Pr

1
Amphithéâtre 3 Le modèle à générations
imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des
Universités CREST Laboratoire de
Macroéconomie etienne.lehmann_at_ensae.fr http//www
.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm
2

• Dans le modèle de croissance néo-classique
  (séance 1)
• Les agents ont un horizon de vie infini
• Il ny a pas dimperfection de marché
  (externalités, concurrence imparfaite,
  (contrairement aux modèles de croissance
  endogène)
• Léquilibre décentralisé de marché et loptimum
  social coïncident
• La meilleure allocation possible des revenus
  entre consommation et épargne et obtenue en
  laissant faire les agents.
• Ici, remise en cause de lhypothèse dhorizon de
  vie infini des agents
• A chaque date cohabitent des agents dâge
  différents
• Lallocation consommation /épargne demeure-t-elle
  efficace ?
• Conserve-t-on léquivalence Ricardienne ?
• Financement des retraites par répartition ou par
  capitalisation ?

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• Plan de la séance
• Le modèle à générations imbriquées (OLG) avec
  accumulation de capital (Peter Diamond American
  Economic Review 1965)
• Le modèle OLG avec altruisme intergénérationnel
• Retraite par répartition ou par capitalisation ?
• Le modèle de jeunesse perpétuelle

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• Le modèle de Diamond (1965)
• Modèle en temps discret (1 période /- 30 ans)
• Chaque agent vit deux périodes. Coexistence à
  chaque date de jeunes et de vieux
  (Overlapping Generations Model).
• Les jeunes travaillent, répartissent leur salaire
  wt entre consommation présente ct et épargne st
  avec ct st wt
• Les vieux reçoivent les intérêts de leur épargne
  et la consomment dt avec dt (1rt)st-1
• Fonction dutilité U(ct dt1) avec Ui gt 0 et U
  strictement concave
• Marché du travail concurrentiel, offre de travail
  inélastique égale au nombre de jeunes Lt L0
  (1n)t
• Rendements constants Yt F(Kt Lt) avec Fi gt 0
  gt Fii
• Dépréciation totale du capital Kt1 st Lt

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Le modèle de Diamond (1965) Programme des
entreprises (1rt) Kt Max F(Kt Lt) wt Lt
doù wt FL(Kt Lt) Théorème dEuler
F(Kt Lt) wt Lt F(Kt Lt) FL Lt FK Kt
doù 1rt FK(Kt Lt) Posons f(x)F(x,1),
et kt Kt / Lt Alors Yt / Lt f(kt), 1rt
f(kt) et wt f(kt) kt f(kt)
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Le modèle de Diamond (1965) Equilibre Firmes
F(Kt Lt) wt Lt (1rt) Kt Contrainte
budgétaire des jeunes ct st wt et Kt1
Lt st gt wt Lt Lt ct Kt1 Contrainte
budgétaire des vieux (1rt)st-1 dt et Kt
Lt-1 st-1 gt (1rt) Kt Lt-1 dt Equilibre sur
le marché des biens F(Kt Lt) Lt ct Lt-1 dt
Kt1 Comme Lt1 (1n)Lt
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Le modèle de Diamond (1965) Programme des jeunes

• Maximisation dune fonction continue strictement
  concave sur un espace compact convexe
• Un maximum existe et est unique
• Les conditions nécessaires sont également
  suffisantes et déterminent entièrement loptimum
  des agents

Condition du premier ordre (Keynes-Ramsey
intragénérationnel)
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• Le modèle de Diamond (1965)
• Définition Etant donné k0, un équilibre est une
  séquence ct , dt , kt1t0,1, vérifiant
• Equilibre emploi ressources
• Allocation intra-générationnelle des ressources
• Allocation inter-générationnelle des ressources

