S

1
Sündmuste korrutis
2
Tinglik tõenäosus
Olgu fikseeritud mingi katse ning A ja B
suvalised katsega seotud sündmused tõenäosustega
P(A) ja P(B). Olgu veel P(B) ? 0.
Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B
nimetatakse sündmuse A tõenäosust eeldusel, et
sündmus B toimus ja tähistatakse P(A?B) või P(A /
B) või P(A \ B).
Näide
Urnis on 3 võiduga ja 7 võiduta loteriipiletit.
Sündmuseks B on võiduga pileti tõmbamine 1.
katsel (piletit tagasi ei panda). Sündmuseks A on
võiduga pileti tõmbamine teisel katsel.
Sündmuse A tõenäosus on juhul, kui toimus sündmus
B (ehk tingimusel B) 2/9, vastupidisel juhul (kui
sündmus B ei toimunud, ehk esimesel katsel
tõmmati välja võiduta pilet) aga 3/9.
3
Sõltuvad ja sõltumatud sündmused
Sündmust A nimetatakse sõltuvaks sündmusest B,
kui sündmuse A tõenäosus oleneb sündmuse B
toimumisest või mittetoimumisest. Sündmust A
nimetatakse sõltumatuks sündmusest B, kui kehtib
seos P(A B) P(A) ning sündmus A sõltub
sündmusest B kui P(A B) ? P(A).
Näited
Kui viskame täringut kaks korda järjest, siis
teisel katsel saadavate silmade arv (sündmus A)
ei sõltu esimesel katsel saadavast silmade arvust
(sündmus B).
Ochkod (Blackjacki) mängides tõmmatakse
kaardipakist järjest kaarte neid tagasi panemata.
Iga järgmise kaardi tõmbamisel sõltub saadav
silmade arv sellest, millised kaardid on juba
välja tõmmatud.
4
Tõenäosuste korrutamislause
Kahe mistahes sündmuse korrutise tõenäosus on
võrdne ühe osasündmuse tõenäosuse ja teise
osasündmuse tingliku tõenäosuse
korrutisega P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A
B)
Tõestus (klassikalise tõenäosuse definitsiooni
puhul)
Olgu n mingi katse kõikide võrdvõimalike juhtude
arv ning A ja B mingid selle katsega seotud
sündmused.
Leiame sündmuse A tingliku tõenäosuse tingimusel
B. Selleks tuleb sündmuse AB toimumiseks
soodsate juhtude arv k jagada sündmuse B
toimumiseks soodsate juhtude arvuga m (kuna
eeldame sündmuse B toimumist)
Analoogselt tõestatakse ka, et P(AB)
P(A)P(BA).
5
Sõltumatute sündmuste korrutis
Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on
võrdne osasündmuste tõenäosuste korrutisega.
6
Täistõenäosuse valem.
Moodustagu sündmused B1 , ... , Bn (hüpoteesid)
täieliku sündmuste süsteemi tõenäosustega P(B1),
... , P(Bn). Mõnega (või kõigiga) sündmustest Bi
kaasneb sündmus A, kusjuures A tinglik tõenäosus
tingimusel Bi on P(A Bi). Siis
7
Näide 1
Loosirattas olevast sajast piletist võidavad
kümme. Kui tõenäone on kolme pileti järjestikusel
võtmisel ainult võitude saamine?
Vastus. Kolme järjestikuse võidu saamise
tõenäosus on 0,000742.
8
Näide 2
Eksamile tuleb üliõpilasi kolmest grupist. 1.
grupis on 7, teises 6 ja kolmandas 8 tudengit.
Esimese grupi tudeng sooritab eksami tõenäosusega
0,9, teise grupi tudeng tõenäosusega 0,8 ja
kolmanda grupi tudeng tõenäosusega 0,95. Millise
tõenäosusega sooritab eksami juhuslikult
sisseastunud tudeng?
Sündmus A saab kaasneda suvalisega sündmustest
B1, B2, B3 (tudengid saavad olla vaid nimetatud
kolmest grupist). Täistõenäosuse valemi kohaselt
Vastus. Suvaline tudeng sooritab eksami
tõenäosusega 0,89.
9
Bayesi valem.
Olgu antud hüpoteeside täielik süsteem H1 ,... ,
Hn ning olgu teada nende hüpoteeside tõenäosused
P(H1), ... , P(Hn). Tehakse katse, mille
tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud
tõenäosused P(AH1), ... P(AHn) olgu teada. Siis
avaldub hüpoteesi Hi tinglik tõenäosus Bayesi
valemi kujul
Tõestus. Korrutamislause põhjal
millest
mida oli vaja näidata.
10
Näide 3
36-st kaardist koosnev kaardipakk jagati kolmeks
esimeses 10 kaarti, neist 6 musta masti, teises
12 kaarti, neist 7 musta masti ja kolmandas 14
kaarti, neist 5 musta masti. Juhuslikust pakist
valiti juhuslik kaart, see osutus mustaks.
Millised on tõenäosused, et kaart pärineb
esimesest, teisest või kolmandast pakist?
Tõenäosus, et kaart pärineb 1. pakist, eeldusel,
et kaart on musta masti
P(must mast on pärit 2. pakist)
P(must mast on pärit 3. pakist)
11
Bernoulli valemi tuletamine.
Lahenduskäik
n katsest koosneva seeria korral on üheks
võimaluseks sündmuse A m-kordseks esinemiseks
järgmine tulemus
Katsete sõltumatuse eelduse tõttu on sündmuse B
tõenäosus
12
Bernoulli valem.
Saadud valemit nimetatakse Bernoulli valemiks.

1. kui m n, siis Pn,n pn
2. kui m 0, siis P0,n qn

Erijuhud
Lahendus
Siin p q 0,5 ja Bernoulli valemi põhjal
13
Näide 5
Arvuti mitteriknemise tõenäosus garantiiaja
jooksul on 0,8. Leida 4 aparaadi korral tõenäosus
selleks, et garantiiremonti ei vaja 0, 1, 2, 3, 4
arvutit.
Lahendus
Bernoulli valemist leiame
14
Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv.
15
Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv.
Teisest võrratusest grupist (1) saame analoogselt
Kokkuvõttes oleme leidnud, et kõige tõenäosemalt
esinev sagedus on
Lahendus
Siin p 0,4, q 0,6 ja n 15. Valemi (2)
põhjal
Vastus. Hõbevälgu tõenäoseim võitude arv on 6.