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CHAPITRE V Traction simple / Compression simple
Hautes Etudes dIngénieur 13, rue de Toul 59046
Lille Cedex
Résistance des Matériaux

• Cours de Tronc Commun

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Introduction

• Ces deux sollicitations simples sont distinctes
  et un certain nombre de matériaux ont un
  comportement différent en traction et en
  compression (fonte, béton). Cependant, dans les
  deux cas, nous arriverons aux même relations de
  contraintes et de déformations.
• Dans le repère (Gxyz) lié à la section, traction
  et compression se différencieront par le signe de
  leffort normal N gt 0 traction, N lt 0
  compression.

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I. Hypothèses

• Le solide est composé dun matériau homogène et
  isotrope,
• Sa ligne moyenne est rectiligne,
• La section droite est constante sur toute la
  longueur,
• La résultante des actions extérieures au c.d.g.
  des sections extrêmes na quune composante
  dirigée selon la ligne moyenne.

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II. Définitions

• Une poutre est sollicitée à la traction simple
  lorsqu'elle est soumise à deux forces directement
  opposées qui tendent à l'allonger et appliquées
  au c.d.g des sections extrêmes.

• Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent
  à une composante normale Ngt0.

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II. Définitions

• Une poutre est sollicitée à la compression simple
  lorsqu'elle est soumise à deux forces directement
  opposées qui tendent à le raccourcir et
  appliquées au c.d.g des sections extrêmes.

• Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent
  à une composante normale Nlt0.

• Dans le cas de la compression, si les dimensions
  longitudinales sont trop importantes (/ aux
  dimensions transversales), il y a risque de
  flambement (ou flambage).

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III. Contraintes dans une section droite

• Pour les deux sollicitations, traction et
  compression, elles s'expriment de la même façon
  

Chaque élément de surface ?S supporte un effort
de traction ?f parallèle à la ligne moyenne. Il y
a répartition uniforme des contraintes dans la
section droite. Doù 
?  contrainte normale en MPa ou en N/mm2 N 
effort normal en N S  aire de la section droite
en mm2

• En traction, N gt 0 ? s gt 0.
• En compression, Nlt0 ? s lt 0.

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IV. Etude des déformations

• IV.1 Déformations longitudinales
• On se place dans le domaine élastique (petites
  déformations, réversibles), la loi de Hooke est
  donc valable s E.e
• Comme nous lavons vu précédemment, e est
  lallongement unitaire et vaut

DL allongement de la poutre (mm) L0 longueur
initiale de la poutre (mm)
Or on a
?  contrainte normale (MPa) N  effort normal en
N S  aire de la section droite en mm2 E module
de Young (MPa)
On obtient donc
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IV. Etude des déformations

• IV.1 Déformations longitudinales
• En traction, la poutre sallonge ? DLgt0
• En compression, la poutre raccourcit ? DLlt0
• Effet thermique
• Lorsquune poutre est soumise à une variation
  de température DT, elle subit une dilatation
  thermique DLTh. Celle-ci est de la forme

Avec a coefficient de dilatation thermique
(C-1), Lo longueur initiale de la barre, DT
variation de température (C).
Remarque lorsquune barre est soumise à un
effort normal N et à une variation de température
DT, daprès le principe de superposition, on a
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IV. Etude des déformations

• Effet thermique
• Si la poutre est libre de se dilater, la
  variation de longueur se fait sans contrainte.
• Si la dilatation est empêchée, il y a apparition
  dune contrainte normale de traction ou de
  compression en fonction du signe de DT.

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IV. Etude des déformations

• IV.2 Déformations transversales
• Lorsquune poutre sallonge dans la direction
  longitudinale sous leffet de N, on observe une
  contraction dans la direction transversale.

