Pr

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Chapitre IV Commande analogique des SLI par
retour de sortie ou asservissement linéaire et
continu
IV-1 Principe et objectif IV-2 Transmittance
associée des SA (Système Asservis) IV-3 Analyse
des SA continus IV-4 Précision dun système
asservi, immunité aux perturbations IV-5 Synthèse
des asservissements linéaires
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Chapitre IV Commande analogique des SLI par
retour de sortie ou asservissement linéaire et
continu
IV-1 Principe et objectif
Pour asservir la sortie dun système à une
consigne la manière la plus logique (sans être la
plus efficace) est de comparer la sortie à la
consigne et de corriger le système pour diminuer
cet écart consigne sortie.
Perturbations
Signale de commande
u(t)

?(t)
e(t) ou consigne
Système quelconque
Correcteur
Actionneur
Puissance
s(t)
-
Système formel G(p)
r(t)
Capteur H(p)
Électronique basse puissance
La loi de commande u(t) qui sera adressée au
système via un organe de puissance et un
actionneur, sera conditionnée par la nature du
système et limage de la sortie r(t) fournie par
un capteur qui sera comparée à la consigne
e(t). Les méthodes développées dans ce chapitre
ont pour but de calculer la transmittance C(p) du
correcteur de manière à atteindre les
spécifications demandées en termes de stabilité,
de précision statique ou dynamique ainsi que
limmunité aux perturbations (entrées non
contrôlable du système). On intègrera au système
la partie puissance et actionneur pour former le
système formel de transmittance G(p). G(p) est
déterminée à partir dune expérience
didentification, le capteur est nécessaire lors
de cette identification. Dans le cas où le
capteur est beaucoup plus rapide que le système
(cas le plus fréquent), il sera inclus dans G(p).
Si ce nest pas le cas H(p) doit être déterminé.
3
IV-2 Transmittance associée des SA (Système
Asservis)
1 Transmittance en boucle ouverte TBO ou FTBO



G2 (p)
G1(p)
S(p)
E (p)
-
R(p)
H(p)
2 Transmittance en boucle fermée FTBF

T(p)
S(p)
E (p)
-
Schéma équivalent à retour unitaire Fu
transmittance à retour unitaire
3 Transmittance vis à vis des perturbations
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IV-3 Analyse des SA continu
Cette étude repose sur une principe très simple
Toutes les caractéristiques du SA sont reliées de
façon simple aux caractéristiques de la FTBO
(T(p)) que ce soit

• La transmittance
• la stabilité
• la précision statique
• la précision dynamique
• limmunité aux perturbations

La partie analyse consiste à établir les
relations entre les caractéristiques en boucle
fermée et la FTBO, aussi le respect du cahier des
charges entraînera certaines contraintes sur la
FTBO qui devront être satisfaite par la présence
du correcteur.
1 Relation graphique FTBO ? FTBF (Abaque de
Black-Nichols)
Tout système asservi peut se mettre sous la forme
dun système asservi à retour unitaire (Fu), la
relation entre la FTBO et la FTBF est alors
simple
Il est donc possible dexprimer le module et la
phase de Fu en fonction de ce de T.
5
Im
On sait que
T
Re
TT
T
Labaque de Black-Nichols est un réseau de
courbes tracées dans le plan de Black (A(dB) vs
?(deg)) permettant de passer simplement des gains
et phases en BO, aux gains et phases en BF à
retour unitaire. Cet abaque comporte deux types
de courbes

• Les contours damplitude
• Les contours de phase

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Abaque de Black-Nichols
gain
Aumax
Q
Au(0)
Au(0)
BF
Aumax
Il permet dobtenir rapidement des infos sur la
boucle fermée

• Gain statique en BF Au(0)
• Sil existe un contour damplitude tangent au
  lieu de transfert en BO ? présence dune
  résonance en BF au gain Aumax (valeur du contour)
• Bande passante à 3dB (suivant définition
  Au(0)-3dB ou Au(max)-3dB).

