Rubik

1
Rubiks Cube Wiskunde

• 80 jaar KUN
• Reünistendag De Wortel, 17 mei 2003
• Marko van Eekelen marko_at_cs.kun.nl
• UHD Functionele Programmeertalen, Informatica,
  KUN
• Afgestudeerd KUN-Wiskunde, 1981

2
Geschiedenis

• Erno Rubik, Department of Interior Design,
• Academy of Applied Arts and Crafts, Boedapest
• Magic Cube, eerste idee 1974, patent 1975,
  eerste exemplaren 1977
• Rubiks Cube, eerste industrieel export uit
  Hongarije, may 1980
• 1981, David Singmasters Cube Notes
• 1981, Scientific American, D. Hofstadter
• 1981, Museum of modern art, New York
• 1981, Nederlandse Kubus Club (NKC)
• 1982, Oxford English Dictionary
• 1980-1982 100 miljoen exemplaren

3
Mijn ervaringen

• een weekend in oktober en een vakantie in
  december 1980
• 2e bij het 1e open Draaikubuskampioenschap van
  Zuid-Holland, 11 juli 81
• 1e bij De Eerste de Beste en wereldrecord in
  het Guiness Book of Records, 21 aug 81
• 1e bij de Open Nederlandse Kubus
  Kampioenschappen, 28 aug 81
• Ongeveer een halve minuut per kubus

4
TV

• 1981
• De eerste de beste (TROS)
• TV-verslag van Radiokampioenschap (KRO)
• MIES (AVRO)
• Bij herhaling
• Triviant (TROS)
• Het gevoel van (KRO)
• De tijd van ons leven (KRO)
• De televisiejaren (NCRV)

5
Vreemde gevolgen

• Allerlei krantenartikelen, ook WN-bulletin
• Gratis friet in een snackbar
• Gevraagd
• om op een beurs voor een verzekeringsmaat-
  schappij op te treden
• om op een feest van een groot IT-bedrijf op te
  treden
• om op een middelbare school een demonstratie te
  geven
• om een plaat te maken met Ad Visser
• om een video te maken met Dolf Brouwers
• Zelfs gevraagd voor TV-Privé, maar dat ging me
  toen als linkse student toch écht te ver!

6
Tetraeder

• Afstudeerscriptie 1981
• met Bernard van Houtum
• Op papier uitgezocht
• aantal standen (3.732.480)
• oplossingsmethode
• ordes (max 90), aantal standen per orde
• karakterisatie van de groepsstructuur
• gebruik makend van duale karakter
• Geen fysieke vorm en geen simulatie

7
Groepen

• Zij G een verzameling
• met een afbeelding (de groepsoperatie)
• G x G x G
• (g1,g2) ? g1 g2
• Dan is G een groep d.e.s.d.a.
• G is gesloten onder
• ? g, h ? G g h ? G
• is associatief
• ? g,h,k ? G ( g h) k g (h k)
• Er is een eenheidselement (Identiteit)
• ? Id ? G ? g ? G Id g g Id g
• Elk element heeft een inverse
• ? g ? g ? g-1 ? G g g-1 g-1 g Id

8
Eigenschappenvan groepen

• Elk element g uit een groep heeft een orde n
  waarvoor geldt gn 1
• n is dan altijd een deler van het aantal
  elementen van de groep
• Twee elementen g en h commuteren desda g h h
  g
• De commutator van g en h is
• g h g-1 h-1
• De geconjugeerde van g door h is
• h-1 g h
• Geconjugeerden van g vormen equivalentieklasse

9
Even wat notatie

• Met de klok mee (als je tegen het desbetreffende
  centrum aankijkt)
• U (up), D (down), L (left), R (right), F
  (front), B (back)
• Tegen de klok in
• U,D,L,R,F,B
• Halve slagen
• U2,D2,L2,R2,F2,B2
• Slices (schijven)
• RL, RL, FB,

