Limite de Roche

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Limite de Roche

• Edouard Albert Roche  astronome, mathématicien
  et géophysicien français, 1820-1883.

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Limite de Roche

• Il est célèbre pour deux travaux ,(relativement
  inaperçus de son temps), mais jouant un rôle
  crucial en astrophysique moderne 
• la stabilité d'un corps homogène en rotation sous
  l'influence des effets de marée causés par un
  autre corps,
• la géométrie du champ gravitationnel d'un
  système formé par deux corps.

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Limite de Roche
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Modèle du satellite ponctuel

• Considérons une grosse planète sphérique autour
  de laquelle tourne un très petit satellite que
  l'on peut assimiler à un point matériel de masse
  m.

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Modèle du satellite ponctuel

• La gravitation provoquée par la planète
  sphérique et homogène est la même que si toute sa
  masse M était concentrée en son centre.
• Les calculs se ramènent alors à l'interaction de
  deux masses ponctuelles M et m .

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Modèle du satellite ponctuel

• Puisque Mgtgt m, on pourra considérer que la
  planète est fixe dans l'espace et lui associer un
  référentiel galiléen.
• Dans ce référentiel la masse m subit une force
  d'attraction gravitationnelle de la forme
• vecteur unitaire dirigé vers lextérieur
• G constante de gravitation universelle
• d la distance entre les deux masses.

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Modèle du satellite ponctuel

• Dans le cas général la trajectoire du satellite
  est une ellipse mais cette trajectoire peut être
  un cercle si la vitesse du satellite a une valeur
  convenable. Pour simplifier les calculs on
  supposera que c'est le cas.
• Quand un corps de masse m décrit une trajectoire
  circulaire de rayon r à la vitesse v, son
  accélération dirigée vers le centre du cercle
  (accélération centripète) est égale à

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Modèle du satellite ponctuel

• Doù
• et la condition déquilibre
• Remarque la masse m du satellite a disparu

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Modèle du satellite ponctuel

• Tous les satellites qui décrivent un cercle de
  même rayon autour d'une même planète ont la même
  vitesse quelle que soit leur masse.
• Si d diminue la vitesse augmente et rien
  n'empêche d'avoir une trajectoire ''rasante''
  c'est à dire que d serait pratiquement le rayon
  de la planète.
• Dans le cas d'un satellite ponctuel rasant la
  Terre sa vitesse serait alors de 8 km/s

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Cas d'un satellite réel

• Un satellite réel ne peut pas être assimilé à un
  point matériel car il a un certain volume.
• La force de gravitation qui s'exerce sur la
  partie située du côté de la planète est plus
  forte que celle qui s'exerce sur la partie
  opposée.
• Cela provoque des contraintes sur le satellite
  qui est tiré d'un côté et poussé de l'autre. On
  conçoit ainsi qu'il puisse exploser si les
  contraintes deviennent trop importantes.

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Cas dun satellite réel

• On cherche à déterminer la distance en dessous de
  laquelle un corps sapprochant de la planète P se
  séparerait en plusieurs morceaux sous leffet des
  forces de marée dues à la planète. Pour cela on
  fait les hypothèses suivantes 

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Modèle de Roche
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Modèle de Roche

• Le centre dinertie G du corps (de masse
  volumique µc) est en orbite circulaire de rayon D
  et de période T autour de la planète de masse M
  , de masse volumique moyenne µP) et de rayon R.

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Modèle de Roche

• Le corps est constitué de deux sphères identiques
  de masse m et de rayon r, homogènes et disposées
  comme ci-contre.

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Modèle de Roche

• Ces deux sphères ne sont liées entre elles que
  par leur attraction gravitationnelle mutuelle.
• On suppose que la disposition des deux sphères
  reste inchangée, les centres étant toujours
  alignés avec le centre O de la planète.

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Modèle de Roche

• Lors des calculs dattraction gravitationnelle
  sur une sphère de masse m et de rayon r, on
  suppose que toute la masse m est concentrée au
  centre de la sphère.

