An

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Análisis de nodos y mallas

• Circuitos eléctricos 1

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Análisis de nodos
En el análisis nodal se aplica la ley de
Kirchhoff de corrientes para determinar los
voltajes presentes en los nodos.

• Es conveniente dibujar la red utilizando valores
  de conductancias y colapsando los nodos a un solo
  punto.
• Defina un nodo de referencia
• Etiquete los nodos restantes de 1 en adelante.
• Defina los voltajes de cada nodo (excepto el de
  referencia)
• Escriba LKC para cada nodo
• Resuelva el sistema de ecuaciones resultante

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Circuitos con fuentes independientes de corriente
Consideremos el circuito de la figura a. La
figura 1b es el mismo circuito en donde se hace
resaltar la existencia de tres nodos. Dado que
los voltajes se definen en pares de nodos,
debemos elegir un nodo como referencia para medir
dichos voltajes. En la figura c se muestra el
mismo circuito con la referencia tomada como el
nodo inferior. La figura d muestra la misma red
en la que se han eliminado los signos de
referencia del voltaje por resultar redundantes.
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Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes a
cada nodo obtenemos para el nodo 1. 0.5v1
0.2(v1 - v2) 3 o 0.7v1 - 0.2v2 3 y para
el nodo 2. v2 0.2(v2 - v1) 2 o -
0.2 v1 1.2v2 2 La solución de este sistema
de ecuaciones es v1 5 V v2 2.5 V La
tensión del nodo 1 respecto al dos será (v1
v2) 2.5 V. con estos valores se puede
determinar la potencia disipada por cualquiera de
los elementos del circuito. Para circuitos que
solo contienen fuentes independientes de
corriente se obtiene una matriz de sistema
simétrica, llamada matriz de conductancia.
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Ejemplo
Determinar las tensiones de nodo
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Matriz de conductancias
La matriz de conductancias es la matriz de
coeficientes de del sistema de ecuaciones de
nodos. Para redes con solo resistencias y fuentes
de corriente independientes la matriz de
conductancias es una matriz simétrica. Los
elementos de la diagonal, gii, son iguales a la
suma de las conductancias del nodo i y los
elementos gij , con i ltgt j, son iguales al
negativo de la suma de las conductancias que unen
al nodo i y al nodo j. El vector de términos
independientes esta formado por la suma de las
corrientes que llegan a cada nodo a partir de las
fuentes de corriente.
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ejercicio
Escriba la matriz de conductancias para el
siguiente circuito. Escriba el vector de términos
independientes y resuelva el sistema para
encontrar los voltajes de nodos.
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Tarea 11
Escriba las ecuaciones de nodo utilizando la
definición de la matriz de conductancias y
resuelva el sistema resultante para calcular los
voltajes de nodo de la siguiente red.
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El supernodo
Supernodo
La fuente de voltaje puede considerarse como un
supernodo. La LKC se sigue cumpliendo si se
aplica a las corrientes que entran y salen de
este supernodo. La fuente de voltaje suministra
una ecuación para poder resolver el sistema.
4 W
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Fuentes controladas
Supernodo
Ecuaciones 2 v1 2.5 v2 0.5 v3
14 0.1v1 v2 0.5 v3 1.4 v4 0 v1
12 0.2 v1
v3 1.2 v4 2 Solución v1
12, v2 4, v3 0, v4 2,
v2
v1
v3
ref.
Supernodo
v4
11
Tarea
Haga análisis nodal para determinar el valor de
vA.
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Análisis de mallas
El análisis de mallas se aplica a redes
planas. Una red plana es aquella que se puede
dibujar sin que se cruce ningún
conductor. Definimos un lazo con cualquier camino
cerrado que recorre solo una vez cada elemento
del mismo. Se define una malla como un lazo que
no contiene otros lazos.
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Lazos y mallas
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Ejemplo
Considere el circuito de la figura. Aplicando la
ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla
obtenemos
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Corriente de malla
Definimos corriente de malla como la corriente
que circula alrededor del perímetro de una
malla. En la figura se muestran las corrientes de
malla de la red anterior.
La ecuación de malla para la malla 1 es 6i1
3(i1 i2) 42 La ecuación de malla para la
malla 2 es 3(i2 i1) 4i2 10 9i1 3i2
42 3i1 7i2 10 La solución es la misma que
la anterior.
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Ejemplo
Encontrar i1 e i2
17
Ejemplo
Encontrar i1, i2 e i3
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Tarea
Encontrar i1 e i2
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Supermallas
La fuente de corriente se puede manejar mediante
una supermalla. Las ecuaciones para la red de la
derecha son Para la supermalla 7 1(i1 i2)
3(i3 i2) i3 0 i1 4i2 3i3 7 para
la malla 2 1(i2 i1) 3(i2 i3) 2i2 0
i1 6i2 3 i3 0 Ecuación de la fuente de
corriente i1 i3 7 Solución i1 9 A, i2
2.5 A, i3 2 A.
i2
i1
i1
i3
20
Tarea
Encontrar i1
21
Solución con Workbench
22
Ejemplo
23
Solución con Workbench
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Comparación entre nodos y mallas
ix
i4
v1
v2
v3
ix
i1
i2
i3
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Solución v1 25.89 v2 20.31 ix 2.79
Solución i2 ix 2.79