Model ciagly wyceny opcji Blacka

1
Model ciagly wyceny opcjiBlacka Scholesa -
Mertona

• Wzór Blacka - Scholesa na wycene opcji
  europejskiej.

2
Model Blacka Scholesa- Mertona

• Przelomowe prace z zakresu wyceny opcji
• Fischer Black, Myron Scholes The pricing of
  Options and Corporate Liabilities, Journal of
  Political Economy (Mai/Juni 1973)
• Robert C. Merton Theory of Rational Option
  Pricing Bell Journal of Economics and Management
  Science (1973)
• Modele które do chwili obecnej sa centralnym
  obiektem matematyki finansowej i przyczynily sie
  do gwaltownego rozwoju inzynierii finansowej
  opartej na instrumentach pochodnych
• W 1997, Robert Merton i Myron Scholes otrzymali
  nagrode Nobla w ekonomii (Fischer Black zmarl w
  1995)

3
Uogólnienie definicji wyceny opcji

• Wzór na wycene opcji w modelu dwumianowym
  wieloetapowym mozna bylo interpretowac jako
  zdyskontowana, oczekiwana wartosc funkcji
  wyplaty opcji, przy tzw. prawdopodobienstwie
  neutralnym wobec ryzyka (risk free probability),
  przy którym oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest
  równa stopie wolnej od ryzyka.
• Uwzgledniajac to podejscie i zakladajac ciagla
  kapitalizacje odsetek mozna przyjac ogólna
  definicje wyceny opcji kupna na T lat przed data
  wygasniecia opcji jako zdyskontowana, oczekiwana
  wartosc funkcji wyplaty
• C e - r T E
  max(S(T) K, 0)
• r roczna stopa wolna od ryzyka przy
  ciaglej kapitalizacji
• S(T) cena instrumentu bazowego w dniu
  wygasniecia opcji
• K cena realizacji opcji

4
Uogólnienie definicji wyceny opcji sprzedazy

• Wprowadzmy oznaczenie
• (S(T) K) max(S(T) K,0),
• zatem
• C e - r T E(S(T) K)
• Podobnie dla opcji sprzedazy, jej wartosc
  okreslimy jako zdyskontowana, oczekiwana wartosc
  funkcji wyplaty w chwili T
• P e-rT E max(K S(T), 0)
• lub krócej
• P e-rT E (K S(T))

5
Warunki wyceny

• Ceny akcji podlegaja bladzeniu przypadkowemu
• Oczekiwana stopa zwrotu z akcji w krótkim okresie
  czasu jest równa krótkoterminowej wolnej od
  ryzyka stopie procentowej (tzw. warunek
  powszechnej obojetnosci wzgledem ryzyka)
• wolna od ryzyka stopa procentowa oraz
  wspólczynnik zmiennosci akcji sa stale w
  rozpatrywanym okresie
• W okresie waznosci opcji akcje bazowe nie
  przynosza dywidendy
• Nie istnieja mozliwosci arbitrazu
• Papiery wartosciowe sa nieskonczenie podzielne,
  koszty transakcyjne zerowe
• Pozyczki i lokaty podlegaja tej samej wolnej od
  ryzyka stopie procentowej
• Obrót papierami wartosciowymi jest ciagly

6
Zmiennosc ceny akcji

• Wspólczynnik rocznej zmiennosci akcji ?
  definiujemy jako
• odchylenie standardowe rocznych logarytmicznych
  stóp zwrotu akcji ?i ln (Si / Si-1),
• ?i - logarytmiczna stopa zwrotu w i-tym roku,
  Si cena akcji w i-tym roku)
• Wspólczynnik zmiennosci ? czesto obliczana jest w
  oparciu o miesieczne logarytmiczne stopy zwrotu.
  Poniewaz zaklada sie niezaleznosc logarytmicznych
  stóp zwrotu, wiec roczna wariancja jest iloczynem
  miesiecznej wariancji i liczby 12. Zatem roczne
  odchylenie std. jest równe miesiecznemu
  pomnozonemu przez pierwiastek z 12. Analogicznie
  mozna wyliczac roczna zmiennosc ze zmiennosci
  tygodniowej, dziennej, itd.