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2 Stabilité des SA Critère de Nyquist
On sait que la stabilité dun système asservi de
transmittance F(p) est assurée si F(p) na que
des pôles à partie réelle négative.


G
TGH
S
E
S
E
-
-
Aussi le système est stable si 1T(p) ne possède
pas de racine à partie réelle gt0 Mais ce qui nous
intéresse ici cest de déterminer la stabilité de
F u(p) à partir de la connaissance complète
(racines et pôles) de T(p). Donc regardons les
conséquences sur T(p) de la stabilité de Fu(p)
Théorème de Cauchy
Soit F(p) une fonction de la variable complexe p.
Soit Z le nombre de zéros et P le nombre de
pôles de F(p) situés à lintérieur dun contour
fermé (C) dans le plan complexe. Lorsque p décrit
le contour (C) dans le sens négatif, alors F(p)
décrit un contour fermé (?) tel que
, cest-à-dire que la courbe (?) fait (P-Z)
tours autour de lorigine dans le sens direct si
P-Z gt 0, dans le sens indirect si P-Z lt0.
Zéros
Im
F(p)
o
p
Im
o
x
Pôles
x
o
x
x
o
C
x
Re
8
On peut appliquer ceci à 1T(p) Si 1T(p) fait
P-Z tours autour de lorigine alors T(p) fera P-Z
tours autour du point 1 appelé point critique.
Critère de Nyquist
Pour quun système asservi soit stable il faut
que 1T ne possède pas de zéros à partie réelle
positive. Si on choisit le contour suivant (C)
tout le coté droit du plan complexe Quand p
décrit dans le négatif le contour (C) alors
1T(p) fera P (P nombre de pôle de T(p) dans
(C)) tours autour de lorigine donc par
conséquent T fera P tours autour du point
critique 1. On dit que quand p décrit dans le
contour (C) ? T(p) décrit le lieu de transfert
complet
Tracé du lieu de transfert complet

• de
• de
• le demi cercle de rayon ? on reste à
  lorigine (gain nul)
• de

1. Si T(p) na pas de pôle à lorigine un point
   sur laxe réel T(0)
2. Il existe un pôle dordre ? ? 1 à lorigine
   Quand ??0 T(p) décrit un cercle de rayon infini
   dans le sens négatif et tourne de ?.?. Le lieu de
   transfert classique comporte alors une branche
   infinie donc par le lieu de transfert complet a
   deux branches infinie. Elles sont rejoint par ?
   un demi cercle de rayon infini dans le sens
   négatif.

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Exemple

T
S
E
-
Tracer le diagramme de Bode et le lieu de
transfert complet sachant que En déduire les
conditions de stabilité.

• Pour Kgt0
• K petit 1 tour autour du point critique ? SA
  Instable
• K moyen 1 tour autour du point critique ? SA
  Stable
• K grand 1 tour autour du point critique ?
  Instable

• Pour Klt0 ? symmétrie par rapport à laxe des
  imaginaires
• 0 tour autour du point critique ? SA Instable