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Le modèle de Diamond (1965) Programme des jeunes
La condition du premier ordre (Keynes-Ramsey
intragénérationnel)
Définit implicitement les fonctions de
comportement
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Le modèle de Diamond (1965) Equations déquilibre
La dynamique dévolution du capital (kt1 en
fonction de kt) est entièrement décrite
(implicitement) par
kt1 (taux dépargne des jeunes) (part des
salaires revenus des jeunes dans la production)
production par tête / (1n) Les deux premiers
termes peuvent évoluer de manière ambigüe avec k
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Le modèle de Diamond (1965) Pour étudier S ,
fonction dutilité additivement séparable
Avec u(.) gt 0 gt u et v gt 0 gt v
Le programme du consommateur donne
Qui détermine alors les propriétés de la fonction
S. .
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Le modèle de Diamond (1965)
(1rt1) v(dt1)
u(ct)
st
st Swt 1rt1
Quand w augmente, s augmente Sw gt 0 et donc
dt1 augmente aussi avec wt Mais effet ambigu
de rt1
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Le modèle de Diamond (1965) De la même manière ct
augmente avec wt
u(ct)
(1rt1) v(dt1)
ct
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• Le modèle de Diamond (1965)
• ct dt1 et st augmentent avec wt dès que ct et
  dt1 sont des biens normaux Aussi 0 lt Sw lt 1
• Effet de 1rt1 est en général ambigu.
• Hausse de rt1 augmente le prix de la
  consommation présente par rapport à la
  consommation future (effet substitution) baisse
  de ct, hausse de st et de dt1
• Hausse de rt1 augmente la frontière des
  possibles (effet revenu) hausse de ct, st et de
  dt1
• Effet ambigu sur ct et sur st. Hausse non
  ambiguë de dt1

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Le modèle de Diamond (1965) Equilibre du
marché du capital à la date t
Tant que les effets revenus ne sont pas trop
importants, lépargne augmente ou ne diminue
pas trop avec r et le marché du capital admet
un équilibre temporaire unique Dans ce cas, une
hausse de kt gt augmente wt gt st et kt1
augmentent
(1n)kt1 Swt 1rt1
f(kt1) 1rt1
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Le modèle de Diamond (1965) Si effets revenus
sont très forts, léquation
peut même admettre plusieurs solutions en kt1
étant donné kt Ou admettre une dynamique
monotone, mais avec plusieurs états
stationnaires, certains stables, dautre non.
kt1
(1n)kt1 kt
kt
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Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier si
élasticité de substitution unitaire u(c)Log(c),
v(d)b Log(d) Les conditions doptimalité donnent

Taux dépargne constant effets revenu et effet
substitution se compensent exactement Une hausse
du taux descompte intragénérationnel b réduit le
taux dépargne
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Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier
(référence)
On a
Doù
Unique état stationnaire non trivial, qui est
stable
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Le modèle de Diamond (1965) Optimum social. Soit
r le taux descompte social intergénérationnel
Le cas utilitariste correspond à 1/(1r) 1n,
soit r lt 0 Le cas utilitariste par tête
correspond à r 0 Pour que le problème soit bien
posé, on pose dorénavant r gt 0. (Utilitarisme par
tête avec préférence pour les générations
présentes) Loptimum social maximise W en ct, dt
et kt1 pour t 0, 1, , étant donnés c-1 et k0,
sous la contrainte emploi-ressources
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Le modèle de Diamond (1965) On utilise la
contrainte emploi ressources pour éliminer ct
Doù les cpos
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Le modèle de Diamond (1965) A partir des cpo
Lallocation intra-générationnelle des ressources
est décrite par la même équation à loptimum et à
léquilibre
Lallocation inter-générationnelle des ressources
est décrite par une règle dor modifiée
(Keynes-Ramsey intergénérationnel) dépendant du
facteur descompte intergénérationnel dans
lobjectif social r
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Le modèle de Diamond (1965)
A moins dun coup de chance (condition sur
r), léquilibre concurrentiel et loptimum
diffèrent par la condition dallocation
intergénérationnelle des ressources

• Lallocation déquilibre peut très bien ne pas
  être Pareto- efficace
• Le problème vient de lallocation des ressources
  entre les générations

