Proiect Fizica Oscilatii mecanice

1
Proiect FizicaOscilatii mecanice

• Elevi- Cotoi Florin
• - Dragonea Ovidiu
• - Lefegiu Gina
• - Marinescu Cosmin
• - Orneata Daniel
• - Stama Emilian

2
OSCILATORUL LINIAR ARMONIC.
3
10.1.1 Miscarea oscilatorie EXPERIMENTE

• 1. De un fir lung si inextensibil, suspendam un
  corp (bila) pe care-l lovim astfel incat sa nu-i
  imprimam o deviatie prea mare fata de pozitia de
  repaus (fig. 10.1,a). Un astfel de sistem mecanic
  este numit pendulul gravitational.
• 2. De un resort de otel, suspendam un corp si
  prin intermediul lui tragem resortul in jos
  (fig.10.1, b). Sistemul incepe sa se miste in sus
  si in jos. Un astfel de sistem este numit pendul
  elastic.
• 3. Fixam de o banda de otel la unul din capate
  si apoi o deviem din pozitia initiala ca in
  figura 10.1,c. Sistemul se numeste pendul cu arc
  lamellar.
• 4. Turnam apa intr-un tub indoit, din sticla, cu
  diametrul de citiva cm. Astupam unul dintre
  capete4 cu un dop de pluta si suflam aer la
  celalalt capat. In acest fel coloana de apa este
  pusa in miscare (fig. 10.1, d).
• 5. Pe marginea unui disc fixam intr-o pozitie
  oarecare o bila. Rotim discul cu viteza
  unghiulara constanta. Cu ajutorul unei lampi de
  proiectie, proiectam pe un ecran miscarea bilei
  de pe disc (fig. 10.1, e ). Vom constata ca umbra
  bilei are o miscare alternativa, dus-intrors. In
  toate cazurile studiate mai sus are loc o miscare
  continua de o parte si de alta (dus-intors) a
  pozitiei initiale (de repaus) a corpului (sau a
  umbrei sale in cazul experimentului 5).
• Aceasta miscare prezinta urmatorele
  caracteristici

Fig. 10.1 Exemple de oscilatori a) pendul
gravitational b) pendul elastic c) pendul cu
arc lamellar d) coloana de apa oscilanta e)
proiectia pe un ecran a unei miscari circulare
uniforme.
4

• a) dupa intervale de timp egale, procesul
  individual de miscare, se repeat, este un process
  periodic
• b)miscarea are loc de fiecare data simetric fata
  de o anumita pozitie, pozitia de repaus sau de
  echilibru a oscilatorului.
• Miscarea unui corps au a unui sistem
  material care se repeta la intervale de timp
  egale si care se face simetric fata de o pozitie
  de repaus se numeste miscare oscilatorie sau
  oscilatie mecanica.
• Pentru studiul miscarii oscilatorii se
  definesc urmatoarele marimi fizice
• Perioada miscarii oscilatorii T, reprezinta
  timpul necesar efectuarii unei oscilatii
  complete.
• Daca notam cu n numarul de oscilatii
  effectuate de un oscillator in intervalul de timp
  t atunci avem T
• Unitatea de masura in S.I. este
• TS.I. 1s.
• Frecventa miscarii este numarul de
  oscilatii efectuate in unitatea de timp
• Unitatea de masura pentru frecventa in S.I. este
  hertzul (Hz)
• S.I. 1 s 1 Hz
• Din relatiile de definite ale frecventei si
  perioadei rezulta relatia
• T1

5

• Elongatia miscarii notata cu x sau y reprezinta
  deplasarea (departarea) oscilatorului fata de
  pozitia de repaus la un moment dat.
• Din definitia elongatiei rezulta ca ea
  variaza in timp. Aceasta marime are o directie, o
  valoare si un sens, deci poate fi reprezentata
  printr-un vector sau . In S.I. unitatea de
  masura pentru elongatie este metrul
• 
  xS.I. 1 m.
• Amplitudinea miscarii A este elongatia maxima pe
  care o poate avea oscilatorul in cursul
  oscilatiei.
• Daca in experimentele anterioare 1, 2, 3,
  4, se lasa sistemele (corpurile) sa oscileze un
  interval de timp mai mare, se observa ca
  amplitudinea miscarii oscilatorii nu ramane
  constanta in timp. In experimental 5, insa,
  amplitudinea miscarii (a proiectiei miscarii)
  ramane neschimbata. Distingem deci doua cazuri
• a) miscarea oscilatorie (oscilatia) este
  neamortizata, aplitudinea ramane neschimbata de
  la o oscilatie la alta
• b) miscarea oscilatorie (oscilatia) este
  amortizata, aplitudinea scade de la o oscilatiela
  alta.