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Cas particulier Le Critère de Revers
Si T(p) na pas de pôles à partie réelle
positives ? le système est stable en boucle
ouverte. Donc dans ce cas le lieu de transfert
complet ne doit pas entourer le point
critique. On peut remarquer que pour les systèmes
que nous avons quand ? ?, ?T? ? et ?T ?. Ainsi
le lieu de transfert classique tourne dans le
sens rétrograde dans le plan de Nyquist quand ?
?, il suffit donc de constater que le lieu de
transfert classique ne doit pas crocheter le
point critique (-1). Le critère du revers est
utilisable dans toutes les représentation
Bode
Plan complexe Nyquist
Black
gain
Im
Re
-1
OdB
-180
phase
-180
État du système
Stable Juste Oscillant Instable
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Degré de stabilité (système stable en boucle
ouverte)
La stabilité est certes un point très important
de la théorie des systèmes linéaires mais il ne
faut pas oublier que la stabilité nest pas une
condition suffisante pour que les performances du
système soient satisfaisantes les oscillations
transitoires mal amorties dun système stable
mais trop proche de la limite dinstabilité
peuvent être intolérable. Autrement dit la
stabilité au sens mathématique nentraîne pas
nécessairement une bonne stabilité. Une bonne
stabilité se mesure par la distance du lieu de
transfert au point critique. Pour quantifier
(chiffrer) cette distance on utilise soit la
notion de marge de gain et marge de phase, soit
le facteur de résonance Q.
a Marge de gain et marge de phase (?G et ??)
(à partir de de la FTBO)
Bode
Plan complexe Nyquist
Black
Im
gain
Re
A
O
-1
OdB
??
-180
?G
??
phase
?G
-180
?G-20.log(OA) gt0 car OA lt 1
Pour un système asservi on prend comme ordre de
grandeur
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En prenant ?G gt 10 et ?? gt 45 on assure dune
part une garantie suffisante par rapport à des
variations de gain imprévue en BO, ou par rapport
à des retards parasites dont on a pas tenu
compte, et dautre part une amélioration des
critères de performances a travers des
transitoires mieux amortis.
b Facteur de résonance Q (Dans le plan de Black)
Plus la FTBO T(p) dun système passe près du pont
critique, plus QAumax-Au(0) est élevé, par
conséquent moins le régime transitoire du système
est amorti. Donc on interdira la FTBO de daller
au delà dun certain contour de manière à
diminuer le gain maxi en boucle fermé (Aumax) et
de la même manière garantir un amortissement
suffisant.
gain
Aumax
Aumax
Q
Au(0)
13
IV-4 Précision dun système asservi, immunité aux
perturbations
1 Généralités



La consigne e(t) constitue un modèle pour la
sortie s(t) dont r(t) est limage fournie par le
capteur de transmittance H(p).Rappelons que dans
la majorité des cas, le capteur est beaucoup plus
rapide que le système et en conséquence on peut
le considérer comme un simple facteur déchelle ?
HCte. Dans la pratique, il peut se passer
G2 (p)
G1(p)
S(p)
E (p)
-
R(p)
H(p)

• Lentrée varie le système fonctionne en suiveur
  et réalise la fonction asservissement
• Lentrée est constante mais un signal de
  perturbations peut venir se superposer au signal
  utile en un point quelconque de la chaîne. Le
  fait de maintenir ?0 malgré cette perturbation
  impose que la système fonctionne en régulateur

En fait, les deux sources derreur sont présentes
simultanément, mais en vertu du théorème de
superposition, on peut écrire
En effet si on calcul lerreur du schéma
ci-dessus on observe bien les deux contributions
Donc toute linformation sur la précision dun SA
est contenu dans ?(t), mais le problème est que
?(t) dépend de e(t). Aussi la précision dun SA
sera caractérisée par certaines valeurs prises
par ?(t) pour des entrées particulières
14
2 Précision statique et dynamique
Prenons lexemple dun SA soumis à un échelon. On
peut définir la précision statique comme
Pour ce qui est de la précision dynamique, elle
est reliée à la partie transitoire de r(t) donc
laire hachurée
3 Précision statique et erreurs stationnaires
a Définitions des erreurs stationnaires dordre
n

• n1 (La consigne est léchelon)

Erreur de position
Erreur de vitesse ou de poursuite

• n2 (La consigne est la rampe)

Erreur daccélération

• n1 (La consigne est une parabole)

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b Erreurs stationnaires relative à la consigne
A laide du théorème de la valeur finale
On sait que quand
Deux cas possibles
?0n ? ?01 ?02 ?03
0 ? ?
1 0 ?
2 0 0
3 0 0 0
En résumé
1 Pas de pôle à lorigine (?0)
2 Pôle à lorigine dordre ?
Conclusion Il faut augmenter le gain statique
en boucle ouverte (K) et créer des pôles à
lorigine.
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c Erreurs stationnaires relative aux
perturbations
A laide du théorème de la valeur finale
On sait que quand
Deux cas possibles
1 Pas de pôle à lorigine (?0 et ?0)
En résumé
?0n ? ?01 ?02 ?03
0 -? -?
?0 -? -?
? 1 0 -?
? 2 0 0
2 Pôle à lorigine dordre ? et ?

