Folie 1

1
Jan Wosnitza
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Portfoliomodelle Faktormodelle
2
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Quelle Wehn, C. S. Einführung in die
finanzmathematische Messung von
Kreditrisiken..., Siegen 2006
3
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Erwartungswert und Varianz
Credit Event Ereigniss Default
Ausfall Downgrading Bonitätsverschlechterung
Stochastischer Prozess Betrachtung von
Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf
Irrfahrten Einfache zeitdiskrete stochastische
Prozesse zur idealisierten Modellierung von
Kursen oder Bewegung physikalischer
Teilchen Ausgehend von einem Startwert X(t0)
werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte
t1,2, rekursiv nach einfachen
Konstruktionsprinzipien erzeugt.
4
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Z(t) Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte
u (up) und d (down) annehmen kann
5
http//de.wikipedia.org/wiki/Zufallsbewegung,
31.05.2008
6
Satz 1
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt
sich ein linearer Trend
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse
und der Linearität des Erwartungswertes gilt
7
Satz 2
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt
8
Beweis 2
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Nebenrechnung für den Integranden
Nebenrechnung für Erwartungswerte
9
Beweis 2
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
10
Beweis 1
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung
der Unabhängigkeit der Zuwächse
11
Beweis 1
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
12
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Binomialprozesse sind zur Modellierung von
positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur
bedingt geeignet, da auch negative Realisationen
möglich sind, und die Größe der Zuwächse
unabhängig vom momentanen Wert sind, was
empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B.
Aktienkurse
Geometrische Binomialprozesse sind durch eine
multiplikative Rekursion definiert
13
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Aus der Linearität des Erwartungswertes und der
Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt
Dabei gilt
14
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Durch Logarithmieren erhält man einen
Binomialprozess (Random Walk)
Für große t ist Yt approximativ normalverteilt
(Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt
approximativ lognormalverteilt.
15
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum
Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als
unabhängig und identisch verteilt angenommen
werden,
Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir
normalverteilte Zuwächse annehemen
Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt
Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für
beliebig identisch verteilte Zuwächse
16
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen,
besitzen die Markov-Eigenschaft
Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und
Vergangenheit (bedingt) unabhängig.
Insbesondere Irrfahrten der Form
sind stochstische Prozesse mit
unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten
sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen
Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer
Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft
17
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Ein stochastischer Prozess W(t), t ? 0 heißt
Wiener-Prozess, wenn gilt

1. W(t)N(0?²t)
2. W(0)0
3. Der Prozess hat unabhängige Zuwächse, d.h. für
   0?sltt ist W(t)-W(s) unabhängig von W(s)
4. Für 0?sltt gilt für die Zuwächse
   W(t)-W(s)N(0,?²(t-s). D.h. sie sind
   normalverteilt und stationär (d.h. die Verteilung
   des Zuwachses hängt nur von der Länge des
   Zeitintervalls t-s ab)
5. Die Pfade (Realisierungen) sind stetige
   Funktionen auf 0??)

18
http//de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess,
31.05.2006
19
Bestimmung der Kovarianz des Wiener-Prozess
W(t)-W(s) ist per Definition unabhängig von W(s).
Daraus folgt, dass der Korrelationskoeffizient
zwischen den beiden Größen Null ist. Per
Definition des Korrelationskoeffizenten ist nun
auch die Kovarianz der beiden Größen Null. (Die
Verweise in der Gleichung beziehen sich auf die
Definition des Wiener-Prozess a) und c)
20
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Auch die Markov-Eigenschaft überträgt sich von
der Irrfahrt auf den Wiener-Prozess
21
Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

• Ein stochastischer Prozess X(t), t?0 heißt
  geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt
• X(0)1
• Für 0lts?t sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und
  X(s) unabhängig
• Für 0lts?t sind die logarithmierten Quotienten
  der Zufallsvariablen normalverteilt
• Die Pfade sind stetig

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Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebe
griffe Random Walk Geometrische
Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigensch
aften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche
Bewegung Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells
Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch
Lösung der speziellen stochastischen
Differentialgleichung der Form
?
23
http//de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_brownsch
e_Bewegung, 31.05.2008
24
https//www.cortalconsors.de/euroWebDe/-,
31.05.2008
Aktienkurs von Henkel AG Co. KGAA
25
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Bilanz Bilanz
Aktiva Passiva
Vermögen A Eigenkapital S
Vermögen A Fremdkapital K
Unternehmenswert zum Zeitpunkt T AT
26
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells

• Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu
  unterscheiden
• AT?K
• Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt
• Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre
  beträgt AT-K ?0
• ATltK
• Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des
  Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht
  vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist
  somit eingetreten
• Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten
  nichts, die Aktien sind wertlos

27
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung
dargestellt. Links aus Sicht der
Eigenkapitalgeber Rechts aus Sicht der
Fremdkapitalgeber
Put- und Calloption
28
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells

• Annahmen im Modell von Black-Scholes
• Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu
• Keine Dividenden
• Zinssatz r bekannt und fest
• Volatilität des Underlyings bekannt und fest
• Keine Transaktionskosten
• Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich
• Beliebig kleine Stückelung des Underlyings
• Leerverkauf des Underlyings möglich
• Geldleihe
• Lognormalverteilung des Aktienkurses

29
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Lognormalverteilung des Aktienkurses
30
Black-Scholes-Merton-Formel (Herleitung Lemm,
J. (2006) Binomialmodell für Optionen)
31
Satz 3
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Erwartungswert der Lognormalverteilung
32
Beweis 3
33
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Eine besondere Rolle spielt die
Standardnormalverteilung. Oftmals führt man
normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr
standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der
Regel ohne Informationsverlust möglich, da die
Standardisierung lediglich eine lineare
Transformation ist.
Zur Transformation der Log-Renditen in eine
standardnormalverteilte Zufallsvariable
definieren wir Z durch
34
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer
N(?,?2)-verteilten Zufallsvariable X durch die
Verteilungsfunktion ? der Standardnormalverteilung
ausdrücken
35
Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit
gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch
nicht ausgefallenen Unternehmen
Man beachte, dass es sich hierbei um
risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten
handelt.Die Distance to Default d2 gibt einen
Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies
ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell
36
Beweis 5
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Beweis für
37
Satz 4
Man beachte, dass es sich hierbei um
risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten
handelt. Die Distance to default d2 gibt einen
Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an
38
Satz 4
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
39
Beweis 4
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
40
Beweis 4
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
41
Beweis 4
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
42
Beweis 4
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
43
Satz 5
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Der Barwert der Kreditrisikobehafteten
Nullkuponanleihe PTK-(K-AT) zum Zeitpunkt
t?0T ist
44
Beweis 5
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die
Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und
einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K.
Dann ist Pt zur Zeit t?T damit gleich der
Differenz der Barwerte dieser Instrumente
?
45
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Das Ein-Faktor-Merton-Modell geht als Spezialfall
der Asset-Wert-Modelle davon aus, dass das
ökonomische Geschick eines Kreditnehmers von der
Realisierung eines zugrunde liegenden latenten
Prozesses abhängt. Dieser Prozess wird als
stochastischer Prozess modelliert, wobei die
Stochastik dieses Prozesses die allgemeine
Unsicherheit bzgl. zukünftiger Entwicklungen
ausdrücken soll Sobald das Vermögen einer Firma
eine gewisse kritische Schranke ci
unterschreitet, wird die Firma als insolvent oder
zahlungsunfähig angesehen und alle zugehörigen
Kredite werden als ausgefallen markiert. Beschränk
t man sich bei dieser Betrachtungsweise auf einen
festen Evaluierungshorizont auf der Zeitachse,
reduziert sich der latente Prozess auf eine
zugrunde liegende latente Variable, die einer
gewissen Verteilung folgt. Das klassische
Meron-Modell nimmt als latenten Prozess die
log-Renditen einer geometisch Brownschen Bewegung
an, woraus für einen festen Evaluierungshorizont
Tgt0 normalverteilte Variablen resultieren.
46
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Wir gehen von einem Portfolio mit m Kreditnehmern
aus. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass
jeder Kreditnehmer nur einen Kredit bei der Bank
aufgenommen hat. Die latente Variable von
Kreditnehmer i ist Ri Sobald der Score Ri unter
eine gewisse, kritische Schranke ci fällt, Riltci,
sprechen wir von einem Ausfall des Kreditnehmers
i. Bei dieser Darstellung gehen wir von einem
festen Zeithorizont T als Evaluierungshorizont
aus, z.B. T1 Jahr Die Ausfallwahrscheinlichkeit
pi des Kreditnehmers i ist auf Basis obiger
Ausführungen gleich der Wahrscheinlichkeit, dass
der Score Ri am Horizont T kleiner als der
Cut-off Wert ci ist
Die Gleichung für Ri ist eine gängige Art, die
latente Variablen Ri der m Kreditnehmer im
Portfolio mittels eines systematischen Faktors Y
zu parametrisieren. Daher kommt die Bezeichnung
Ein-Faktor-Modell.
47
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Die Variablen ??i bezeichnen hierbei unabhängige
identisch verteilte Zufallsvariablen, unabhängig
