Pr

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III. Électrons dans un potentiel périodique
Bandes d'Énergie
Électrons presque libres approche intuitive
Zones de Brillouin
Théorème de Bloch
Électrons presque libres conclusions dune
approche formelle
Métal - Semiconducteur - Isolant
Surfaces de Fermi
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III. Bandes d'Énergie
Interaction des électrons avec le cristal
Le modèle des électrons libres n'est en général
qu'une approximation grossière pour le
comportement du gaz d'électrons dans un solide.
En réalité les électrons interagissent avec le
cristal. Le potentiel dinteraction associé aux
ions de ce cristal est de la forme
Potentiel périodique
Pour se simplifier la vie on se place en 1D et le
cristal est une chaîne monoatomique.
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
On suppose les électrons faiblement perturbés
Approche intuitive
Pour des électrons libres
(ondes planes progressives)
On sait quune onde est réfléchie par une
structure périodique si la condition de Bragg est
satisfaite
d a
Ici 1D donc
onde incidente
onde réfléchie
q p/2
q
d
Plans atomiques
soit
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
Il y aura réflexion de l'onde électronique chaque
fois que
Pour approcher le potentiel périodique on suppose

Pour
i.e.
Pas de réflexion de Bragg
Pour
Réflexion de Bragg !
Une onde réfléchie se superpose à l'onde incidente
Onde stationnaire
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
Solution de l'équation de Schrödinger
Avec A B pour
Distribution de la densité de charge
Y(x)
Y-(x)
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Différence d'énergie potentielle
Y Maximum de charges centré sur les ions
Y- Maximum de charges centré entre les ions
Énergie de Y lt Énergie de Y-
Il y a ouverture dune bande interdite lorsque
lélectron est en condition de Bragg avec le
cristal. En 1D, cette condition sécrit
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A trois dimensions, cette condition sécrit
Nœuds du R.Réciproque
Pour tout nœud du réseau réciproque, on peut
tracer un plan médian, où la loi de Bragg est
vérifiée et où lélectron est fortement perturbé
par le potentiel. Ces plans médians définissent
un ensemble de zones dans lespace réciproque, on
appelle ces zones les Zones de Brillouin.
1ère ZDB
2ème ZDB
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
Zones de Brillouin
Les nœuds du réseau sont donnés par
ni entier, les vecteurs de la maille primitive
Le réseau réciproque est donné par les vecteurs
Définition du réseau réciproque
mi entier,
En conséquence
et
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
Premier exemple en 1D Soit une chaîne
monoatomique de paramètre a
x
a
Atomes
Le réseau réciproque d'une chaîne monoatomique
est aussi une chaîne unidimensionnelle de
paramètre 2p/a. Attention on passe bien ici
dans le réseau réciproque.
Nœuds du réseau réciproque
kx
1ère ZDB
2ème
3ème
4ème
4ème
3ème
2ème
2p/a
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Illustration en 2D
Pour aller plus loin en 2D voir TD 3
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Définition générale des zones de Brillouin (en 3D)
On choisit un nœud du réseau réciproque comme
origine. Ensuite on trace les plans médians par
rapport au nœuds premiers plus proches voisins,
deuxièmes plus proches voisins etc. Le nœud
d'origine se trouve entouré de polyèdres
fermés. Le polyèdre avec le plus petit volume
est la 1ère zone de Brillouin Le volume entre ce
polyèdre et le 2ème plus petit polyèdre est la
2ème zone de Brillouin etc.
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cc
cfc
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2 exemples particulièrement importants
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III. Bandes d'Énergie Théorème de Bloch
Solution de équation de Schrödinger avec un
potentiel périodique
Les états électroniques possibles sont les
solutions de l'équation de Schrödinger
Avec le potentiel V(x) que subit lélectron qui
présente la même périodicité que le réseau
cristallographique
Avec un nœud du réseau cristallographique
réel
ni entier, les vecteurs de la maille primitive
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III. Bandes d'Énergie Théorème de Bloch
Bloch a montré que les solutions sont de la forme

avec
i.e. des ondes planes modulées par une fonction
de la même périodicité que le réseau
sont appelées ONDES de BLOCH
Les
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III. Bandes d'Énergie Théorème de Bloch
Le potentiel est périodique, on peut donc choisir
l'origine !
Si on remplace par on voit que
car
La fonction d'onde n'est modifiée que par un
facteur de phase, ce qui ne change pas la
physique !
Cest une autre manière de définir une onde de
Bloch
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
Si pour une fonction de Bloch on remplace par

