RUTEO DE VEH

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RUTEO DE VEHÍCULOS

• IMPORTANCIA el costo de transportación
  constituye de 1 a 2 tercios del costo logístico
  total.

1
2
RUTEO DE VEHÍCULOS

• El tiempo que los bienes se encuentran en
  tránsito determina el número de envíos que un
  vehículo puede realizar en un período de tiempo y
  el costo de transportación total para todos los
  envíos

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BENEFICIOS

• Reducir el costo de transporte es de interés de
  la empresa (micro) y del país (macro)
• Mejor utilización de recursos y de personal
• Mejora el ambiente
• Menor gasto energético
• Reduce problemas de tránsito

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OBJETIVO

• EL OBJETIVO EN EL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHÍCULOS
  ES LA MINIMIZACIÓN DE TIEMPO, DINERO Y DISTANCIA
  DADOS CIERTOS PARÁMETROS RELEVANTES
• Minimizar la distancia recorrida en
• Entrega de órdenes semanales o diarias a clientes
  dispersos en una zona geográfica
• Entregas a partir de un Centro de Distribución
• Uso de un solo vehículo

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RESTRICCIONES

• CAPACIDAD DE LOS VEHÍCULOS
• LÍMITE DEL TIEMPO TOTAL QUE UN VEHÍCULO OCUPA EN
  LA RUTA
• ASIGNACIÓN DE UN CIERTO NÚMERO DE VEHÍCULOS A
  CIERTOS CLIENTES
• VENTANAS DE TIEMPO

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CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS

• RUTEO DE UN ORIGEN A UN DESTINO
• RUTEO DE MÚLTIPLES ORÍGENES Y DESTINOS
• RUTEO CON VARIOS PUNTOS Y EL MISMO ORIGEN Y
  DESTINO (ROUND-TRIP)
• RUTEO Y PROGRAMACIÓN

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UN ORIGEN A UN DESTINO

• PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO.
• El camino mas corto de un origen a diferentes
  destinos
• ALGORITMO RUTA MÁS CORTA (DIJKSTRAS)
• EJEMPLO DE PLANTA A AGENCIA(s)

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EJEMPLO

• Un camión debe ser enviado de Guadalajara a
  Mérida. Se tienen diferentes trayectos posibles
  pasando por ciudades intermedias. El objetivo es
  minimizar la distancia recorrida. Se conoce
• Las ciudades intermedias posibles
• La distancia entre cada ciudad posible

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ORIGEN Y DESTINOS MÚLTIPLES

• PROBLEMA DE FLUJO EN REDES, DE TRANSPORTE, DE
  ASIGNACIÓN
• ALGORITMOS FLUJO EN REDES, PROGRAMACIÓN LINEAL
  ENTERA Y/O BINARIA.
• EJEMPLO ENTREGA DE PLANTAS A AGENCIAS

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EJEMPLO

• Una empresa tiene tres plantas desde las cuales
  debe abastecer del mismo producto a tres clientes
  .Se conoce la demanda de cada cliente y la oferta
  de cada planta.
• Oferta P1400 ton, P2700, P3500
• Demanda C1600 ton, C2500, C3300
• Costo transportacióndesde P14, 7, 6 desde
  P25, 5, 5 desde P39, 5, 8 resp.

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EJEMPLO

• LOS COSTOS DE TRANSPORTACIÓN SON EN DÓLARES POR
  TONELADA
• SOLUCIÓN 400 TON DE P1 A C1
• 200 TON DE P2 A C1
• 200 TON DE P2 A C2
• 300 TON DE P2 A C3
• 300 TON DE P3 A C2
• COSTO6,600

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ROUND-TRIP

• PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO
• UN CAMINO HAMILTONIANO
• PROBLEMA DIFÍCIL SI EL NÚMERO DE PUNTOS A TOCAR
  ES GRANDE
• SE APLICAN HEURÍSTICAS
• encontrar un camino inicial con el método del
  vecino mas cercano
• mejorar el camino eliminando cruces

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EJEMPLO
C
31
D
34
26
48
23
A
67
34
17
34
W
B
47
SOLUCIÓN W ---D----C----B----A
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RUTEO Y PROGRAMACIÓN