von Y, welche die residuale, nicht durch
Schwankungen des systematischen Faktors Y
erklärbare Schwankungen der latenten Variablen Ri
widerspiegeln. Der Faktor ?i quantifiziert das
Maß der Abhängigkeit der latenten Variablen Ri
von dem systematischen Faktor Y Merton hat in
seinem Modell folgende Normalverteilungsannahme
getroffen
48
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
49
https//www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Blau Bear Stearns Cos. Inc.
50
https//www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün DAX Blau Deutsche Bank
51
https//www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün SMI Blau Novartis
52
https//www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün Dow Jones Industrial Average Blau General
Electrics
53
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen
erhalten wir
54
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Mit Hilfe der Fouriertransformation erhalten wir
eine andere Darstellung für die Delta-Funktion
55
Satz 6
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier
unabhängiger standardnormalverteilter
Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt
56
Beweis 6
57
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in
der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet
unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller
Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine
reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird
in der Mathematik das p-Quantil wie folgt
definiert Sei X eine Zufallsvariable und F ihre
Verteilungsfunktion, so heißt für p?0 1 die
durch unten angegebene Funktion definierte
Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als
p-Quantil von F bezeichnet
58
http//de.wikipedia.org/wiki/Quantil, 31.05.2008
59
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der
Standardnormalverteilung
60
Satz 7
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Die Korrelation der latenten Variablen zweier
verschiedener Kreditnehmer ist
Man spricht bei dieser Korrelation auch von
Assetkorrelation zweier Kreditnehmer
61
Beweis 7
62
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell
Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten
Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine
Realisierung Yy des systematischen Faktors Y.
Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle gegeben
Yy legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlic
hkeiten etwas näher zu betrachten
63
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in
die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über
folgenden Zusammenhang ein
Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann
ein, wenn am Evaluierungshorizont T die
Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer
eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt
also die Wahrscheinlichkeit für das simultane
Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung
von Ri und Rj ab.
64
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Zufallsvektor Ein p-dimensonaler Zufallsvektor
setzt sich aus p eindimensionalen
Zufallsvariablen zusammen
Erwartungswertvektor Existiert für jede
Zufallsvariable Xi eines Zufallsvektors X der
Erwartungswert??i so schreiben wir
Kovarianzmatrix Die Kovarianz Cov(Xi, Xj) zweier
Zufallsvariablen Xi und Xj wird mit ?ij
bezeichnet. Die Kovarianzmatrix ? enthält alle
Kovarianzen und Varianzen eines Zufallsvektors
65
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Korrelationsmatrix Die Korrelaionsmatrix R
enthält anstelle der Kovarianzen die
Korrelationen ?ij der Zufallsvariablen Xi und Xj
Die Kovarianzmatrix und Korrelationsmatrix
enthalten unter- und oberhalb der Hauptdiagonalen
genau die gleichen Elemente, da
66
Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso
wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige
Verteilung, so dass eine Dichte existiert
Für p2 sprechen wir von einer bivarianten
Normalverteilung
Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteil
t sind, vereinfacht sich die Dichte der
bivarianten Normalverteilung
67
http//de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteil
ung, 31.05.2008
68
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Da ci und cj über ci?-1(pi) und cj?-1(pj) von
den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt
auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von
den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als
dritter Parameter geht in die gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation
zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine
analoge Gleichung kann für die gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m
Kreditnehmer im Portfolio (k?m) hergeleitet
werden.
69
Satz 8
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Cauchy-Schwarz-Ungleichung Für zwei
Zufallsgrößen X und Y gilt Gleichheit gilt
genau dann, wenn es reelle Zahlen a,b gibt, die
nicht beide Null sind, sodass P(aXbY0)1, d.h.
wenn X und Y konstante Vielfache von einander
sind.
70
Beweis 8
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ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Wir dürfen annehmen, dass ??gt0, denn sonst wäre
P(Y0)1, also auch E(XY)0, und die behauptete
Ungleichung stimmt trivalerweise.
71
Beweis 8
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ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Falls Gleichheit gilt, so ist der Erwartungswert
von (?X-?Y)2 gleich Null, also folgt
P(?X-?Y0)1. Falls ?gt0, so können wir ?a und
b? wählen. Falls ?0, so können wir a0 und b1
wählen.
72