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Modèle de Roche

• Le point de contact de ces deux boules est aussi
  le centre de masse du satellite. Ce centre de
  masse tourne autour de la planète sur une
  trajectoire circulaire de rayon D et sa vitesse
  est la même qui si toute la masse du satellite
  lui était appliquée .

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Modèle de Roche

• Question 1
• Quelle est la vitesse du centre dinertie G du
  satellite en fonction du rayon D de la
  trajectoire et des données?
• Quelle est lexpression de la vitesse angulaire
  ? ?
• Indication
• Appliquer le théorème du centre dinertie au
  corps de masse 2m dans le référentiel
  planétocentrique 

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Modèle de Roche

• le mouvement du centre de masse est identique au
  mouvement dun objet ponctuel de masse égale à la
  masse totale du solide. Comme précédemment

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Modèle de Roche
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Modèle de Roche
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Modèle de Roche
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Modèle de Roche

• Il est évident que tous les points du satellite
  tournent à la même vitesse angulaire mais pas à
  la même vitesse linéaire.
• Le centre G1 de la première boule aura une
  vitesse linéaire inférieure à celle de G et le
  centre G2 de la seconde à une vitesse linéaire
  supérieure à celle de G.

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Modèle de Roche

• Le centre dinertie G1 de la première sphère est
  soumis à une force dinertie plus faible que G
  mais, par contre, à une force dattraction de la
  planète plus importante  il en résulte une force
  différentielle dite de marée.
• Le centre G2 sera lui soumis à une force
  différentielle dirigée du côté opposé à la
  planète. La force dinertie dentraînement est
  plus grande et lattraction de la planète plus
  faible.
• Lorsque ces forces différentielles dépassent
  lattraction gravitationnelle propre du corps, et
  les forces de cohésion, celui-ci est détruit et
  se sépare en deux constituants.

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(No Transcript)
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Modèle de Roche

• Question 2
• Pour continuer le calcul il faut se placer dans
  un référentiel lié au centre de masse G du
  satellite.Ce référentiel n'est pas galiléen.
• Faire un bilan des forces sexerçant sur chacune
  des sphères S1 et S2 constituant le corps dans le
  cas dun contact maintenu, supposé sans
  frottement.

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Modèle de Roche

• F1 et F2 forces dattraction dues à la planète
  sur les deux sphères constitutives du corps de
  masse 2m
• f1 et f2 forces dinteraction mutuelles entre les
  deux sphères (même module f)
• R1 et R2 les forces de réaction au niveau du
  point de contact G des deux sphères.

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Modèle de Roche

• Question 3
• Dans le référentiel choisi, la sphère de centre
  G1 est immobile, de même la sphère de centre G2.
• En appliquant le principe fondamental de la
  dynamique, en déduire deux équations.

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Modèle de Roche

• Le théorème de la résultante cinétique, appliqué
  successivement aux deux sphères, conduit après
  projection sur laxe (OG) orienté, aux deux
  équations suivantes (seules les forces dinertie
  dentrainement interviennent puisque les sphères
  sont immobiles) 

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Modèle de Roche
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Modèle de Roche

• La résultante est donc une différence. On parle
  alors de forces différentielles.
• On dit aussi " forces de marée " car dans la
  théorie des marées interviennent aussi des forces
  différentielles.Les forces de marée ne sont pas
  des forces
• " supplémentaires", il n'y a que des forces de
  gravitation et des forces d'inertie.

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Modèle de Roche

• Question 4
• A quelle condition le contact entre les solides
  est-il rompu ?

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Modèle de Roche

• Le contact entre les sphères est rompu lorsque
  les réactions R1 et R2 sannulent.

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Modèle de Roche

• Question 5
• En déduire que le contact est rompu lorsque D
  devient inférieur à Dlim, appelée limite de
  Roche.