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Le modèle de Diamond (1965)
Prenons une allocation déquilibre. A quelles
conditions redistribuer à chaque période la
consommation des jeunes vers les vieux de la
génération précédente, sans changer la dynamique
du capital améliore le bien-être de toutes les
générations ? i.e. pour t0, 1, DctDc lt 0
Ddt-(1n)Dc gt 0 et Dkt 0 Pour la génération
née en -1, Dc0 lt 0 est toujours bénéfique car
elle a déjà consommée c-1 à la période
précédente. Pour la génération née en t
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Le modèle de Diamond (1965)
Redistribuer la consommation des jeunes vers les
vieux de la même période a un rendement social
n Laisser les jeunes réallouer leur richesse
dune période à lautre a un rendement rt1 Si
rt1 lt n il y a suraccumulation de capital. On
améliore alors le bien-être de toutes les
générations, y compris la première (née en -1)
par Dct lt 0 lt Ddt Lallocation déquilibre est
alors dynamiquement (Pareto) inefficace En
revanche, en cas de sousaccumulation de capital,
il faudrait diminuer la consommation des vieux et
augmenter la consommation des jeunes, mais alors,
la génération née en -1 perdrait.
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Le modèle de Diamond (1965)
Exemple, f(k) ka et U(ctdt) Log(ct) b
Log(dt1)
Aussi à létat stationnaire,
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Le modèle de Diamond (1965)
Aussi à létat stationnaire, le k optimal dépend
de r mais pas de b.
Si
Lallocation déquilibre se traduit par de la
suraccumulation de capital. On peut alors
augmenter le bien-être de toutes les générations
en réallouant la consommation des jeunes vers les
vieux de la même période (amélioration
Paretienne).
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Le modèle de Diamond (1965) Léquivalence
Ricardienne est-ce que la date à laquelle on
effectue un prélèvement forfaitaire compte?
Non dans le modèle à horizon infini, car seul
compte la contrainte budgétaire intertemporelle
des agents qui nest pas affecté par le timing
des prélèvements Oui dans le modèle à
générations imbriqués car cela affecte la
contrainte budgétaire dagents de générations
différentes
Exemple hausse de Ttk et baisse de Ttk1 ne
change pas la CBI du ménage de génération k mais
augmente le revenu des jeunes en k1 (et donc
leur épargne) et diminue anticipée pour les
jeunes en k-1
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• Le modèle de Diamond (1965)
• La remise en cause de la seule hypothèse dagents
  vivant infiniment
• Peut potentiellement compliquer la dynamique
  déquilibre (multiplicité et instabilité détat
  stationnaires, voire indétermination si effets
  revenus sont très élevés).
• Laissez faire les agents peut conduire léconomie
  à un équilibre de suraccumulation du capital qui
  est Pareto inefficace.
• Les générations futures nont pas le moyen de
  compenser les vieux de la génération présente
  en cas de suraccumumation de capital
• Donne un rôle à létat en terme de taxation du
  capital pour corriger cette inefficacité.
• Remet en cause léquivalence Ricardienne
• La date de remboursement des emprunts est à
  présent déterminante.