• RUTEO CON RESTRICCIONES
• En cada parada hay un volumen a cargar y/o
  descargar
• Múltiples vehículos con capacidades distintas
• Tiempo total permitido limitado a horas
  laborables
• Ventanas de tiempo para entrega en cada punto
• Carga en una ruta solo después de descarga
• Tiempo de descanso limitado en tiempo y horario

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ALGUNOS PRINCIPIOS

• Cargar vehículos con el volumen correspondiente a
  los sitios mas cercanos
• Separar los sitios en cluster independientes y
  programar cada cluster por separado
• Comenzar la ruta en el punto mas alejado del
  origen al cluster
• Evitar cruces en la ruta
• La ruta mas eficiente es la que realiza el
  vehículo de mayor carga

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ALGUNOSPRINCIPIOS

• La carga y la descarga debe mezclarse en lugar de
  dejar la carga para el final
• Los puntos aislados de los cluster que requieren
  poco volumen deben alcanzarse con rutas
  alternativas en vehículos más pequeños
• Evitar ventanas de tiempo muy restringidas

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Sea GN,A,C una red donde N es el conjunto de
  nodos, A son los arcos y C(cij) es la matriz de
  costos (o distancia) de mover un vehículo desde
  el nodo i al nodo j. El problema del Agente
  Viajero consiste en encontrar un ciclo
  Hamiltoniano en la red, esto es, un ciclo que
  pasa por todos los nodos exactamente una vez.

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO (PL entera)

• (INEFICIENTE PARA PROBLEMAS GRANDES)
• xij n número de nodos
• min ?? cij xij
• s.a Cada ciudad j debe ser visitada una sola vez
  ?xij1 para j1,,n
• Cada ciudad i debe dejarse una sola vez
  ?xij1 para i1,,n
• No debe haber ciclos en ningún
  subconjunto S de ciudades que incluya la
  ciudad origen ?xij? S-1
• . indica la cardinalidad del conjunto
• .

1 si el circuito pasa por el arco (i,j)
0 en caso contrario
i?j
j?i
i,j?S
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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Las restricciones sobre no formación de ciclos
  son del orden de 2n, pero pocas (?n) son activas
  en el óptimo lo que facilita un proceso
  iterativo. Ejemplo para 2000 ciudades se ha
  encontrado el óptimo con esta formulación (varias
  horas de computadora)
• Una forma alternativa uj?ui1-(1-xij)n,
  j2,..,n j?i
• requiere del orden de n-1 restricciones. Pero
  es poco eficiente para problemas grandes.
• uj el número secuencial de la ciudad j en el
  camino

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Secuenciación de trabajos como PAV

• El problema de secuenciar n trabajos en una
  máquina puede plantearse como un problema de
  agente viajero con n1 ciudades las ciudades
  i1,,n corresponden a los trabajos i y la ciudad
  0 es el inicio del trayecto. La distancia entre
  las ciudades j y k es el tiempo de arranque para
  j,k?1. La distancia entre la ciudad 0 y k es el
  tiempo de preparación para el primer trabajo (k).

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Secuenciación de trabajos como PAV

• Minimizar el tiempo total de completar todos los
  trabajos (makespan) es equivalente a encontrar el
  mínimo ciclo en la red
• Para estos problemas existen heurísticas llamadas
  reglas de despacho o de secuenciación, por
  ejemplo secuenciar primero el trabajo con menor
  tiempo de arranque. Esta regla es equivalente a
  la heurística del vecino más cercano

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• En la práctica puede ser importante obtener una
  buena solución en lugar del óptimo (una solución
  en pocos segundos o minutos en lugar de una mejor
  solución en horas)
• Puede usarse Branch and Bound para resolver el
  problema. Se resuelve el problema relajado (sin
  la condición de que no haya ciclos) que es un
  problema de asignación.