6
10.1.2 Oscilatorul liniar armonic

• Sa analizam un resort elastic care are lungimea
  l in stare nedeformata (fig. 10.2, a). Dupa
  legea lui Hooke deformarea unui resort elastic
  este proportionala cu forta care actioneaza
  asupra resortului. Forta elastica care ia nastere
  in resort este de asemenea proportionala cu
  deformarea resortului dar de sens opus acesteia.
  Avem, deci
• sau scalar F-ky
• Unde sint considerate positive
  valorile citite incepand de la punctual cel mai
  de jos al resortului netensionat, in jos.
• Daca se suspenda de resort un corp cu masa
  m, el se va alungi cu datorita fortei
• (fig. 10.2, b) si de aici
  rezulta
• 
  

Aceasta relatie valabila pentru pozitia de repaus
a pendulului elastic.
Fig. 10.2. Oscilator armonic liniar.
7
(No Transcript)
8

• Scotinad pendulul din pozitia de repaus el
  incepe sa oscileze vertical, forta indreptata
  in jos isi pastreaza valoarea, in timp ce forta
  elastica din resort variaza in functie de
  alungirea y a acestuia (fig. 10.2, c,d). Suma
  vectoriala a celor doua forte sau diferenta
  valorilor lor da ca rezultanta forta care la
  orice moment tinde sa aduca pendulul spre pozitia
  de repaus. Se obtine pentru aceasta forta
  expresia
• ( -
  )
• sau ( - )
• Asadar forta care actioneaza asupra pendulului
  elastic in timpul oscilatiei este proportionala
  cu deplasarea (departarea) fata de pozitia de
  repaus, si de sens contrar acesteia adica este o
  forta de tip elastic.
• punct material care se misca rectiliniu sub
  actiunea unei fote de forma (sau
  ) se numeste oscillator liniar
  armonic. Miscarea sa de oscilatie este numita
  miscare oscilatorie armonica.
• Oscilatorul liniare armonic este un oscillator
  ideal.

9
Oscilatorul liniare armonic este un oscillator
ideal
Pentru a stabili legea miscarii oscilatorului
armonic, depdenta elongatiei y de timp, y
y(t), ne vom folosi de miscarea circulara
uniforma a unui punct material si de proiectia
acestei miscari pe unul din diametrele
traiectoriei. Sa urmarim, in acelasi timp,
miscarea circulara uniforma cu viteza unghiulara
pe un cerc de raza R A, a unui punct
material P de masa si miscarea proiectiei sale
P, proiectie ortogonala pe axa (diametrul
in figura 10.3). In timp ce P face o rotatie
completa plecind din in sensul indicat pe
figura, proiectia sa P efectueaza o oscilatie cu
aplitudine constanta A, plecind din O asa cum
arata figura 10.4. Se observa ca componenta pe
axa y a deplasarii lui P este totdeauna aceeasi
cu deplasarea lui P
Fig. 10.3. Proiectia ortogonala a miscarii
circulare uniforme a punctului pe unul din
diametrele traiectoriei ( B1B2)
10

• componenta pe axa y a vitezei lui P este
  totdeauna aceeeasi cu viteza lui P
• component ape axa y a acceleratiei lui P este
  totdeauna aceeasi cu acceleratia lui P. Deci
  miscarea oscilatorie a punctului P poate fi
  descrisa ca proiectia pe diametrul a
  miscarii circulare uniforme a punctului P. Sa
  aratam ca aceasta miscare oscilatorie este o
  miscare oscilatorie armonica.

Fig. 10.4. Miscarea concomitenta a punctului
si a proiectiei sale P
.
11

• Se stie ca in miscare circulara uniforma
  acceleratia cetripeta are valoare
  .Componenta sa pe diametrul (fig 10.5)
  reprezinta acceleratia miscarii punctului P si
  are valoarea
• a
  (10.3)

Fig. 10.5. Miscarea oscilatorie a punctului P
poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul
a miscarii circulare a punctului P.
Din figura 10.5 se observa ca putem scrie
y
(10.4)
In acest caz relatia (10.3) devine a
sau (10.5)
.
Unde semnul minus semnifica faptul ca acceleratia
si elongatia au sensuri opuse.
12

• Punctul P se misca la fel ca si cind ar fi un
  punct material de masa m si asupra lui ar
  actiona o forta F care sa-i imprime acceleratia
  data de (10.5).
• Deci
• Fma (10.6)
• Pentru valori determinate ale masei m si ale
  vitezei unghiulare constante , produsul
  k si relatia (10.6) devine
• F-ky
  (10.6)
• Asadar miscarea punctului P se face ca si in
  cazul in care forta sub actiunea careia are loc
  miscarea este o forta de tip elastic si deci
  acest punct material descrie o miscare
  oscilatorie armonica.
• Stiind ca si ca R A este
  amplitudinea miscarii oscilatorii, relatia
  (10.4), devine
• y
  (10.7)