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ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Aus einer Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
auf die Zufallsgrößen X-E(X) und Y-E(Y) folgt
insbesondere die Ungleichung
73
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
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ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Wir stellen nun einen Zusammenhang zwischen
Ausfall- und Assetkorrelation her
Die Standardabweichung erhält man über das Modell
Bernoulli-verteilter Ausfälle
74
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Mode
ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Umrechnung von Assetkorrelationen ?ij in
Ausfallkorrelationen Corr(1Di,1Dj) ?
75
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
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ll Lognormalverteilung Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert
einer Nullkuponanleihe Einführung in das
Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetko
rrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Meh
rdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame
Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Werteb
ereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang
zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung
der latenten Variablen Anwendungen des
Faktormodells
Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der
latenten Variablen Ri in eine systematische
Komponente (gegeben durch die Variable Y) und
einen kreditnehmerspezifischen Effekt ?i. Man
kann die (quadrierte) Schwankung der latenten
Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen
76
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern
Wir nehmen also vereinfachend an, dass die
Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich
ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle
Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li1 und
die Schwellenwerte gleich sind cic. Mit Hilfe
des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit,
erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau
n Ausfälle
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Bei gegebenem treibendem Faktor Yy ist die
Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem
Portfolio, wenn wir annehmen, dass pipj für alle
i,j?1,2,,m
Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der
Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis
auf die Ausprägung von Y)
78
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines
einzelnen Kreditnehmers ist gleich der
Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma Ri
unter den Schwellenwert c sinkt, unter der
Bedingung, dass Yy ist.
79
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
80
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern
(m??) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei
X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle
darstellt.
Somit kommen wir zu
Wir haben y? so gewählt, dass p(-y?)x und p(y)?x
für ygty?
81
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
82
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir
für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X
83
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere
treibende Faktoren Yj der Assetwerte der
Kreditnehmer erweitert werden
Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers
(einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J
möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder
treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets
der n-ten Firma mit einem Gewicht ?nj. ?n nennt
man den Gewichtsvektor der n-ten Firma.
Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn
der Firmenwert unter die kritische Schranke cn.
84
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Wenn eine Realisierung des Faktor-Vektors Yy
gegeben ist, dann ist die Ausfallwahrscheinlichkei
t des n-ten Kreditnehmers
85
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Wir können nun die Wahrscheinlichkeit für genau m
Ausfälle in dem gesamten Portfolio angeben
(jetzt hat das Portolio genau N Kreditnehmer)
Dabei geht die Summe über alle Teilmengen
M?1,,N mit genau m Elementen. Man bezeichnet
M als die Kardinalität Mm
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit genau m
Ausfälle zu erleiden ist somit
Die numerische Implementierung dieser Gleichung
ist oft unmöglich, wegen der großen Anzahl an
Summationselementen in der Gleichung.
86
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Beispiel. Angenommen, dass Portfolio besteht aus
zwei Klassen von Kreditnehmern C1 und C2. N1
Kreditnehmer befinden sich in Klasse C1 und N2 in
C2. Kreditnehmer der selben Klasse haben die
selben Schwellenwerte c1 oder c2 und die selben
Faktorbeladungen (factor loadings)
Die Kreditnehmer werden in verschiedene
risikoklassen bzgl. der Kriterien Industrie,
Länder, Rating. Aber in den einzelnen
Risikoklassen wird keine Unterscheidung bzgl. der
Kreditnehmer getroffen. Ähnliche
Klasseneinteilungen (Klassifikationen werden auch
bei CreditMetrics oder CreditRisk getroffen.
87
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die Assetwerte der Kreditnehmer innerhalb einer
Klasse sind korreliert mit einem
Korrelationskoeffizient ?1 bzw. ?2
Die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Klasse
1 und 2 sind
88
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die bedingte Wahrscheinlichkeit genau m1 Ausfälle
in Klasse 1 zu haben ist durch die
Binomialwahrscheinlichkeit bestimmt
Insgesamt ergibt sich für die bedingte
Wahrscheinlichkeit m Ausfälle in gesamten
Portfolio zu beobachten
Wenn m1 Ausfälle in Klasse 1 geschehen, dann
benötigen wir m-m1 Ausfälle in Klasse 2 um gesamt