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Una solución factible para el problema puede ser
  una solución óptima para el problema de
  asignación pero que contenga subciclos. Un
  subciclo es un ciclo que no contenga todos los
  nodos de la red. En la red
• la solución x15x21x34x43x521 tiene dos
  subciclos

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Si es posible eliminar todas las soluciones
  factibles del problema de asignación que
  contengan subciclos y se resuelve este problema
  de asignación, se obtendrá la solución óptima del
  problema del agente viajero. No es fácil hacerlo.
  Se puede hacer con B and B ramificando de manera
  de eliminar los subciclos. Por ejemplo en el caso
  anterior ramificar con x340 o c34M

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Cuando no se puede encontrar la solución óptima
  en un tiempo razonable usamos una Heurística
• Una Heurística es un método que mejora la
  solución obtenida pero no encuentra
  necesariamente el óptimo. En problemas prácticos
  (por ej. secuenciación de operaciones en máquinas
  controladas por computadoras) las heurísticas
  pueden encontrar soluciones con un costo no mayor
  al 2 del costo del óptimo.
• La eficiencia de una heurística se puede medir
  por
• desempeño garantizado
• análisis probabilístico
• análisis empírico

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Desempeño garantizado es una cota del peor de
  los casos que garantiza que tan lejos de la
  solución óptima podemos encontrarnos
• Análisis probabilístico se supone que la
  localización de las ciudades sigue una
  distribución de probabilidad conocida. Por
  ejemplo que las ciudades son v.a. uniformemente
  distribuídas en un cuadrado unitario para cada
  heurística se calcula
• Longitud esperada del camino encontrado
  por la heurística
• Cuanto más cerca de 1 esté el cociente
  mejor es la heurística
• Análisis empírico la solución obtenida por la
  heurística se compara con la solución óptima de
  un número de problemas con solución conocida

Longitud esperada del camino óptimo
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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Un proceso de solución típico para este problema
  sigue los siguientes pasos (hay varios
  algoritmos para cada paso)
• Crear un subciclo inicial
• Convex Hull
• Sweep (barrido)
• Vecino más cercano
• Insertar nodos restantes
• El más barato
• El más cercano
• El más lejano
• Mejorar el circuito
• Algoritmos de intercambio 2-opt, 3-opt, etc

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PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Las heurísticas pueden consistir en
• Construir un subciclo inicial y/o insertar puntos
  restantes si es necesario
• Mejorar un ciclo existente
• Una combinación de los dos anteriores.
  Procedimientos Compuestos

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REGLAS MIOPES Y BUSQUEDA LOCAL

• Las heurísticas pueden también clasificarse en
• REGLAS MIOPES la solución se construye de manera
  progresiva. En cada iteración se tiene una
  solución parcial y se extiende esta solución
  seleccionando una de las posibles opciones. Solo
  considera la mejor opción en el
• paso siguiente sin tomar en cuenta lo ocurrido
  antes.Ejemplo la heurística del vecino más
  cercano
• BUSQUEDA LOCAL busca una mejor solución en un
  entorno de la solución actual. Ejemplo. 2-opt,
  3-opt. Recocido Simulado (Simulated Annealing),
  Búsqueda Tabú (Tabu Search), Algoritmos Genéticos
  

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Subciclo inicial Convex Hull

• La envoltura convexa (Convex Hull) es el convexo
  más pequeño que contiene a todos los puntos

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ALGORITMO INCREMENTAL

• Agrega puntos de uno en uno y actualiza la
  envolvente.
• Si el nuevo punto está en el interior no hace
  nada, en caso contrario se eliminan todos los
  arcos que ese punto puede ver
• Agregar dos arcos que conecten el nuevo punto con
  el resto de la envolvente
• Repetir el proceso hasta que no queden puntos
  fuera

32
(No Transcript)
33
Gift Wrapping

• Encontrar el punto A (con la menor coordenada en
  Y) como punto inicial
• Encontrar el punto B tal que todos los puntos
  estén a la izquierda del arco AB (por escaneo de
  todos los puntos)
• Encontrar C tal que todos los puntos estén a la
  izquierda del arco BC
• Repetir el procedimiento

34
(No Transcript)
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Reglas de Decisión

• Los algoritmos anteriores requieren determinar
  si un punto está a la izquierda de un arco o si
  un punto puede ver un arco.
• Las pruebas son iguales y se pueden implementar
  calculando el área de un triángulo. El área del
  triángulo PoP1P2 donde Po(xo,yo), P1(x1,y1),
  P2(x2,y2) es
• xo x1 x2
• 1/2 yo y1 y2
• 1 1 1