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Générations imbriquées et altruisme
intergénérationnel On suppose dorénavant que les
individus tiennent également compte du bien-être
de leur descendants, en plus de leur utilité de
cycle de vie. On suppose ainsi que la génération
née en t maximise lutilité dynastique Wt définie
de manière récursive à partir de lutilité
intragénérationnel de cycle de vie U(ct , dt1)
et du taux daltruisme intergénérationnel b ?
0,1 selon
Doù
On autorise un ménage de la génération t à un
faire un don xt1 (leg, héritage donation,) aux
jeunes de la génération suivante mais nul
nest tenu daccepter un héritage , doù la
contrainte xt1 0
30
Générations imbriquées et altruisme
intergénérationnel La génération t résout
Soit
31
Générations imbriquées et altruisme
intergénérationnel
Soit les cpos
Compte tenu de la cpo des firmes 1rt1
f(kt1) et de la condition denveloppe
32
Générations imbriquées et altruisme
intergénérationnel
On retrouve lallocation intragénérationnel
optimale des ressources
Lallocation intergénérationnel dépend si la
contrainte de positivité xt1 0 du leg est ou
non mordante. Si elle ne lest pas, on retrouve
la condition dallocation intergénérationnelle
optimale des ressources (avec b 1/(1r))
Sinon, on retrouve la condition dallocation
intergénérationnel des ressources déquilibre du
modèle de Diamond
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Générations imbriquées et altruisme
intergénérationnel
En résumé, tant que la contrainte de positivité
des legs nest pas contraignante, léconomie
réalise une allocation optimale On retrouve les
propriétés habituelles (unicité dun état
stationnaire non trivial, qui est convergent.
Inutilité de la politique économique,
Equivalence Ricardienne, etc) En revanche, dès
que cette contrainte est mordante, on retrouve
une dynamique analogue à celle de Diamond, avec
les mêmes problèmes. Intuition lorsque les
agents sont suffisamment altruistes, ils adoptent
le point de vue de la dynastie de leur
descendants et se comportent comme un agent
unique ayant un horizon de vie infini. Le fait de
pouvoir léger à leur descendant leur donne un
instrument supplémentaire pour réallouer les
ressources entre les générations Mais en cas de
suraccumulation du capital à léquilibre sans
leg, il faudrait des legs négatifs pour réallouer
la consommation
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Retraite
On considère lintroduction dun système de
retraite A la date t les jeunes payent un
prélèvement tt et les vieux reçoivent une
pension pt Il y a deux systèmes de
financement Le système de retraite par
répartition (qui prédomine en France) fait payer
les retraites des vieux de la génération t
par les jeunes de la génération t1 (Pay as
you Go), i.e. Lt-1 pt Lt tt Intuitivement, ce
système est dautant plus efficace que la
croissance démographique est élevée (que le ratio
actifs/ inactifs est élevé
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Retraite
Le système de retraite par capitalisation fait
payer les retraites des vieux de la
génération t par un prélèvement quand ils sont
jeunes que lon place sur les marchés financiers
et que lon ressert avec taux dintérêt (fonds de
pension). Lt-1 pt Lt-1 (1rt)
tt-1 Intuitivement, le système par répartition
est dautant plus productif que le rendement du
capital est élevé. En cas de sous-accumulation du
capital, on a n lt rt1 et on sattend à ce que
la capitalisation domine la répartition En cas de
sur-accumulation du capital on a n gt rt1 et on
sattend à ce que la la répartition domine la
capitalisation La répartition peut-elle restaurer
lefficacité dynamique en cas de
sous-accumulation ? Quid de leffet sur
laccumulation du capital et du taux dintérêt ?
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Retraite
Le système de retraite par capitalisation on a
pt (1rt)tt-1 et Kt1 Lt(sttt) Programme des
jeunes
Soit
Compte tenu de léquilibre du système pt1
(1rt1)tt
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Retraite
Le système de retraite par capitalisation laisse
inchangée lépargne totale st tt On a éviction
parfaite de lépargne choisie st par lépargne
forcée tt La dynamique du capital reste
inchangée. Lallocation des ressources est donc
inchangée par lintroduction dun système de
retraite par capitalisation. du moins, tant que
la retraite nest pas trop élevée. pose des
problèmes en pratique hétérogénéité des
préférences intragénérationnel, insécurité des
rendements, création de monopsones (fonds de
pensions) sur le marché du capital,
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Retraite
Le système de retraite par répartition On a pt
(1n)tt Programme des jeunes
Soit
Compte tenu de léquilibre du système pt1
(1n)t
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Retraite
La condition du premier ordre
Définit implicitement leffet sur lépargne de la
retraite
Si rt1 n (règle dor) éviction unitaire. Si
Ucd 0 et rt1 gt n (sous accumulation) 0 lt -
Ds lt - Dt Si Ucd 0 et rt1 lt n (sur
accumulation) 0 lt - Dt lt - Ds
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Retraite Aussi, la dynamique daccumulation du
capital se trouve ralentie
kt1
(1n)kt1 kt
Swtrt1
kt
Lintroduction dun retraite par répartition
réduit lintensité capitalistique des états
stationnaires stables gt Baisse de w, hausse de r
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Retraite Lintroduction dune retraite par
répartition Réalloue la consommation des jeunes
vers les vieux de la période courante Diminue
lintensité capitalistique gt r augmente, w
diminue Si suraccumulation du capital r lt n (et
si Ucd0), on a alors une amélioration
Parétienne. Sinon, les vieux de la génération
présente y gagnent, tous les autres y perdent. A
contrario, supprimer ou réduire un système PAYG
est toujours néfaste pour au moins une
génération
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• Le modèle de jeunesse perpétuelle
• Le modèle OLG présuppose quune période 30 ans.
  
