L

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Lorbite de Marspar J. Kepler
2
Contexte historique

• Le Soleil, la Lune et les planètes appelés
  astres errants ont attiré lattention des
  hommes qui ont élaboré divers modèles pour
  interpréter leurs mouvements.

• Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre
  ère) a prévalu jusquau XVIIème siècle et
  consistait à placer la Terre au centre du monde
  et à en faire un corps fixe.

• Lastronome polonais Nicolas COPERNIC (14731543)
  proposa une représentation héliocentrique du
  système solaire montrant le double mouvement des
  planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil,
  théorie condamnée par le Pape comme contraire aux
  Ecritures.

• Un siècle plus tard, lastronome allemand Jean
  KEPLER (1571-1630) , convaincu que la
  distribution, la forme et les dimensions des
  orbites nétaient pas dues au hasard mais régies
  par des lois, entreprit de les découvrir à partir
  des observations précises de TYCHO BRAHE dont il
  avait été le disciple. Cest ainsi quil établit
  une très belle théorie concernant lorbite de
  Mars et quil énonça les trois lois dites lois de
  Kepler.

3
Principe de la méthode de Kepler

• Pour un objet inaccessible, la méthode des
  parallaxes, qui consiste le viser à partir de
  deux sites différents, permet de déterminer la
  distance qui le sépare de lobservateur.

• Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars
  par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup
  plus près de nous que le fond du ciel avec les
  étoiles constituant le décor.

• Cependant la distance de Mars à la Terre est
  telle que, même en se plaçant en deux points
  diamétralement opposés de la Terre, on ne
  pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement
  différents. Il a alors imaginé de viser Mars
  depuis deux positions différentes de la Terre sur
  son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux
  d'observation assez éloignés.

• Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit
  dans les deux cas à la même place dans le repère
  héliocentrique de Copernic.

• Or Mars comme la Terre se déplace constamment
  il faut donc que les deux mesures soient faites à
  un intervalle de temps égal à la durée que met
  Mars pour faire un tour complet et que l'on
  appelle révolution sidérale de Mars .

4
(No Transcript)
5
(No Transcript)
6
Révolution sidérale et révolution synodique
La révolution sidérale ne peut pas être
déterminée directement, mais elle peut être
calculée à partir de la révolution synodique
observable depuis la Terre.
Révolution synodique intervalle de temps qui
s'écoule entre deux passages successifs d'une
planète dans une situation déterminée par rapport
au Soleil et à la Terre.
Cette période est calculable à partir
dobservations de positions de planètes à des
dates déterminées.
relation période synodique période sidérale
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Révolution sidérale et révolution synodique
La révolution sidérale ne peut pas être
déterminée directement, mais elle peut être
calculée à partir de la révolution synodique
observable depuis la Terre.
Révolution synodique intervalle de temps qui
s'écoule entre deux passages successifs d'une
planète dans une situation déterminée par rapport
au Soleil et à la Terre.
Cette période est calculable à partir
dobservations de positions de planètes à des
dates déterminées.
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Mesure de la période synodique
Observation des temps dopposition
La mesure de la période synodique de Mars
consiste à repérer les dates successives de ses
oppositions. On en déduit la période synodique.
Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont
elliptiques. Les intervalles de temps entre
plusieurs oppositions successives peuvent être
assez différentes. La période synodique est une
moyenne sur une période assez grande des
intervalles de temps entre oppositions
successives.
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Mesure de la période synodique
Observation des temps dopposition
On peut utiliser lobservations des
configurations Mars Soleil soit avec

• un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant
  les moments des alignements lors des oppositions
  ou conjonctions lorsque lon fait défiler le
  temps.
• Les temps observés peuvent être imprécis.

• un calculateur déphémérides (ICE ou serveur de
  lIMCCE) et chercher par interpolation soit
• le moment où les longitudes géocentriques de la
  planète et du Soleil sont égales pour la
  conjonction
• le moment où elles sont déphasées de 180 pour
  les oppositions.
• et inversement si lon utilise les longitudes
  héliocentriques.