Si el área es distinta de cero P2 está a la
izquierda de PoP1 (GW) si el área es distinta
de cero y PoP1 es un arco de la envoltura P2
puede ver a PoP1 Area positiva o negativa indica
que nos movemos en el sentido contrario al reloj
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VECINO MÁS CERCANO

• Paso 1 Comenzar con cualquier nodo como nodo
  inicial
• Paso 2 Encontrar el nodo no visitado más cercano
  al último nodo visitado y agregarlo al camino.
• Paso 3 Repetir el Paso 2 hasta que todos los
  nodos de la red estén contenidos en el camino.
  Unir el primer nodo con el último visitado.

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Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones

• El método es de orden O(n2), es decir el número
  de iteraciones requeridas no es mayor a n2

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MÉTODOS PARA INSERTAR PUNTOS LIBRES

• Un método de inserción toma un subciclo en la
  iteración k y determina cuál de los restantes n-k
  nodos debe ser insertado
• (paso de selección) en el circuito y entre que
  nodos (paso de inserción).
• El más cercano
• El más barato
• El más alejado

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EL MÁS CERCANO

• Paso 1 comenzar con un subgrafo consistiendo
  solo del nodo i
• Paso 2 encontrar el nodo r tal que cir es mínimo
  y formar el subciclo i-r-i.
• Paso 3 (Selección) a partir de un subciclo,
  encontrar el nodo r que no está en el subciclo y
  que esté más cerca de cualquier nodo j del
  subciclo (min crj).
• Paso 4 (Inserción) encontrar el arco (i,j) que
  minimiza circrj-cij. Insertar r entre i y j
• Paso 5 Si todos los nodos han sido agregados
  parar, sino regresar al Paso 3.

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Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones
Número de iteraciones no mayor a n2.
41
EL MÁS BARATO

• Paso 1 comenzar con una subgráfica que contiene
  solo el nodo i
• Paso 2 encontrar el nodo r tal que cir es mínimo
  y formar el sub-ciclo i-r-i
• Paso 3 encontrar el arco(i,j) en el sub-ciclo
  que no contenga a r tal que circrj-cij sea
  mínimo. Insertar el nodo r entre i y j
• Tiene el mismo desempeño que el anterior y es del
  orden

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EL MÁS LEJANO

• Paso 1 comenzar con un subgrafo que contenga
  solo el nodo i
• Paso 2 encontrar el nodo r tal que cir se máximo
  y formar el subciclo i-r-i.
• Paso 3 (Selección) dado un subciclo, encontrar
  el nodo r que no esté en el subciclo y lo más
  alejado de cualquier nodo en el subciclo (max
  crj).
• Paso 4(Inserción) Encontrar el arco (i,j) en el
  subciclo que minimice circrj-cij. Insertar r
  entre i y j
• Paso 5 si todos los nodos están en el ciclo
  parar, sino repetir el paso 3.

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Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones

• No más de n2 iteraciones

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Método de ahorros de Clark and Wrigth

• Paso 1 seleccionar cualquier nodo como el nodo
  central y notarlo como nodo 1.
• Paso 2 Calcular ahorros sijc1ic1j-cij para
  i,j2,3,....,n
• Paso 3 ordenar los ahorros del mayor al menor
• Paso 4 comenzar por el primero de la lista y
  moverse hacia abajo formando subciclos más
  grandes ligando nodos i y j apropiados
• Paso 5 repetir hasta que se tenga el ciclo.

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Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones

• No se conoce el peor de los casos. Para una
  versión modificada donde se selecciona el mejor
  ahorro para el último nodo agregado, el desempeño
  es tal que la razón está acotada por una función
  lineal de
• log2 (n). Es del orden O(n2 log2 (n))

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Un ejemplo

• La localización de los puntos es la siguiente
• X Y
• 1 0 0
• 2 100 600
• 3 400 400
• 4 500 700
• 5 900 400
• 6 800 900

USAR DISTANCIA EUCLIDEANA