R

1
Résolution des équations de Navier-Stokes le
problème de Stokes
2
Équations de Navier-Stokes incompressibles.

• Les difficultés
• Équations non linéaires du fait du terme
  dadvection.
• La présence de diverses équations (chaleur,
  concentration massique de
• composés) dont les résultats interviennent dans
  le terme source.
• - Couplage de la vitesse et de la pression.
• Petite remarque
• - Pas de conditions aux limites sur le terme de
  pression.

3
La non-linéarité

• Un ordinateur ne peut résoudre que des problèmes
  linéaires.
• La prise en compte des termes non linéaires peut
  se faire de deux
• façons
• expliciter le terme dans le schéma temporel
  adopté. Dans ce cas, les
• termes non linéaires nont quà être évalués en
  fonction des solutions aux
• temps précédents et être traités comme des termes
  sources. Cela induit
• un critère de stabilité pour les schémas
  numériques de type CFL (voir le
• cours de C.-T. Pham).
• -impliciter les termes non linéaires, mais
  adopter dans ce cas une
• procédure itérative de résolution très
  coûteuse, cette démarche nest
• jamais adoptée.

La résolution ne concernera que le problème de
Stokes
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Autres équations à prendre en compte.
Ces équations sont en général des équations
dadvection/diffusion, éventuellement couplées
entre-elles. Expliciter les termes non
linéaires revient à transformer ces équations en
problèmes de diffusion instationnaire, que nous
savons résoudre opérateur de Helmholtz.
Exemple dune équation de la chaleur
Termes non linéaires explicites
Les termes du R.H.S. sont connus au temps n1.
H2, coefficient de Helmholtz
5
Couplage de la vitesse et de la pression
Le problème à résoudre sera donc de la forme
La résolution ne porte donc que sur un problème
de Stokes programme des dernières séances de
cours. Focalisons aujourdhui sur le traitement
de la non-linéarité et les problèmes temporels
structure globale dun programme de DNS.
6
Projet Traitement déquations non linéaires de
type Bürgers 1D.
Le but est de résoudre le problème de Bürgers
suivant
Les conditions aux limites peuvent être
généralisées pour des cas Robin/Robin.
On utilise le schéma temporel suivant
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• - Formuler le problème comme une série de
  problèmes de Helmholtz
• successifs à résoudre.
• (vous pourrez vous inspirer dun programme de
  résolution du problème de
• Helmholtz 1D, E5_3_Lap_Helm_diagonalisation).
• - Définir les différentes variables numériques
  qui devront être utilisées pour le calcul.
• - Définir lalgorithme de votre programme de
  façon à éviter les redondances de
• calcul. Les diagonalisations dopérateurs sont
  des opérations numériquement
• coûteuses
• Écrire le programme et le valider sur un cas test
  analytique à définir. Valider votre
• programme en vérifiant que lordre temporel du
  schéma est bien respecté.
• Adapter le programme au cas proposé et
  représenter les résultats à différents
• instants du calcul.