EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

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EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

• Carlos Bosch Giral
• ITAM

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Qué es el billar?

• Billar del francés billard. Juego de destreza
  que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una
  mesa rectangular forrada de paño, rodeada de
  barandas elásticas y con troneras o sin ellas.

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Definición de Serge Tabachnikov

• Una mesa de billar es una variedad Riemanniana M
  con frontera suave a pedazos. El sistema dinámico
  del billar en M está generado por el movimiento
  libre de un punto donde se acumula la masa
  (llamada bola) sujeta a la reflexión en la
  frontera. Esto quiere decir que un punto se mueve
  según una geodésica en M con velocidad constante
  hasta que golpea la frontera. En un punto suave
  de la frontera la bola se refleja de manera que
  la correspondiente tangencial de la velocidad sea
  la misma mientras que la normal cambia de signo.

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Definición de Donald

• Una mesa de billar es la unión de dos cuadrados
  donde el rebote de la bola es tal que el ángulo
  de entrada y el de salida son iguales.

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• 1800 juego de dos personas
• 1900 se admiten más de dos personas
• Tres juegos principales
• El billar con tres bolas
• La pirámide con 15 bolas rojas sin número
• El pool número variable usualmente 15 bolas con
  número, una bola sin número
• El pool adquiere el nombre de la forma de apostar

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• El billar es un juego antiguo
• Shakespeare habla del billar en Antonio y
  Cleopatra 1607
• Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que
  regresaban de las cruzadas.
• La primera evidencia que se tiene del billar es
  en Francia siglo XV
• Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en
  el siglo XVI tenian mesas de billar en sus
  palacios.
• En América la primera mesa de billar apareció en
  Florida llevada por los españoles en 1565

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Los números y los billares

• Patente US 2,978,816 11 de abril de
  1961
• Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes
  Venezuela
• Aparato óptico para calcular el máximo común
  divisor
• Tomaremos mesas de distintos tamaños

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
45
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5
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Máximo común divisor

• De 6 y 9

6 2 X 3 9 3 X 3
9 3 1
3 3 1
6 3 1
2 3 1
mcd (6,9)3
De 342 y 243
342 171 57 19 1
2 3 3 19 1
243 81 27 9 3 1
3 3 3 3 3 1
9 3 X 3
mcd (342,243)9
9

• H. Steinhaus probó que no importa cuales son las
  dimensiones de la mesa si una bola empieza en un
  vértice con un ángulo de 45 después de un número
  finito de rebotes llegará a alguno de los otros
  vértices.

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Mesa de n por m, sean p y q tales que m/n r/t
con p/q irreducible así mt nr.

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• Pregunta
• Qué vértice de los tres restantes es el que
  tocará la bola?

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8 7 6 5 4 3 2
1 0
5802
4563
0 1 2 3 4 5
13
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0









8 7 6 5 4 3 2 1 0








par
impar
0 1 2 3 4
5
0 1 2 3 4
5
impar
impar
14
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0












7 6 5 4 3 2 1 0







0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10
par
0 1 2 3 4
par
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Máquina de Zavrotsky

• Se envía un rayo de luz a 45 partiendo del
  origen, el rayo después de un número finito de
  rebotes llegará a uno de los vértices del
  rectángulo, entonces habrá sobre el lado más
  largo un punto iluminado A que es el más cercano
  al origen.
• Calcular la distancia de OA
• Representa el doble del
• MÁXIMO COMUN DIVISOR

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6 0






0
A 9
17
2mcd(a,b)mindd2am2an tal que
m,n Z y dgt0
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• Capitán Mingaud.

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Problemas de mínimos y máximos.

• Sean y dos puntos fijos.

• Sea C una curva lisa y dos puntos fuera de ella.
  
• Queremos ir de un punto a la curva y luego de la
  curva al otro punto. De manera que el recorrido
  sea lo mas corto posible

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Antecedentes

• (1) Si P y Q son los focos de una elipse, una
  bola que sale de un foco pasa siempre por el
  otro foco después de un rebote de tipo billar.
• (2) La longitud de cada una de esas trayectoria
  es la misma
• d(X,P)d(X,Q) cste

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Problemas de mínimos-máximos

• d(P,Q) distancia de P a Q
• Si y son fijos, P está en C una
  curva lisa y L(P) d( ,P) d(P, )
• L(P) alcanza un mínimo o un máximo en el punto
  de C entonces , ,
• es una trayectoria de billar con rebote en C

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Método de demostración contradicción