• Utile pour parler retraite, mais quid de
  questions et de politiques conjoncturelles? Doù
  le modèle de jeunesse perpétuelle de Yaari (1965)
  et Blanchard (1985).
• Temps continu indexé par t.
• Chaque individu meurt selon un processus de
  Poisson (doù jeunesse perpétuelle) de
  paramètre p ? 0,8
• A chaque instant nait une nouvelle cohorte de
  taille p
• La cohorte des agents dâge a a une taille égale
  à p Exp- p a
• La population totale a une taille constante
  unitaire

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Le modèle de jeunesse perpétuelle Quid de la
richesse dun individu lors de sa mort?
Blanchard introduit une assurance vie à
lenvers . Les individus vivant peuvent recevoir
un flux de z unités de biens contre la promesse
de laisser une unité de bien à leur
mort. Concurrence parfaite sur lassurance gt
Profit nul gt z p Le caractère Poissonien du
processus de décès implique que le comportement
des individus est indépendant de leur âge. Ils
résolvent (avec wt wt Tt)
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Le modèle de jeunesse perpétuelle Doù la
condition de Keynes-Ramsey
En labsence dassurance, on aurait eu
Pour boucler simplement le modèle, on prend u(c)
Log(c), si bien que
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Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi, pour un
individu né en s, sa consommation en t vérifie
En intégrant la contrainte budgétaire du ménage
doù
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Le modèle de jeunesse perpétuelle Or quand t tend
vers 8, le terme de gauche doit tend vers zéro
(condition de non-Ponzi). Aussi
Tous les consommateurs consomment la même
fraction r p de leur revenu permanent
actualisés Celui-ci est égal à la somme de leur
richesse financière at et des revenus actualisé
de leur travail dans le futur Aussi, au niveau
agrégé
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Le modèle de jeunesse perpétuelle
Impact de C Keynes-Ramsey habituel Impact de
A tous le monde consomme une même fraction de
son patrimoine plus un terme constant. Les jeunes
ont relativement moins de patrimoine, mais ils
laccumulent plus vite et leur consommation croît
donc plus vite. A plus élevé ? moins de jeunes ?
C croît moins vite
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Le modèle de jeunesse perpétuelle On a At Kt
et, rtf(kt) et léquilibre emploi-ressources
Aussi, la dynamique de léconomie est-elle
décrite par
49
Le modèle de jeunesse perpétuelle
C cst
K cst
50
Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi,
léconomie converge-t-elle vers un état
stationnaire unique On retrouve les propriétés de
régularité du modèle de Ramsey Mais le taux
dintérêt converge vers une valeur supérieure au
taux descompte psychologique r et donc
supérieur à 0 (sous-accumulation de capital,
efficacité dynamique Un allongement de la durée
de la vie (baisse de p) fait augmenter K et w et
baisser r à létat stationnaire
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Le modèle de jeunesse perpétuelle rôle de la
dette Introduction de la dette B, des dépenses
publiques G et des taxes forfaitaires t La dette
de létat capte à présent une partie de la
richesse financière des ménages. On a à présent
At Kt Bt La dynamique de léconomie est
alors décrite par
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Le modèle de jeunesse perpétuelle
C cst
K cst
DG gt 0
DB gt 0
53
Le modèle de jeunesse perpétuelle rôle de la
dette Létat stationnaire est donné par
Le stock de capital de létat stationnaire est
implicitement défini par H(K, B, G, p) 0 où H
est définie par
54
Le modèle de jeunesse perpétuelle rôle de la
dette
On a
Si G et B sont suffisamment petits, comme F lt
F/K, on a par continuité HK lt 0 Un pays plus
endetté voit à létat stationnaire sont stock de
capital diminuer et son taux dintérêt
augmenter Si p 0 (Ramsey), r est indépendant de
la dette à létat stationnaire