10
Rubiks groep

• Zij
• X de verzameling van alle genummerde kleine
  gekleurde vierkantjes van de kubus
• SX de verzameling van alle volledige rijtjes van
  elementen van X (alle permutaties over X).
• R,L,U,D,F,B verwisselingen van een aantal kanten
• Dan is Rubiks groep de permutatiegroep
  gegenereerd door R,L,U,D,F,B ? SX
• De groepsoperatie is dan het samenstellen van
  verwisselingen

11
Eigenschappen vanRubiks groep

• De blokjes kunnen op 8!3812!212519.024.039.293
  .878.272.000
• manieren in elkaar gezet worden
• De groep heeft 43.252.003.274.489.856.000
  elementen (1/12 is slechts door draaien
  bereikbaar vanuit start)
• Op hele-kubus-symmetrie na zijn er
  901.083.404.981.813.616 (TurnerGold 85)
• Er is geen element van orde 13.
• Max orde is 1260 (bv. RU2DBD)

12
Equivalenties

• UU U2
• UUU U
• LR RL
• L2U2 U2L2
• (U)-1 U
• (RU)-1 UR
• RR Id
• U2 U2 Id

13
Wat kun je gebruiken?

• Algemeen
• Roteren
• Spiegelen
• Groepen
• Geconjugeerde
• Commutatoren
• Inverse
• Permutaties samenstellen
• Orde

14
Conjugerenmoet je leren

• Een bekende actie op een andere plaats uitvoeren
• Voorbeeld
• L2U2 L2U2 L2U2
• verwisselt 4 randblokjes, 2 aan 2 in boven en
  linkervlak
• In permutatienotatie (lf,lb)(uf,ub)
• Kan zonder los te laten! (Singmaster greep)
• Conjugeren
• (BFU) L2U2 L2U2 L2U2 (BFU)-1 (uf,ub)(ur,ul)
• verwisselt 2 aan 2 in bovenvlak
• (B2DULUFU) L2U2 L2U2 L2U2 (B2DULUFU)-1
  (uf,ub)(ur,ul)
• verwisselt en draait 2 randblokjes in het
  bovenvlak!

15
Centrumvan een groep

• Het centrum van een groep G is de subgroep
• Centrum(G) die bestaat uit die elementen van G
  die
• met alle elementen van G commuteren m.a.w
• Centrum(G) z ? G z g g z, ? g ? G
• Een viertal eigenschappen
• z ? Centrum (G) ? ? g?G g z g-1 z
• ?G Id ? Centrum(G)
• Centrum (G) G ? G is commutatief
• Centrum (Rubik) Id, Superflip
• Superflip de operatie die elk randblokje op
  zijn eigen plaats draait
• RU2BLFUBDFUDLD2FRBDFUBUD
• 24 kwartslagen (Mike Reid, minimaal Jerry Bryan
  95)

16
Diametervan de groep

• Diameter is de langste afstand die je (in
  kwartslagen gerekend) eventueel af zou moeten
  leggen als je altijd de kortste weg zou weten
• 1981
• David Singmaster,ondergrens 18 (kwartslagen)
• Morwen Thistlethwaite, bovengrens 52 (1981, later
  45)
• Mike Reid
• (1998) ondergrens 26 (kwartslagen)
  superflip4spot
• (1995) bovengrens 42 (kwartslagen)
• Implementaties Gods algoritme (het algoritme wat
  de kortste weg naar de beginstand gebruikt)
• (naar idee van Herbert Kociemba)
• Mike Reid, Rich Korf, Dik Winter
• 18 slagen (halve slagen inbegrepen) is te doen

17
Een oplossing

• Conjugeren, spiegelen, inverteren en roteren
• Elk blokje heeft vaste plaats tussen de centra
• Kies eerste kleur bijvoorbeeld wit
• Eerst witte laag, dan tweede laag
• Hoeken verwisselen
• Hoeken draaien
• Randen verwisselen
• Randen draaien