• Supongamos que se tiene una trayectoria donde se
  alcanza el máximo o el mínimo PERO QUE NO ES UNA
  TRAYECTORÍA DE BILLAR

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Consideremos la familia de elipses que tienen
como focos a los puntos P1 y P2

• La elipse con esos focos y que pasa por P0 no
  comparte la tangente con la curva en el punto P
  ya que en ese caso la trayectoria sería de tipo
  billar
• Pensemos en una vecindad del punto P0
  suficientemente pequeña de modo que alrededor de
  ese punto todas las elipses interesectan
  tranversalmente a la curva.
• Como d(P1 ,P0 ) d(P2 ,P 0) es una constante,
  si no movemos sobre la curva tendremos hacia un
  lado un valor más pequeño y hacia el otro un
  valor mayor.

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Consecuencias

• Así cualquier trayectoria que no es de tipo
  billar no
• es la más corta ni la más larga, por lo tanto si
  hay
• alguna camino en donde se alcanza el trayecto
• más largo o más corto entonces esa es de tipo
• billar.

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(No Transcript)
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Abstracción del problema
C
A
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Cuál es el camino más corto?

• El mínimo se alcanza cuando ACB sea un rebote de
  billar
• Es decir, que si tomamos A el reflejado de A
  respecto a l y trazamos BA está la recta
  intersecta a l en el punto C y BCA será la
  trayectoria que buscamos (de tipo billar)

l
A
A
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• QR lo más corto posible con Q en PA y R
  en PB?
• QR debe ser una trayectoria de billar con
  rebotes en Q y R
• Con las simetrías obtenemos los rebotes de billar

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• Dado un punto P en un lado de un triángulo
  encontrar un triángulo de perímetro mínimo cuyos
  vértices estén en los lados del triángulo y uno
  de ellos sea P

Triángulo pedal pies de las alturas
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(No Transcript)
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llenar o vaciar recipiente grande llenar o vaciar
recipiente pequeño mandar de un recipiente a otro
32
5 0
2 3
2 0
0 2
33

(1.3)
5 2
4 3
4 0
1 3
34
0 3
3 0
3 3
5 1
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Polígonos regulares y billares

• k cerrado, acotado, convexo int ,
• frontera de k suave a pedazos
• bola de billarpunto en el interior de k
• Bola se mueve a velocidad constante en línea
  recta hasta que choca con un punto . Si
  P es regular (frontera suave) la bola de billar
  rebota en la dirección determinada por la
  reflexión sobre la única recta tangente en P. Si
  P no es regular la bola se mueve. La bola
  genera una trayectoria de tipo billar.
• Una trayectoria de tipo billar es periódica si
  regresa donde empezó.

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1 2 3 4 5 6 7
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Posición clave 4 Posición natural 4
Ángulo natural 3
Posición clave ángulo natural 4 3 1
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38
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Posición clave 3.5
Ángulo natural 2
1 2 3 4 5 6 7
39

40
1
4
7
5
2
6
3
41
P Q
4
1
7
5
2
3
6
Cuántas veces rebota la bola antes de llegar al
punto Q?
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Polígonos regulares y billares

• En los puntos suaves la bola rebota en la
  dirección determinada por la reflexión.
• En los puntos no suaves la bola se mueve
• La bola genera una trayectoria de tipo billar
• Una trayectoria de tipo billar es periódica si
  regresa donde empezó

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Cierto para cualquier polígono regular de n lados
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Teorema

• Un polígono convexo y cerrado P en el plano es
  regular si y sólo si P contiene una trayectoria
  periódica de tipo billar P semejante a P.
• IDEA DEMOSTRACIÓN
• Fácil al tomar P el polígono formado por los
  puntos medios de P
• Puna trayectoria periódica tipo billar vértice
  en P y semejante a P

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Observaciones
Cierto para cualquier polígono regular de n
lados El recíproco también es cierto
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Figuras de ancho constante

• Consideremos una figura convexa cerrada. En cada
  dirección la figura se encuentra limitada por dos
  rectas paralelas.

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• Hay una infinidad de figuras que tienen el mismo
  ancho en todas las direcciones

Círculo
Triángulo de Reuleaux
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(No Transcript)
49
Teorema

• Una curva suave es de ancho constante si y sólo
  si toda trayectoria de tipo billar que rebota
  hacia la derecha (izquierda) siempre sigue
  rebotando hacia la derecha (izquierda)
• No hay trayectorias de tipo

Sine R., Kreinovic V. Remarks on billiards Amer.
Math Monthly 86, (1979), 204-206
50
(No Transcript)