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Mesure de la période synodique
Temps des oppositions
Temps des oppositions avec Skyglobe configuré à
Londres, face au Sud, à minuit en hiver ou 1
heure en été.
Sans toucher à lheure, avancer ou reculer le
temps de mois en mois dabord, puis de jour en
jour à lapproche de lopposition jusquà ce que
Mars soit dans le méridien.
Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de
lannée rigoureusement à minuit dans le
demi-méridien nord lindication de date est
légèrement approchée. On peut lobtenir avec
plus de précision en recherchant par petits sauts
linstant où les ascensions droites des deux
astres diffèrent exactement de 12 heures.
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Mesure de la période synodique
Temps des oppositions avec les éphémérides
On peut chercher à tâtons la date précise où les
longitudes du Soleil et de Mars sont exactement
opposées. Méthode fastidieuse et longue.
Il est plus facile de faire calculer aux
alentours de lopposition les longitudes de Mars
et du Soleil sur quelques jours et par un
graphique ou un calcul formel dinterpolation, de
trouver la date.
programme ICE ou autres ou http//www.imcce.fr/pag
e.php?navfr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.p
hp
Ce travail peut être fait sous tableur Excel et
lutilisation du programme ICE.
12
Mesure de la période synodique
Temps des oppositions avec les éphémérides
Heliocentric Coordinates of MARS
Date Time Long Lat
Dist Julian Date Year Mon Da h m s
ø ' " ø ' " AU
2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 47 05
22.2 - 0 04 51.9 1.4654601 2453686.50000
2005 Nov 12 0 00 00 47 39 10.1 - 0 03
46.5 1.4666980 2453687.50000 2005 Nov 13 0
00 00 48 12 54.5 - 0 02 41.1 1.4679400
2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 48 46
35.6 - 0 01 35.9 1.4691859 2453689.50000
2005 Nov 15 0 00 00 49 20 13.2 - 0 00
30.7 1.4704357
Heliocentric Coordinates of EARTH
Date Time Long Lat
Dist Julian Date Year Mon Da h m s
ø ' " ø ' " AU
2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 48 42
06.5 0 00 00.4 .9900451 2453686.50000
2005 Nov 12 0 00 00 49 42 26.1 0 00
00.3 .9898078 2453687.50000 2005 Nov 13 0
00 00 50 42 47.1 0 00 00.2 .9895744
2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 51 43
09.6 0 00 00.0 .9893453 2453689.50000
2005 Nov 15 0 00 00 52 43 33.6 - 0 00
00.1 .9891206
Il reste à interpoler pour trouver le moment
précis de lopposition. Ici égalité des
longitudes en coordonnées écliptiques
géocentriques.
Ce travail peut être fait sous tableur Excel et
lutilisation du programme ICE.
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Période synodique
La mesure de la période synodique demande à
calculer des intervalle de temps entre deux dates.
Rien de plus simple en utilisant un calendrier
avec années bissextiles et des mois irréguliers !
Exercice nombre de jours écoulés entre le jour
de la rentrée scolaire et le dernier jour de
cette année scolaire. 1er septembre 2004 et 1er
juillet 2005
Les astronomes (et autres) utilisent une datation
qui consiste simplement à compter les jours un à
un. Le jour julien
14
Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques dune planète
ou du Soleil à une date

• Entrer la date (F1/F1)
• Donner le nom du fichier de sortie (F2)
• Faire faire le calcul (F3/F3)

15
Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques dune planète
ou du Soleil à une date

• Entrer la date (F1) ouverture du menu

• Entrer la date (F1) avec le format exact
  (décimales non obligatoire)
• Donner le nombre de ligne de calcul (F5)
• Sortir du menu (F7)

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685,17 782,26
Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques dune planète
ou du Soleil à une date

• Faire le calcul en coordonnées héliocentriques
  (F3) / (F3)

Mars
Terre (earth)