• ? 1

Conclusion Il faut augmenter le gain statique
et créer des pôles à lorigine dans la partie G1.
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4 Précision dynamique
Elle sera dautant meilleure que la bande
passante (BP) sera élevée en boucle fermée donc
en boucle ouverte. Quelques caractéristiques
liées à la précision dynamique
La précision dynamique est contenu dans la partie
transitoire de ?(t) lorsque la consigne est un
échelon.
On peut quantifier la précision dynamique par
minimum
On peut aussi utiliser le temps de réponse à 5
(ou x) . En fait toutes les quantifications
varient de façon monotone avec laire hachurée
elles dépendent de deux paramètres dynamiques
essentiels de la transmittance Fu(p)
La fréquence caractéristique ?c pour un 1er
ordre on a pour un 2ème ordre on a
Le facteur de résonance Q (Black-Nichlos) pour
un 2ème ordre on a
?c est proportionnelle à ?0 à Q constant
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• Quand ?0 ? à Q constant, il est évident que la
  surface hachurée diminue continûment, donc la
  précision dynamique saméliore de façon monotone
  avec ?0 (donc avec ?c).
• Quand Q ? à ?0 constant, la surface hachurée
  passe par un minimum, donc il existe une valeur
  optimum de QQo

Citons deux estimations de Qa qui définissent en
général la fenêtre de réglage de Q

• Le temps de montée à 5 qui correspond pour un
  2nd ordre à
• La minimisation de lintégrale
• pour un 2nd ordre

19
(No Transcript)
20
IV-5 Synthèse des asservissements linéaires

La synthèse dun système asservi se ramène à la
détermination de C(p) de manière à ce que le SA
satisfasse le cahier des charges portant sur


C(p)
G2 (p)
G1(p)
S(p)
E (p)
-
R(p)

• La précision statique
• La précision dynamique
• Limmunité aux perturbations

H(p)
Deux méthodes pour résoudre ce problème
La méthode fréquentielle elle consiste à
utiliser directement les résultats obtenu dans la
parti analyse établissant les relations entre les
propriétés en BO et en BF. On cherche à rendre
compte du cahier des charges en imposant des
contraintes sur la FTBO à laide C(p) C(p)
joue le rôle dorgane de réglage La méthode du
modèle elle consiste à se donner la fonction de
transfert finale en BF. On détermine alors C(p)
en fonction des caractéristiques du système
(zéros et pôles), de la faisabilité de C(p) et du
modèle choisi pour F ou Fu pour garantir le
cahier des charges.
Pas abordée dans ce cours
1 Problème des perturbations
Leffet permanent des perturbations est annulé en
annulant ?0n ?01 0 leffet dune
perturbation Cte est nul en régime
permanent. ?02 0 (bien sur ?01 0) leffet
dune perturbation rampe na pas deffet sur la
sortie en régime permanent. etc....
21
Si la perturbation nest pas mesurable pas de
solution Si la perturbation est mesurable, alors
il est toujours possible dannuler formellement
ses effets en intercalant un correcteur C1(p) tel
que
H1 capteur mesurant le bruit
C1(p)
H1 (p)