7
Ciagly model zmiennosci cen akcji

• UWAGA Tzw. model ciagly zmiennosci akcji jest
  wynikiem przejscia granicznego, czyli
  zastosowania odpowiedniej wersji centralnego
  twierdzenia granicznego dla dyskretnego modelu
  zmiennosci ceny akcji.
• Wykazemy, ze
• S(T) S(0) eX(T)
• gdzie X(T) jest pewna zmienna losowa o rozkladzie
  normalnym
• S(T) - zmienna losowa okreslajaca cene akcji w
  chwili T

8
Zalozenia konstrukcji ciagu zmiennych losowych
Sn(T) przyblizajacych zachowanie sie cen akcji w
chwili T

• (i) Zmienne losowe lnSn(T)/S(0) maja
  jednakowa wariancje dla kazdego n, wynoszaca
  Ts2.
• (ii) Ceny akcji zmieniaja sie jak w modelu
  multiplikatywnym
• (iii) Wartosc oczekiwana wspólczynnika zmiany
  ceny akcji w jednym etapie jest równa
  wspólczynnikowi wzrostu dla inwestycji wolnej od
  ryzyka.

9
Pojecia i oznaczenia

• n liczba etapów w okresie czasu o dlugosci T,
  (T wyrazone w latach)
• T/n - dlugosc etapu
• (1)
• Rn jest wspólczynnikiem wzrostu dla inwestycji
  wolnej od ryzyka w jednym etapie, przy ciaglej
  kapitalizacji odsetek, r stopa roczna przy
  kapitalizacji ciaglej

10
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji

• Fluktuacje z modelu multiplikatywnego stanowia
  ciag niezaleznych zmiennych losowych ?n(i) , o
  jednakowych rozkladach zdefiniowanych wzorem
• (2)
• dla kazdego i 1,2,,n . Litera i jest numerem
  etapu, un i dn to wspólczynniki zmiany ceny
  akcji. Zakladamy, ze un gt dn. Zakladamy, ze
  kazda z tych dwóch wartosci przyjmowana jest z
  prawdopodobienstwem równym 0,5.

11
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji

• Z zalozenia (iii) (wartosc oczekiwana
  wspólczynnika zmiany ceny akcji w jednym etapie
  jest równa wspólczynnikowi wzrostu dla inwestycji
  wolnej od ryzyka) wynika, ze
• (3) Rn 0,5 (un dn)
• Z przyjecia modelu multiplikatywnego - cena w
  momencie T wynosi

12
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji
13
(No Transcript)
14
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji
15
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji
16
Z równania (6b) oraz (6) otrzymujemy wyrazenie na
undn
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji
20
Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmiennosci
akcji
21
Logarytmiczno-normalny rozklad ceny koncowej akcji
22
Logarytmiczno-normalny rozklad ceny koncowej akcji

• WNIOSEK 3. Zmienna S(T) mozna przedstawic w
  postaci
• S(T) S0 exp(r- ?2/2)T ??
  (T)
• gdzie zmienna losowa ? (T) ma rozklad normalny o
  parametrach ( 0, ?T ).
• Rzeczywiscie, wtedy suma
• (r- ?2/2)T ?? (T)
• ma rozklad normalny o parametrach ((r- ?2/2)T, ?
  ?T ), czyli taki jaki miala graniczna zmienna
  losowa X.

23
Wzór Blacka - Scholesa na wycene opcji
europejskiej
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
Literatura

• Measure, Integral and Probability
• M. Capinski, E. Kopp
• Teoria inwestycji finansowych D. Luenberger
• Instrumenty pochodne sympozjum matematyki
  finansowej. Kraków UJ 1997
• Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie
• J. Hull Warszawa 1997