Aceasta relatie reprezinta ecuatia elongatiei
oscilatorului liniar armonic, adica reprezinta
legea, de miscare a oscilatorului, dependenta
yy(t)
13

• Daca proiectia miscarii punctului P se face pe
  diametrul atunci se obtine pentru ecuatia
  elongatiei expresia
• x
• Putem formula acum o alta definitie a miscarii
  oscilatorii armonice
• orice punct material care se misca rectiliniu,
  fata de un SR, astfel incat legea de miscare de
  forma
• y sau x
  descrie o miscare oscilatorie armonica.
• Tinand seama de relatia (10.7) si de relatia
  (10.5) expresia acceleratiei devine acum
• a
  (10.5)
• Componenta vitezei tangentiale , pe
  diametrul reprezinta viteza de miscare a
  lui P, adica viteza miscarii oscilatorii
  armonice
• v
  (10.8)

14

• Faza si perioada miscarii oscilatorii armonice.
• Argumentrul functiei y ,
  , se numeste faza miscarii oscilatorii. Faza se
  masoara in radiani si este una dintre marimile de
  stare ale oscilatorului. Daca in figura 10.3
  oscilatorul P ar fi fost la momentul initial in
  ( corespunzator punctului de pe
  cerc),Faza la momentul 0 ar fi fost .
• Atunci, la momentul t faza este
  . Ecuatia elongatiei se va scrie in acest caz
  y ( )
  (10.9)
• Pentru miscarea oscilatorie marimea se numeste
  pulsatie si reprezinta viteza de variatie a
  fazei. Aceasta marime se masoara in S.I. in
  rad/s.
• Ca si miscarea circulara frecventa ,perioada
  T si pulsatia , marimi caracteristici miscarii
  oscilatorii, sint valabile relatiile
• ,
  (10.10)
• Din relatia k tinind seama de relatia
  (10.10) obtinem km / de unde rezulta
  
• T
  (10.11)

15

• Aceasta relatie reprezinta perioada
  oscilatorului liniar armonic si ea arata ca
  perioada unui oscillator depinde de proprietatile
  sale inertiale, prin masa , si de cele elastice,
  prin constata elastica sin u depinde de
  conditiile initiale in care se afla oscilatorul.
• 10.1.3 Energia oscilatorului armonic.
• Dupa cum stiti, un punct material de masa m, sub
  actiunea unei forte elastice F-ky, descrie o
  miscare armonica. . La un moment dat t, elongatia
  este y iar viteza miscarii
  (considerind ca 0).
• Cum energia de pozitie in cimpul fortelor
  elastice este , pentru oscilatorul
  liniar armonic avem
• 
  (10.12)
• iar pentru energia cinetica a oscilatorului
• 
  (10.13)
• (pentru ca k).

16
Fig. 10.6. a) Spectrul unei oscilatii b) schema
nivelelor de energie a doua oscilatii.
Energia mecanica totala a oscilatorului
liniar armonic este E
( )
(10.14) Din
relatia 10.14 deducem ca energia totala a
oscilatorului liniar armonic este constanta in
timp este un invariant. Se folosesc doua
moduri de reprezentare a energiei unui
oscillator
a) se reprezinta grafic energia in functie
de frecventa ( enrgia pe ordonata si frecventa pe
abscisa). Se obtine astfel un spectru al
procesului respective. O oscilatie armonica se
reprezinta printr-o linie spectrala (fig. 10.6,
a) b) printr-o schema de nivele de
energie. Intr-o schema de nivele de energie,
energia oscilatorului se reprezinta printr-o
dreapta orizontala situate la o inaltime
corespunzatoare valorii energiei (fig. 10.6, b).
Se spune ca oscilatorul se afla pe un anumit
nivel de energie.
17
(No Transcript)
18

• 10.2 PENDULUL
  GRAVITATIONAL. REZONANTA
• 10.2.1. Pendulul gravitational. Un pendul
  gravitational este un corp idealizat (
  experimental 1) redus la un punct material de
  masa , suspendat de un fir inextensibil si de
  masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din
  pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el
  oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei
  de greutate. In figura (10.12) este reprezentat
  un pendul de lungime l , masa m , care formeaza
  cu verticala un unghi numit elongatie
  unghiulara.Fortele care actioneaza asupra lui
  sunt , forta de greutate si
• tensiunea din fir. Componenta lui G
  pe directia razei este mg
• iar componenta tangentiala .
  Componenta tangentiala este forta de restabilire
  sau de revenire care actioneaza asupra pendulului
  spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar
  forta de restabilire este
• F
  (10.21)