• Sortir (F10)
• Récupérer le fichier de données
• pour les insérer dans le fichier excel

oppositions_mars.xls
17
Utilisation de ICE
On obtient pour la période synodique
782,26 jours
et la période sidérale
685,17 jours
Valeurs officielles de lUAI 779,936 jours et
686,980 jours
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Tracé de lorbite de Mars
Observations de Mars utilisées par Kepler
Date Jour julien longitudeSoleil longitudeMars
17/02/1585 2300017 339,38 135,20
10/03/1585 2300038 359,68 131,80
5/01/1587 2300704 295,35 182,13
26/01/1587 2300725 316,10 184,70
28/03/1587 2300786 16,83 168,20
12/02/1589 2301473 333,70 218,80
19/09/1591 2302422 185,78 284,30
6/08/1593 2303109 143,43 346,93
7/12/1593 2303232 265,88 3,07
25/10/1595 2303919 221,70 49,70
Données dans le fichier excel data_kepler.xls
Classement par couples pour le tracé géométrique ?
Résultats fichier excel data_kepler_res.xls
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Tracé de lorbite de Mars
Couples dobservations de Mars utilisées par
Kepler
Date Jour julien DT longitudeSoleil longitudeMars
10/03/1585 2300038   359,68 131,80
26/01/1587 2300725 687 316,10 184,70
17/02/1585 2300017   339,38 135,20
5/01/1587 2300704 687 295,35 182,13
28/03/1587 2300786   16,83 168,20
12/02/1589 2301473 687 333,70 218,80
19/09/1591 2302422   185,78 284,30
6/08/1593 2303109 687 143,43 346,93
7/12/1593 2303232   265,88 3,07
25/10/1595 2303919 687 221,70 49,70
Tracé des points des orbites de la Terre et de
Mars ?
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Tracé dun couple dobservations
Lorbite de la Terre est prise circulaire, r 60
mm.

• Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace
  
• - le centre (O), emplacement du Soleil
• la direction Og, origine des directions

Terre
O
On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux
première et deuxième positions.
LTerre lSoleil /- 180
21
Tracé dun couple dobservations
Lorbite de la Terre est prise circulaire, r 60
mm.

• Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace
  
• - le centre (O), emplacement du Soleil
• la direction Og, origine des directions

lMars
lSoleil
Terre
LTerre lSoleil-180
On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux
première et deuxième positions.
LTerre lSoleil /- 180
Mars
Avec le rapporteur, on trace la direction Terre
Mars, angle lMars
De même pour la deuxième observation.
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Tracé dun couple dobservations
Lorbite de la Terre est prise circulaire, r 60
mm.

• Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace
  
• - le centre (O), emplacement du Soleil
• la direction Og, origine des directions