-



G2 (p)
G1(p)
C(p)
S(p)
E (p)
-
R(p)
H(p)
Cependant la réalisation pose un problème. En
effet G1 est généralement un passe bas , donc
C1 nest pas réalisable. Cependant on peut
conserver légalité sur une bande limitée
englobant la bande fonctionnement du SA. Dautre
part, il faut que G1 soit à phase minimale (pas
de zéros à partie réelle positive), sinon C1
aurait des pôles à partie réelle positive et
serait par suite instable donc irréalisable
2 Méthode fréquentielle et commande PID
(Proportionnelle, Intégrale, Dérivée) (Stable en
BO)
C(p) va servir à corriger

• Linstabilité
• Les défauts de précision
• La lenteur
• Un dépassement excessif

Rappels
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a Commande proportionnelle (P)
En augmentant k on translate verticalement le
lieu de transfert en BO dans le plan de Black.
Tc(p)
2.3 dB
On augmente donc le gain statique, par la même
occasion la précision statique mais en contre
partie on augmente linstabilité en se
rapprochant du contour Q2.3dB, ou bien on
diminue ?? et ?G
-180
Tnc(p)
Il est nécessaire après avoir réglé k de déformer
le début du lieu de transfert sans toucher la
partie proche de la résonance
Correcteur PI
b Commande proportionnelle et intégrale (PI)
gain
Bode
Black
20Log(k)
phase
-180
-90
-90
23
Rôle Créer un pôle à lorigine supplémentaire
(ce qui permet dannuler une erreur stationnaire
supplémentaire), sans changer le lieu de
transfert en haute fréquence
Effets Effets
Avant Après
Pôle dordre ? à lorigine Pôle dordre (?1) à lorigine

Exemple de réalisation
C
R2
R1
?
-
u

Tc(p)
2.3 dB
Pour le signe de k on utilisera en plus un
inverseur
-180
Choix de k On règle le facteur de résonance
avec k.
Tnc(p)
Choix de ?i Il faut que de sorte
que le recul de phase supplémentaire ne diminue
pas la marge de phase. En général on prend
Remarque Pour annuler plusieurs erreurs
stationnaires on peut cascader plusieurs PI.
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c Commande proportionnelle et dérivée (PD)
Ce correcteur permet dans un premier temps
daméliorer lerreur stationnaire par k, mais
surtout il permet daméliorer la précision
dynamique par lintermédiaire de ?d
20Log(k)
les points du lieu de T(p) seront déplacés vers
la droite et le haut.

• Augmentation de la marge de phase (éloignement du
  pont critique)
• Augmentation de la BP ? rapidité

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Choix de ?d Le correcteur PD est utilisé
lorsque le gain statique conduit à un mauvais
degré de stabilité, donc on place en général
Exemple de réalisation
Pour le signe de k on utilisera en plus un
inverseur
Attention à la BP de lampli
d Commande proportionnelle, intégrale et
dérivée (PID)
Obtention et Réglage du PID

• Il peut être obtenu en plaçant en cascade un PI
  et un PD. Régler ensuite le PI et le PD selon les
  remarques précédentes

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• Le PID existe dans le commerce avec une
  transmittance standard, où k, ?i et ?d sont
  réglés séparément.

R1
R2
?
-
u

Ci
Ri
Sommateur de gain
Ri
R1
-

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• Méthode de Ziegler NicholsCette méthode fournit
  lexpression de k, ?i et ?d en fonction de deux
  paramètres obtenus après une identification du
  processus, cette méthode nest utilisable que
  pour les systèmes apériodiques en BO.

Identification en BO réponse à l échelon- la
pente a de la tangente au point dinflexion - le
temps Tr
Identification en BF Si la branche ne peut être
ouverte On réalise lidentification en BF en
utilisant une commande proportionnelle les deux
paramètres sont alors obtenus pour le gain k0
pour lequel le système est Juste Oscillant (J.O)
et la période T0 des oscillations.
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Critères de Ziegler Nichlos
Correcteur utilisé Réglages du correcteur Réglages du correcteur
Correcteur utilisé à partir de a et Tr système apériodique en BO à partir de k0 et T0 identification en BF
P
PI
PID