Rappel de la définition d'une onde de Bloch
Par comparaison
Si on remplace par la physique ne
change pas !
Le vecteur d'onde n'est déterminé qu'à un
vecteur du réseau réciproque près
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Représentation de la relation de dispersion E(k)
en 1D
On vient de montrer que le vecteur donde k est
défini à nimporte quel nœud G du réseau
réciproque près (k est équivalment à kG).
Pour représenter la relation de dispersion, on
doit donc aussi tracer toutes les paraboles
centrées à 2p/a, 4p/a, np/a,
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
Une fois toutes les paraboles tracées (une pour
chaque G)
On obtient
Schéma de zones étendues
La relation de dispersion est périodique avec une
période 2p/a
On peut se limiter à une période -p/a
p/a Cette période nest rien dautre que la
première Zone de Brillouin
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
Schéma de zone réduite
4ème "bande"
3ème "bande"
2ème "bande"
1ère "bande"
1ère Zone de Brillouin
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Représentation de la relation de dispersion E(k)
en 2D et 3D
Explication pour le cas en 2D
Réseau réciproque réseau carré plan
La première zone de Brillouin
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On présente des coupes de cette surface
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Construction des branches de la structure de
bandes dun cristal
On suppose une structure cubique centrée
Maille primitive du réseau cc
Volume de la maille V a3/2
Soient a, b, c les vecteurs générateurs de la
maille primitive dun réseau cristallographique
Ici
Le réseau réciproque est donné par
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Les vecteurs du réseau réciproque sont donnés par
Calculs détaillés voir TD 3
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
1ère zone de Brillouin
La relation de dispersion
Regardons la direction G - H, i.e.
ky kz 0
Dans ce cas
et
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III. Bandes d'Énergie Zones de Brillouin
4C
Première possibilité
3C
Rappel
Soit m1 m3 0, m2 -1
Énergie
2C
C
0
Et il faut le faire pour toutes les valeurs de G
G
H
D
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Pour toutes les directions de symétrie
Réseau cc
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Dans le cas d'un réseau cfc
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Approche formelle
(toujours en 1D, chaîne monoatomique de paramètre
a)
Potentiel périodique
Donc U(x) peut être développé en série de Fourier
U(x) est une fonction réelle
On choisit l'origine pour que U(x) U(-x)
 