Terre
On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux
première et deuxième positions.
LTerre lSoleil /- 180
Mars
De même pour la deuxième observation.
Le point de lorbite de Mars est à lintersection
des deux directions.
On recommence pour les autres couples
dobservations.
23
Orbite de Mars
A laide de la feuille transparente
on recherche le meilleur ajustement dun des
cercles.
Noter le rayon et la position du centre.
Le rayon trouvé donne le demi grand axe a de
lorbite de Mars exprimé en rayons de lorbite
terrestre.
La distance Soleil-centre du cercle donne la
valeur de c de lellipse de lorbite de Mars
de c et a on en déduit lexcentricité e.
24
Méthode analytique
Positions de Mars à partir des deux observations.
Coordonnées des points T1 et T2
On exprime les équations des droites Terre-Mars
aux deux positions
Intersection des deux droites
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Résultats
Programmation dans excel fichier
kepler_calculs.xls
Rayon orbite Terre 60 mm
Date Jour julien DT longitudeSoleil longitudeMars
10/03/1585 2300038   359,68 131,80
26/01/1587 2300725 687 316,10 184,70
17/02/1585 2300017   339,38 135,20
5/01/1587 2300704 687 295,35 182,13
28/03/1587 2300786   16,83 168,20
12/02/1589 2301473 687 333,70 218,80
19/09/1591 2302422   185,78 284,30
6/08/1593 2303109 687 143,43 346,93
7/12/1593 2303232   265,88 3,07
25/10/1595 2303919 687 221,70 49,70
26
Résultats
Point Positions Terre Positions Terre Positions Terre Positions Terre Position Mars Position Mars Position Mars
Point x1 y1 X2 y2 x mars y mars r mars
1 -59,9991 0,3351 -43,2331 41,6041 -93,2231 37,4942 100,4807
2 -56,1562 21,1301 -25,6888 54,2226 -87,1775 51,9356 101,4753
3 -57,4301 -17,3720 -53,7892 26,5843 -97,9352 -8,9100 98,3397
4 59,6950 6,0425 48,1878 -35,7483 71,7411 -41,2163 82,7379
5 4,3107 59,8449 44,7983 39,9138 64,4358 63,0696 90,1652
Programmation dans excel fichier
kepler_calcul_res.xls
Rayon orbite Terre 60 mm
27
Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son
excentricité
Points reportés sur un graphique même méthode
que par rapporteur et cercles concentriques.
Construction dune image avec les points
positionnés.
Cette image peut être traitée par IRIS
(imaorbite.jpg).
Utilisation de la fonction Photométrie
douverture.
(Analyse / Photométrie douverture)
Cette fonction permet dajuster, à la souris, un
cercle de rayon donné.
On mesure pour les points de la Terre et de
Mars, les rayons et les positions des
centres des cercles qui sajustent au mieux aux
points des orbites.
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Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son
excentricité
On mesure pour les points de la Terre et de
Mars, les rayons et les positions des
centres des cercles qui sajustent au mieux aux
points des orbites.
Traitement par IRIS dimaorbite.jpg
Données à rentrer dans le fichier excel
kepler_iris.xls

  Mesu. 1 Mes. 2
xt    
yt    
rt    
Echelle    
xm    
ym    
rm    
     
a Mars    
e Mars    
Résultats -gt
Construire les formules pour arriver aux résultats
29
Traitement par IRIS dimaorbite.jpg
Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son
excentricité
On mesure pour les points de la Terre et de
Mars, les rayons et les positions des
centres des cercles qui sajustent au mieux aux
points des orbites.
Résultat fichier image IDL imaorbite.jpg Résultat fichier image IDL imaorbite.jpg Résultat fichier image IDL imaorbite.jpg
  IRIS IRIS
xt 500 500
yt 501 501
rt 300 300
Echelle 0,2000 0,2000
xm 463 464
ym 533 530
rm 460 461
     
a Mars 1,5333 1,5367
e Mars 0,1063 0,1003
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Tracé de lorbite de Mars
Peut-on justifier lutilisation de cercles à la
place des ellipses ?
Avec un rayon de lorbite de la Terre de 60 mm et
de 92 mm pour Mars et des excentricités de
0,01671 et 0,090 de Mars Quelles est la
différence grand axe petit axe de chaque
ellipse ?
Programmation dans excel fichier
kepler_iris.xls feuille 2
Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls
feuille 2
(a-b) 0,01 mm 0,40 mm
b 59,992 91,598
Terre Mars
a 60 90
e 0,01671 0,09340
La différence correspond au tracé de lépaisseur
- dun trait fin pour la Terre - dun trait un
peu épais pour Mars.
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Repérage rapide des oppositions et des
conjonctions
Au moyen des graphiques des positions relatives
des planètes / au Soleil
32
(No Transcript)
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Configuration du 13 janvier 2004
Saturne
Mars
Vénus
Mercure
Jupiter
Planètes se couchant avant le Soleil et se levant
avant lui Planètes du matin
Planètes se couchant après le Soleil et se levant
après lui Planètes du soir
34
(No Transcript)
35
Positions
des
Planètes
2005
Mercure
S
T
Vénus
Mars
U
V
Jupiter
W
Saturne
36
Lorbite de Marspar J. Kepler
Fin de