BENZETIM

1
BENZETIM

• Prof.Dr.Berna Dengiz

• 7. Ders

2
BENZETIM

• ISTATISTIK TEKRARI
• Olasilik ve istatistik bilgisine
• Giris olasilik dagiliminin belirlenmesinde
• Bu dagilimlardan rassal degisken üretiminde
• Benzetim modelinin geçerliliginde
• Benzetim çiktisinin istatistiksel analizinde ve
• Benzetim deney tasariminda
• ihtiyaç duyulmaktadir.
• Bu nedenle kullanilacak istatistik bilgileri ve
  notasyonlar burada kisaca hatirlatilacaktir.

3
BENZETIM

1. Bir deney çiktisi rassal degisken olarak
   tanimlanir.
2. Bir deney sonucu çikti olarak adlandirilir.
3. Bir deneyin mümkün tüm çiktilari örnek uzayi (
   ) olarak tanimlanir.
4. Bir olay (örnek uzayinin) alt setidir.
5. A ? B ( w ( w A veya w B )
6. A ? B ( w ( w A veya w B )
7. A ? B 0 ise A ve B ayrik ( birlikte ortaya
   çikmayan) olaylardir.

4
BENZETIM

• 8.
• A herhangi bir olay oldugunda 0? P(A) ?1
• P( ) 1
• A1,A2,. ayrik olaylar seti için
• P(A1 ? A2 ?..) P(A1) P(A2) ..
• Yazilabiliyorsa P fonksiyonu olasilik
  ölçüsüdür.

5
BENZETIM

• Kesikli bir rassal degisken sonlu ya da
  (sayilabilir sonsuz)
• degerler alir.
• Sürekli bir rassal degisken bir aralik boyunca
  degerler alabilir.
• (a,b) araligi gibi
• Kesikli bir rassal degisken Xin olasilik
  fonksiyonu

6
BENZETIM

• Sürekli bir rassal degisken Xin olasilik
  yogunluk fonksiyonu f(x) dir
• Sürekli rassal degisken için X,

7
BENZETIM

• 11. Kümülatif dagilim
  fonksiyonudur.
  
• Kesikli degiskenler için K.D.F
• Sürekli degiskenler için K.D.F

8
BENZETIM

• 12.
• 13.

9
BENZETIM

• TEOREM X1 ,X2 ,,Xn rassal degiskenler ise
• E (X1 X2 Xn ) E (X1 ) E (X2 ) .
  E (Xn ) dir.
• 14. P ( x ? a, y ? b ) P ( x ? a ) P ( y ? b
  )
• ( x ve y bagimsiz oldugunda)
• 15. Var (ax) a2 var (x)
• Var (a) 0 (a sabit)
• E (ax) a E(x)
• E(a) a

10
BENZETIM

• 16. Cov (x, y) E ( x - E(x)) ( y - E(y))
• Cov (x, y) E (x y) E (x) E (y)
• (Kovaryans iki rassal degisken arasindaki
  bagimliligin ölçüsüdür.)
• TEOREM x ve y herhangi iki rassal degisken
  olsun
• Var (x y) var (x) var (y) 2.cov (x,y)
  dir.

11
BENZETIM

• TEOREM y (xa) / b , y ve x degiskenleri
• parametreleri farkli ayni dagilima sahiptirler.
• TEOREM
• Z standart normal dagilim denir.

12
BENZETIM
13
BENZETIM

• TEOREM
• y1, y2,,yn N ( µ , ) ( yiler bagimsiz
  degiskenlerdir.)

14
BENZETIM

• ISPAT

15
BENZETIM

• TEOREM MERKEZI LIMIT TEOREMI
• y1, y2..,yn ortalamasi µ ve varyansi
  olan herhangi bir dagilimdan gelen rassal
  degiskenler olsun

16
BENZETIM

• TANIM
• µk E(xk ) x rassal degiskeninin orijine göre
  momentidir.
• µk E(x-E(x))k ortalama etrafinda k. moment
• 1) µ1' E(x) dagilimin ortalamasi
• 2) µ2 E(x-E(x))2 µ2' - (µ1')2 dagilimin
  varyansi
• 3) µ3 E(x-E(x))3 µ3 - 3.µ2'. µ1 2(µ1')3

17
BENZETIM

• A herhangi bir olay oldugunda 0? P(A) ?1
• P( ) 1
• A1,A2,. ayrik olaylar seti için
• P(A1 ? A2 ?..) P(A1) P(A2) ..
• Yazilabiliyorsa P fonksiyonu olasilik ölçüsüdür.

18
BENZETIM

• Çarpiklik (Asimetri) Ölçüsü
• (skewness)

19
BENZETIM

• Basiklik Ölçüsü (Kurtosis)
• 4) µ4 E(x-E(x))4 µ4' - 4µ3' µ1' 6µ2'
  (µ1')2 - 3(µ1')4

20
BENZETIM

• ?4 standart basiklik katsayisidir.
• ( dagilimin yatay eksene göre görünümünün bir
  ölçüsüdür.)
• normal dagilimda ?4 3
• uniform dagilimda ?4 1,8
• mk' 1/n ( ?xik ) , moment tahmin edicisi
• ( ?k' 'nin tahmin edicisi )

21
BENZETIM

• TANIM
• xi ve xj degiskenleri arasindaki kovaryans ,
• cij E(xi - ?i ) (xj - ?j ) E(xi ) ?i E(xj
  ) ?j
• xi ve xj bagimsiz degiskenler ise
• cij 0 dir.

22
BENZETIM

• TANIM Korelasyon Katsayisi

23
BENZETIM

• TANIM Teorik tanimlar 3 tür parametre ile
  tanimlanirlar.
• 1) YERLESIM (LOCATION ) PARAMETRESI ?
• Dagilimin apsis üzerindeki açikligini
  belirler.

24
BENZETIM

• Ayni dagilim , Yerlesim farkli

25
BENZETIM

• 2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESI ?
• Dagilimin yüksekligini belirler. Asagidaki
  normal dagilimlarda yerlesim parametresi (?)
  sabitken , yükseklik parametreleri (?)birbirinden
  farklidir.

Normal dagilimda ??yerlesim parametresi ,
??yükseklik parametresi
26
BENZETIM

• 3) SEKIL (SHAPE) PARAMETRESI ?
• Dagilimin seklini belirler. Üstel dagilim sekil
  parametresine sahip degildir.
• Gamma dagiliminin sekli ? degerine göre degisir.
  ? gt 0 , ? gt 0

27
BENZETIM