Anzahl an Ausfällen m zu erhalten.
89
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit m Ausfälle im
gesamten Portfolio zu beobachten ergibt sich mit
Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit
zu
Analog lässt sich dieser Ansatz auf mehr als zwei
Klassen von Kreditnehmern (Obligors) übertragen.
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Eine weitere Verallgemeinerung des Modells
erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen,
die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert
der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu
modellieren. Wir führen Ratingklassen-Übergänge
ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen
der Vermögenswerte (asset values) Rn, wenn die
Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl
unterschreiten. ckl ist der Schwellenwert für
einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse
l. Wenn sich das Rating des Obligors
(Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l
verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe)
den Wert (LnExposureHöhe des Kredits) ?klLn
91
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des
Obligors n unter die Schwelle ckl, bei gegebenem
Yy, ist
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ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der
Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen
Wertveränderung der Anleihe ??kl, können wir den
bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz
des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n
angeben
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
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ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
The normal approximation now approximates the
conditional distribution of the change in the
value of the portfolio with a normal distribution
with the same conditional mean and variance as
the conditional mean and variance of the
portfolio. Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen)
in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute
Approximation
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung
(bedingt bezüglich einer Realsiation der
Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine
Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und
Varianz an
Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem
Portfolio groß ist, ist dies eine gute
Approximation
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Bei Verwendung dieser Approximation wird die
bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine
Standard-normalverteilung
Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio
Wertes ist
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
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ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Asset-Wert-bassiert Ausfallraten-basiert
Credit Metrics (J.P.Morgan) CreditRisk (Credit Suisse First Boston)
Insolvebz tritt ein, wenn das Vermögen eines Unternehmens seine Schulden unterschreitet. Deshalb hängt das Ausfallrisiko von der stochastischen Entwicklung der Aktiva eines Unternehmens ab. Da diese Entwicklung nicht direkt zu beobachten ist, werden andere Größen, z.B. der Börsenkurs als Indikatorvariable verwendet Die Schätzung des Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kredites oder Kreditnehmers werden auf Basis historischer Ausfallhäufigkeiten vorgenommen
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Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Nach dem Risikokonzept bei der Definition des
Modellierungsziels unterscheidet man Modelle, die
einen möglichen Verlust aus dem Kreditausfall
analysieren (Default models DM) und Modelle,
die bereits eine Verschlechterung der
Kreditqualität während der Laufzeit (z.B.
Downgrading) als Kreditereignis betrachten und
damit den Credit Spread von gehandelten
Kreditinstrumenten wie Anleihen modellieren (Mark
to Market Models MTM)
CreditRisk CreditMetrics
Definition Risiko Verlust aus Kreditausfällen Marktwertänderung
Risikotreiber Keiner (Default Rates) Asset-Wert
Kreditausfälle Ja Ja
Bonitätsveränderungen Nein (integrierbar) Ja (Credit Spread)
98
Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das
Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analyt
ische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktor
modell Ausfallwahrscheinlichkeiten im
Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk
Bezüglich der Modellierung unterscheiden sich die
einzelnen Modelle auch in den Datenquellen, wobei
die Ausfallraten-Modelle bestimmte Abhängigkeiten
über die Branchen und Sektoren oder auch
makroökonomische bzw. konjunkturelle
Abhängigkeiten unterstellen, während die
Asset-Wert-basierten Modelle die multivariate
Normalverteilung von Aktienrenditen und ihre
Korrelation mit Aktienindizes unterstellen. Die
Verluste bei Ausfall eines einzelnen Kredits
(Loss Given Default LGD) sind ebenfalls a
priori unbekannt. Für sie kann eine Korrelation
mit anderen Einflussgrößen unterstellt werden
oder der relative Verlust, der mit dem
Rückgewinnungsanteil, der Recovery Rate, negativ
korrespondiert, wird als konstant (zumindest pro
Branche, Sektor, etc.) angenommen.
Credit Risk CreditMetrics
Zuordnung der Ausfallraten Internes Scoring/Rating Rating
Korrelation von Ausfällen Stochastische Abhängigkeit der Ausfallraten Multivariate Normalverteilung der Asset-Renditen
Korrelation der Kreditereignisse Volatile Ausfallraten und Sektorzuordnungen Korrelation der Aktienindizes (Region, Branche)
Recovery Raten Zufällig konstant
99
(No Transcript)
100
Vielen Dank!
101
VIELEN DANK UND VIEL ERFOLG!