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Modèle de Roche

• Lorsque les deux sphères commencent à se séparer,
  alors D Dlim et la première équation
  précédente devient en remplaçant ? par

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Modèle de Roche
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Modèle de Roche
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Modèle de Roche
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Modèle de Roche
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Modèle de Roche

• Exprimer Dlim en fonction de R.

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Modèle de Roche
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Modèle de Roche

• Les satellites naturels des planètes sont
  sensiblement sphériques.Le calcul est plus
  compliqué mais l'ordre de grandeur est respecté.
  On donne généralement 2,44 R au lieu de 2,29 R
• R rayon de la planète

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Modèle de Roche

• Conclure pour Saturne et son satellite
• Mimas 
• Rayon r 196 km
• Masse 3,80 x 1019 kg
• distance D 186 000 km
• Saturne
• masse volumique moyenne 630 kg.m-3 Rayon
  de Saturne  6x107 m

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Modèle de Roche

• Autour de Saturne, un satellite se trouve en deçà
  de cette limite, c'est Atlas. Il se trouve à
  2,276R. Mais en réalité, son orbite se situe
  au-delà de la limite en tenant compte de la masse
  volumique de Saturne.
• Atlas est un corps de roches et de glace de
  densité entre 1,15 et 1,45. Avec ces valeurs, la
  limite n'est que de 2 R seulement.

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• Le satellite Atlas est situé à environ 1000
  kilomètres du bord extérieur de l'anneau A
  (milieu). Le satellite Pan se déplace dans la
  division de Encke, à 3000 kilomètres du bord de
  l'anneau A.

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Limite de Roche
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Choix d'un autre modèle pour le satellite
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Modèle du caillou

• On peut aussi considérer un satellite sphérique
  de masse M' à la distance D de la planète et une
  pierre de masse m posée simplement sur son sol

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Modèle du caillou

• Le caillou de masse m est soumis à
• F1 force de gravitation due à la planète de
  masse M de rayon R
• F2 force dattraction due au satellite de
  masse M de rayon r

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Modèle du caillou

• On suppose que le centre du caillou reste aligné
  entre le centre de la planète et du satellite et
  est donc entraîné à la même vitesse angulaire que
  le satellite

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Modèle du caillou
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Modèle du caillou
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Modèle du caillou
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Limite de Roche

• Ailleurs, dans le système solaire

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Limite de Roche

• On remarquera que Phobos se trouve à
  l'intérieur de la limite de Roche. Pourquoi
  n'explose-t-il pas ?

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Limite de Roche

• La limite de Roche a été calculée pour un corps
  qui ne subit plus aucune force de cohésion,
  puisque les forces de cohésion sont généralement
  inconnues, c'est à dire qu'il est posé simplement
  à la surface du satellite.On peut alors penser
  que les poussières et objets de faibles
  dimensions ont quitté le satellite mais que les
  pierres fixées les unes aux autres ne se
  détachent pas à la limite de Roche.Il faut
  s'approcher davantage de la planète pour que le
  satellite commence à se disloquer.

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comète Shoemaker-Levy
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comète Shoemaker-Levy

• le 8 juillet 1992, elle passe à 1,6 fois le rayon
  
• ( à moins de 120 000 km).
• Elle se brise en une vingtaine de morceaux, dont
  certains atteignent  quelques centaines de
  mètres. Ils s'étendent sur 20 minutes d'arc, soit
  5 millions de km.
• Fin juillet 94, le "train de comètes" rase
  Jupiter à 45 000 km. Le démantèlement est total.
  Les fragments  pénètrent la haute atmosphère de
  Jupiter à 200 000 km/h.

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comète Shoemaker-Levy

• Celle-ci s'est embrasée, tandis qu'à l'endroit de
  l'impact se formait un panache de gaz énorme,
  montant à 3 000 km.
• Autour du panache, apparu 5 mn après l'impact,
  s'est formée une vague gigantesque de nuages qui
  s'étendait à la vitesse de 15 000 km/h.

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comète Shoemaker-Levy

• Un trou de 12 000 km fut laissé, par l'impact G,
  dans l'atmosphère