19

Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui
pendul gravitational.
Remarcam ca forta F nu este proportionala cu
elongatia unghiulara ci cu
Miscarea pendulului nu este deci o miscare
oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai
poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie.
Doua oscilatii cu amplitudine diferita au
perioade diferite, oscilatiile nu mai sint
izocrone.
Daca unghiurile
sint mai mici atunci
este foarte apropiat de exprimat in
radiani.
Analizaind tabelul urmator observam ca pentru
unghiuri sub 5 putem scrie ca
in radiani.
20

• Daca exprimam unghiul in radiani avem
  si vom obtine inlocuind
• cu F x ,
  unde, semnul minus indica faptul ca aceasta forta
  este totdeauna de sens opus elongatiei.
• Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire
  spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip
  elastic ( forta cvasielastica) si miscarea
  pendulului gravitational poate fi considerata in
  acet caz o miscare oscilatorie armonica.
• Cum k, perioada proprie de oscilatie a
  pendulului devine
• T
  
  (10.22)
• Din relatia (10.22) retinem ca perioada
  pendulului gravitational este independenta de
  masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici,
  perioada pendulului gravitational este
  independenta de amplitudine, pendulul este
  folosit ca indicator de timp.
• Pendulul gravitational ofera o metoda
  simpla pentru determinarea valorii acceleratiei
  gravitationale g, masurind cu eroare cit mai mica
  lungimea l si perioada proprie T a pendulului.

21
10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA

• 10.2.1. Pendulul gravitational. Un pendul
  gravitational este un corp idealizat (
  experimental 1) redus la un punct material de
  masa m , suspendat de un fir inextensibil si de
  masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din
  pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el
  oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei
  de greutate. In figura (10.12) este reprezentat
  un pendul de lungime l ,
• masa m, care formeaza cu verticala un
  unghi numit elongatie unghiulara. Fortele care
  actioneaza asupra lui sunt Gnmg forta de
  greutate si tensiunea din fir. Componenta
  lui G pe directia razei este mg , iar
  componenta tangentiala Gt .
  Componenta tangentiala este forta de restabilire
  sau de revenire care actioneaza asupra pendulului
  spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar
  forta de restabilire este
• FGt
  
  (10.21)

.
Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui
pendul gravitational
22
(No Transcript)
23

• Remarcam ca forta F nu este proportionala cu
  elongatia unghiulara ci cu .
  Miscarea pendulului nu este deci o miscare
  oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai
  poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie.
  Doua oscilatii cu amplitudine diferita au
  perioade diferite, oscilatiile nu mai sint
  izocrone.
• Daca unghiurile sunt mai mici atunci este
  foarte apropiat de exprimat in radiani.
• Analizaind tabelul urmator observam ca pentru
  unghiuri sub 5 putem scrie ca in
  radiani.

24

• Daca exprimam unghiu in radiani avem
  si vom obtine inlocuind
• cu F
  x -kx, unde,semnul minus indica faptul ca
  aceasta forta este totdeauna de sens opus
  elongatiei.
• Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire
  spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip
  elastic ( forta cvasielastica) si miscarea
  pendulului gravitational poate fi considerata in
  acet caz o miscare oscilatorie armonica.
• Cum k, perioada proprie de oscilatie a
  pendulului devine
  
  
  
  
  
• 
  T
• Din relatia (10.22) retinem ca perioada
  pendulului gravitational este independenta de
  masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici,
  perioada pendulului gravitational este
  independenta de amplitudine, pendulul este
  folosit ca indicator de timp.

25

• 
  EXPERIMENT
• De un fir lung si subtire cu lungimea l1 m,
  suspendat la un capat, se atirna o mica sfera de
  plumb (otel sau bronz) cu un diametru de 2-3 cm.
  Se scoate pendulul astfel format din pozitia de
  echilibru, deplasindu-l fata de verticala cu un
  unghi care sa nu depaseasca 5 si se lasa
  apoi liber. Sistemul incepe sa oscileze. Se
  noteaza un anumit numar n de oscilatii t
  corespunzator acestora. Perioada de oscilatie se
  determina din relatia Tt/n.Considerand sistemul
  bila fir un pendul gravitational, din
• expresia perioadei T ,obtinem
  g , relatie din care putem determina
• valoarea acceleratiei gravitationale locale.
  Rezultatele unui numar mare de determinari se
  trec intr-un table de forma

26

• Ce observatii puteti face ? Coincid rezultatele
  determinarilor ? De ce ? Care sint erorile pe
  care credeti ca le-ati facut ? Cum s-ar putea
  inlatura sau micsora aceste erori ?
• ______________________
• Am notat cu distanta de la pozitia de
  echilibru masurata pe cerc astfel x gt 0 in
  dreapta pozitiei de echilibru si x lt 0 in stinga
  pozitiei de echilibru.