18
De eerste laag

• Wit boven houden
• Eerst randblokjes 1 voor 1
• op de goede plaats, in de juiste orientatie
• Nu wit onder houden
• Dan hoeken van bovenlaag naar benedenlaag
• op de goede plaats, in de juiste orientatie
• Roteer de kubus en draai bovenvlak zodat het gat
  rechtsonder zit en
• wit aan de zijkant, linksvoor RUR
• wit aan de zijkant, rechtsachter FUF
• wit boven, rechtsvoor RUR U FUF

19
De middelste laag

• Wit onder houden
• Maar 4 middenblokjes, zet ze 1 voor 1 goed
• Roteer de kubus en draai bovenvlak zodat het gat
  rechtsmidden zit en
• De voorkleur boven, middenachter FUF U RUR
• De voorkleur opzij, links RUR U FUF
• Eventuele Optimalisatie
• Doe voor je de hoeken van de eerste laag goed
  zet,
• eerst de eerste 3 blokjes van de middenlaag,
• dan is er een gootje ontstaan waardoor je 1 voor
  1 de hoeken van de eerste laag kunt plaatsen,
  zoals eerder beschreven
• je moet wel steeds door aan het ondervlak te
  draaien de juiste plaats onder het gootje
  brengen
• - vervolgens doe je alleen het vierde
  middenblokje zoals boven beschreven

20
De laatste laag

• Hoeken verwisselen
• LURULUR (A-,C,D-,B-,)
• RURURU2R (A,C)(B,D)
• (A-,C,D-,B-,) (A,C)(B,D) A D (B,C)
• Dus
• LURULUR RURURU2R (B,C)
• Ofwel (RR annihilatie en met effect op randen
  erbij)
• LURULU2RURU2R (B,C) (b,c)

21
De laatste laag

• Hoeken draaien
• RURURU2R (A,C)(B,D)
• Gespiegelde daarvan is
• LULULU2L (A-,C)(B-,D-)
• (A,C)(B,D) (A-,C)(B-,D-) AD-
• Dus
• RURURU2R LULULU2L AD-
• Met effect op randen erbij
• RURURU2R LULULU2L AD-

22
De laatste laag

• Randen verwisselen 2 aan 2
• ??? (a,c)(b,d)
• Singmaster grip
• L2U2 L2U2 L2U2 (a,c)(lb,lf)
• lb left-back, lf left-front
• Conjugeren
• (BFU) L2U2 L2U2 L2U2 (BFU)-1 (a,c)(b,d)
• Dus
• BFU L2U2 L2U2 L2U2 UFB (a,c)(b,d)
• Ofwel
• BFU L2U2 L2U2 L2UFB (a,c)(b,d)

23
De laatste laag

• Randen verwisselen 3-cykel
• ??? (a,b,c)
• Small slicer
• U2 LR F2 LR (a,df,c)
• df down-front
• Conjugeren
• (RD) U2 LR F2 LR (RD)-1 (a,b,c)
• Dus
• RD U2 LR F2 LR DR (a,c)(b,d)
• (a,b,c) roteren geeft (b,c,d)
• (a,b,c)(b,c,d) (a,c)(b,d)
• Etcetera.

24
De laatste laag

• Randen draaien
• ??? ab
• Slicing around
• RL B RL D RL F2 RL D RL B RL U2 ac
• Lijkt moeilijk maar als je na de eerste 3 slices
  elke keer de kubus zo draait dat achter boven
  wordt () en bij de tweede 3 slices de kubus elke
  keer zo draait dat boven weer achter wordt (-)
  dan wordt de serie eenvoudig
• RL URL URL U2RL - URL - URL - U2
  ac
• Conjugeren
• (RF)RLBRLDRLF2RLDRLBRLU2(RF)-1
  ab
• Meer slicing
• bestudeer RL B RL D RL F RL U
• U2 en weer RL B RL D RL F RL U
  abcd

25
Literatuur

• Wiskunde
• Adventures in Group TheoryDavid Joyner
• mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html
• Wiskunde spelen
• hedgehog.math.arizona.edu/reid/Rubik/
• cff.helm.lu
• Spelen
• www.speedcubing.com
• www.rubiks.com