L'équation de Schrödinger devient
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
Y(x) est une onde de Bloch, donc une fonction
périodique.
Développement en série de Fourier
On injecte cette expression dans léquation de
Schrödinger
La résolution de cette équation sera traitée
proprement en TD.
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
La résolution de cette équation mène à considérer
les 2 cas suivants
Lorsque le vecteur donde k est loin dun bord de
Zone de Brillouin
La relation de dispersion est identique à celle
dun électron libre Lélectron nest donc pas
perturbé par la présence du cristal.
Lorsque le vecteur donde k est proche dun bord
de Zone de Brillouin
Il y a une ouverture de la relation de
dispersion, générant une bande dénergies
interdites pour ces k. Lélectron est en
condition de Bragg avec la périodicité du cristal
Lélectron nest perturbé par le cristal que
dans cette condition. Louverture de cette bande
interdite est proportionnelle (au premier ordre)
au potentiel dattraction du cristal
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III. Bandes d'Énergie Électrons presque libres
Louverture de cette bande interdite est
proportionnelle (au premier ordre) au potentiel
dattraction du cristal
Observons la colonne IV du tableau de Mendeleiev
Élément Largeur de bande interdite (eV)
C 5.5
Si 1.12
Ge 0.67
Même évolution avec les nitrures, les arsénures,
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Présentation graphique du résultat
E
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
k
0
Schéma de zone étendue
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Comme pour les électrons libres on peut se
limiter à la première zone de Brillouin
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Métal - Semiconducteur - Isolant Structures de
Bandes réelles
Question préliminaire
Quel est le nombre d'états électroniques dans une
bande ?
Une bande contient un nombre d'états égal au
volume de la 1ère zone de Brillouin
Le volume par état dans l'espace des k est
(Conditions aux limites périodiques !)
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III. Bandes d'Énergie Métal Semiconducteur -
Isolant
Rappel du théorème de Bloch
avec
Conditions aux limites périodiques
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Conséquences
Mêmes conditions que pour les électrons libres
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Une bande contient donc
états
N Nombre de mailles primitives de l'échantillon
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D'abord 1D
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes monovalents
Il y a 1 électron par maille primitive !
Donc N électrons dans la chaîne
40
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes divalents
41
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes trivalents
Etc.
42
Donc en une dimension c'est simple
Nombre d'électrons impair comportement
métallique
Nombre d'électrons pair isolant ou
semiconducteur
Remarque Tous les éléments de nombre atomique
impair sont des métaux !
Pourquoi les éléments avec un nombre atomique
pair ne sont ils pas tous des isolants ou des
semiconducteurs ?
Illustration de la réponse en 2D
43
Exemple réseau carré plan de paramètre a
44
Représentation en "coupe"
45
Atomes monovalents
Les électrons vont occuper les N places de plus
basse énergie
46
Atomes divalents
2N électrons
1er cas XC gt MV
Les 2N états d'énergies les plus basses se
trouvent dans la première bande
Comportement isolant ou semiconducteur
47
Atomes divalents
2N électrons
2ème cas XC lt MV
Les 2N états d'énergies les plus basses se
trouvent à la fois dans la première bande et la
deuxième bande
Chevauchement de bandes
Comportement métallique
48
Quelques exemples en 3D
49
Exemple Cs et Ba Évolution du niveau de Fermi
50
Al, cfc, a 4,05 Å Trivalent !
51
Cu, cfc, a 3,61 Å
On remarque les bandes d
52
Si, cfc, a 5,431 Å
Atomes en (000) et (¼ ¼¼)
53
Surfaces de Fermi
Définition La surface de Fermi est la surface,
qui dans lespace des k sépare les états
occupés des états vides à T 0 K
54
Exemple en 2D réseau carré plan de paramètre a
(réseau réciproque carré plan de 2p/a)
55
Atomes monovalents
56
Atomes divalents
57
Atomes trivalents
58
Remarque k nest déterminé quà G près
59
Schéma de zone répété
1ère zone de Brillouin
2ème zone de Brillouin
60
Remarque en 3D cela devient complexe !
Exemple Al Surface de Fermi est presque une
sphère !
Remarque La 3ème zone est appelé   "le monstre"
61
Comment se modifient les lignes d'isoénergie dans
le cas de vraies bandes ?
Exemple en 2D réseau carré plan de paramètre a
62
Quelques exemples réel
Métaux alcalins
63
Métaux nobles
64
Al réel
65
Dernier exemple W
Si cela vous intéresse plus
http//www.phys.ufl.edu/fermisurface
66
(No Transcript)
67
Remarque La notion de densité d'états reste
valable
Expression générale de la densité détats g(E)
G (E) dE est le nombre discrets de valeurs de k
qui se trouvent entre les surfaces
correspondantes à E const. et E dE const.
dans lespace des k
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Par conséquence
69
Exemple
70
Exemple
71
Dernier exemple
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Les états électroniques solution de l'équation de
Schrödinger
Le réseau réciproque (la transformée de Fourrier
du réseau cristallographique) est donné par
Conséquences
à l'intérieur de la 1ère ZdB
sont des relations périodiques dans
n est l'indice de bande
Si n m, Em(k) est la relation de dispersion qui
correspond au valeurs de k de la mème zone de
Brillouin, translatée dans la 1ère zone !
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Influence du potentiel périodique
Dès que les valeurs de k approchent la limite
d'une zone de Brillouin un gap s'ouvre dans les
relations de dispersion.
Selon différents directions de l'espace des k,
plusieurs bandes peuvent se chevaucher
Une bande peut contenir 2 N électrons (N
Nombre de mailles primitives de l'échantillon)
La position du niveau de Fermi détermine le
comportement d'un matériau
Métal EF se situe à l'intérieur d'une ou de
plusieurs bandes
Isolant ou semiconducteur EF se situe en haut
d'une bande pleine et toute les autres bandes
sont vides
Isolant la gap entre la dernière bande pleine
et la première bande vide est supérieur à 3-5eV
Semiconducteur la gap entre la dernière bande
pleine et la première bande vide est inférieur à
3-5eV
La surface de Fermi est la surface, qui dans
lespace des k sépare les états occupés des
états vides à T 0 K