (in Q)
waarnemer B
B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat
in R, op tijd
Afstand van Q tot A (vluchttijd radarpuls x
lichtsnelheid)/2
Q
M
M is gelijktijdig met Q als
E
P
41
Minkowskiruimte inproduct
waarnemer
O
We kennen de vector toe aan de geordende
events P en Q
Q
P
Definitie
Afspraak tijden voor P negatief tijden na
P positief
E
Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct)
kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft
een metriek
42
Lorentzinvariantie Minkowski-metriek
Dat wil zeggen is
onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P
Definitie
Waarnemer A
Met afspraak over het teken!
Waarnemer B
A2
Volgens A
B2
Volgens B
Er geldt
Q
P
A1
Scalair product is Lorentzinvariant
B1
43
Lorentzcoördinaten
Definieer basisvector
Waarnemer A (inertieel)
Er geldt
E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)
E
Dat is de 3-dim euclidische ruimte op
t.o.v. A
Et is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met t
O
Er geldt
Orthonormaal stelsel vectoren
in E met beginpunt O
Er geldt en
En ook
44
Lorentzcontractie
Het invariante lijnelement
Kies x-as als bewegingsrichting
Er geldt
O beweegt t.o.v. lat
O staat stil t.o.v. lat
Lat passeert waarnemer O (dus geldt
en )
We vinden
Waarnemer O beweegt met de lat mee lengte lat is
L
Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren
van begin en eind van de lat bij O) op
verschillende tijden, gescheiden door
We hebben te maken met tijddilatatie
Invullen levert