On a
On constate une proportionnalité entre les
déformations transversales et les déformations
longitudinales.
n Coefficient de Poisson (entre 0.1 et 0.5, 0.3
pour les aciers)
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V. Dimensionnement

• V.1 Condition de résistance
• Afin de tenir compte dincertitudes concernant
  les charges appliquées au solide, les conditions
  dutilisation ou les caractéristiques mécaniques
  du matériau, on introduit un coefficient de
  sécurité s.
• Le dimensionnement des pièces mécaniques se fera
  en limitant la valeur de la contrainte normale à
  une valeur notée Rpe (résistance pratique à
  lextension) définie par

On doit ainsi vérifier linéquation
(déquarrissage) suivante
En compression, on doit vérifier
Avec, Rpc la résistance pratique à la compression

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V. Dimensionnement

• V.2 Condition de déformation
• Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois
  important de limiter lallongement à une valeur
  DLlim. On obtient donc linéquation

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VI. Concentration de contraintes

• Lorsquune poutre possède une variation brusque
  de sa section, la répartition de la contrainte
  normale nest plus uniforme à proximité de la
  discontinuité de section. Il y a concentration de
  contrainte

La contrainte maximale vaut
Avec Kt coefficient de concentration de
contrainte snom contrainte nominale
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VI. Concentration de contraintes
Remarque Kt est fonction de la forme de la
pièce et de la nature du changement de section.
Les valeurs de Kt sont obtenues expérimentalement
et sont présentées sous forme dabaques.
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VII. Les treillis

• VII.1 Définitions
• On appelle treillis (ou système triangulé ou
  structure réticulée) un ensemble déléments
  assemblés les uns aux autres à leurs extrémités
  par des articulations.
• Ces éléments sont appelés barres.
• Le point de rencontre des barres dun treillis
  sappelle un nœud.

• VII.2 Hypothèses
• Les assemblages sont géométriquement
  invariables.
• Les forces sont ponctuelles et contenues dans le
  plan de la structure.
• Le poids des barres est négligé.
• Les forces agissent aux nœuds qui sont des
  articulations.
• ? Compte tenu des hypothèses, les barres sont
  soumises soit à de la traction, soit à de la
  compression.

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VII. Les treillis

• VII.3 Stabilité dun treillis
• Considérons les deux cas suivants

Un treillis rectangulaire nest pas stable.
3 barres formant un triangle forment une
structure stable qui ne peut saplatir. Le
triangle est donc la cellule de base dun
treillis.
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VII. Les treillis

• VII.4 Isostatisme dun treillis
• Les inconnues de notre problème sont les b
  efforts normaux dans les barres et les r
  réactions dappuis.
• Létude dun treillis se fait par léquilibre de
  chaque nœud. Les équations déquilibre de la
  statique sont au nombre de deux (résultantes sur
  x et sur y, pas déquation de moments puisque les
  barres sont concourantes au nœud). Léquilibre
  des n nœuds du treillis donne donc 2n équations.
• Soit h, le degré dhyperstatisme du treillis,
  défini de la manière suivante

hbr-2n
Si h0, le treillis est isostatique. Si hgt0, le
treillis est hyperstatique. Si hlt0, le treillis
est hypostatique.
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VII. Les treillis

• VII.5 Résolution dun treillis
• Déterminer h le degré dhyperstatisme de la
  structure,
• Si h0, structure isostatique, on peut la
  résoudre,
• Calcul des réactions dappuis,
• Détermination des efforts et de la nature des
  sollicitations dans toutes les barres. On pourra
  employer la méthode des nœuds ou celle de Ritter.
• On pourra récapituler les résultats dans un
  tableau.

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VII. Les treillis

• VII.6 Méthode des nœuds
• On peut résoudre un treillis en procédant
  progressivement, nœud par nœud, cest à dire en
  écrivant léquilibre dun nœud préalablement
  isolé.
• VII.7 Méthode de Ritter
• Cette méthode consiste à réaliser une coupe dans
  le treillis qui ne sectionne que trois barres
  dont deux sont concourantes en un point appelé
  point de Ritter. On isole ainsi le treillis en
  deux parties.
• Il suffit disoler une de ces deux parties et
  dexprimer léquilibre de ce système soumis à
  laction des forces qui le sollicitent
  directement et aux efforts normaux qui naissent
  dans les barres coupées.

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