M

1
Método de Volume de Controle

• Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
• 2PFG/DE/FEM/UNICAMP

2
BIBLIOGRAFIA

• Suhas V Patankar Numerical Heat Transfer and
  Fluid Flow
• Versteeg H. K. and Malalasekera W An
  introduction to computational fluid dynamics The
  finite volume method

3
Forma geral da equação de transporte

• t é o tempo
• r é a densidade
• V é o vetor velocidade
• f é a propriedade a ser conservada
• G é o coeficiente de difusão de f
• S representa os termos fontes

4
Quantidade de movimento

• f U, V, W e G r.(nL nT)
• nL e nT são as contribuições das viscosidades
  cinemáticas de origem Laminar e Turbulenta
• S - Grad(P) Termos gravitacionais Atrito
  com paredes Força centrífuga Força Coriolis
  Termos de empuxo ...

5
Conservação de energia - Entalpia

• f h e G r.(nL /PrL) (nT /PrT)
• onde PrL e PrT são os números de Prandtl de
  origem Laminar (nL/aL) e Turbulenta (nT/aT)
• S (trabalho compressão) DP/dt (dissipação
  viscosa) 2mSS fontes/sorvedouros de calor
  condições de contorno (entradas, paredes e
  saídas) do domínio

6
Conservação de espécie química

• f C e G r.(nL /PrL) (nT /PrT)
• C é fração molar, de massa ou volume de uma
  espécie química
• PrL e PrT são os números de Prandtl devido a
  transferência de massa de origem Laminar (nL/DL)
  e Turbulenta (nT/DT)
• Conhecidos por número de Schmidt onde D é o
  coeficiente de difusão de massa.
• S 0 fontes/sorvedouros da espécie química
  por meio de reações químicas (combustão) empuxo
  forças devidas a gradientes térmicos (efeito de
  Soret) ...

7
Equações auxiliares

• São utilizadas para definir
• Propriedades Termodinâmicas
• densidade, entalpia, entropia, etc
• Propriedades de Transporte
• viscosidade, difusividade, condutividade, etc
• Termos Fonte
• leis de cinética química, dissipação viscosa,
  Coriolis, absorção de radiação, etc
• Termos artificiais
• Falso transiente para relaxação e condições de
  contorno
• Todos os termos acima dependem de uma ou mais
  variáveis e/ou das equações que estão sendo
  resolvidas
• Quanto maior o número de equações auxiliares,
  maior o grau de não-linearidade do sistema.

8
Equação de transporte e MVF

• As equações de conservação não são resolvidas
  diretamente
• São discretizadas na forma de um sistema de um
  sistema algébrico de equações lineares
• Esse sistema representa o balanço dos fluxos e o
  armazenamento de uma propriedade (massa, momento,
  energia, etc).
• As equações algébricas são obtidas a partir da
  integração das eqs. de conservação
• São necessárias interpolações para se obter
  valores das grandezas escalares e vetoriais
• Não são utilizadas expansão em série de Taylor
  (diferenças finitas) nem princípios variacionais
  (elementos finitos)

9
Método dos Volume Finitos

• O espaço é representado por diversos V.C.
  adjacentes que compõem todo domínio.
• As equações de conservação são integradas para
  cada V.C. para se chegar a uma equação algébrica
  que contem os valores de f na grade.
• A equação discretizada expressa o princípio de
  conservação para o volume finito da mesma maneira
  que a equação diferencial expressa-o para um
  volume de controle infinitezimal.

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Conseqüências do MVF

• A equação algébrica resultante implica que a
  conservação é satisfeita para cada V.C. do
  domínio.
• Conserva o balanço das propriedades em todo o
  domínio
• Isto se aplica para grades com qualquer número de
  pontos (volumes), não somente para grades
  refinadas.
• Por este motivo diz-se que o método dá ao modelo
  uma forte base da física do problema
• Uma solução convergida implica em uma solução que
  satisfaz os princípios de conservação que regem
  as equações.

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Forma de Fluxo

• A forma geral da equação de conservação pode ser
  escrita na forma de fluxo como
• f sendo um escalar ? J um vetor
• f sendo um vetor ? J um tensor

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Integrando a Eq. de Conservação

• A equação de transporte pode ser integrada no
  V.C. com o auxílio do Teorema de Gauss

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Célula de cálculo 2D

• Considerando uma célula de cálculo 2D como
• Pode-se integrar as equação de conservação na
  forma de fluxo

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Integrando

• Assumindo um perfil de interpolação para J no VC
  constante pode-se calcular as integrais acima
  como

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Forma discretizada 2D

• As EVFs podem ser re-escritas na forma de um
  sistema de equações algébricas
• Ou na forma de resíduo

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Transporte de um escalar

• Considerando somente difusão pura
• Condução por exemplo
• O termo de fluxo para esse caso pode ser escrito
  como

17
(No Transcript)
18
Integrando no VC
19
Buscando os as
20
Equação discretizada
21
Forma geral da eq. discretizada

• Note que todos os termos da equação algébrica
  discretizada podem ser colocados numa forma geral
  do tipo
• T é um tipo geométrico área ou volume
• C é um coeficiente que pode estar associado a um
  coeficiente de difusão e fatores geométricos da
  malha
• V é o valor que a variável vizinha ao ponto P
  assume
• fP é o valor da variável no ponto P

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Convecção e difusão de um escalar

• Nesse caso o fluxo seria escrito como

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(No Transcript)
24
Integrando no VC (f T)
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Fluxo de massa

• Os fluxos de massa são calculados por
• Para cada face do volume de controle

26
Coeficiente de difusão

• E o coeficiente de difusão por

27
Coeficientes as

• Definindo coeficientes as que transmitem os
  efeitos convectivos, difusivos e transientes às
  EVF

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Fluxos de massa e coeficientes de difusão

• Os fluxos de massa são calculados por
• E o coeficiente de difusão por

29
Termo

• Realiza uma ponderação entre a difusão e a
  convecção.
• Existem diversas proposições de se realizar esta
  ponderação que originaram diferentes esquemas de
  discretização
• Os diversos esquemas são obtidos com valores
  apropriados de a

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Hibrido

• É o esquema padrão do PHOENICS e é acesso pela
  variável DIFCUT no grupo 8
• É obtido com a ½
• garante que o efeito da difusão é nulo se o
  Peclet da célula for gt 2

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Upwind

• É obtido com a ½
• Os fluxos difusivos contribuem independentemente
  do valor de Peclet

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Observações

• Os coeficientes as são aproximados
• Não se conhece a priori os campos reais de
  velocidade e outros escaleres
• São calculados e corrigidos posteriormente, sendo
  que as correções tendem a zero com convergência.
• Os acoplamentos aumenta com
• Aumento da velocidade, da área da face, da
  densidade do fluido e do coeficiente de difusão
• Os acoplamentos diminuem com
• Aumento da distância internodal
• Os coeficientes são SEMPRE POSITIVOS

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Forma geral

• A contribuição de um nó vizinho ao ponto P é dada
  pelo produto de seu coeficiente e da diferença
  entre o nó e o vizinho, por exemplo
• que também pode ser colocado na forma geral
  distinguindo-se os coeficientes de difusão e
  convecção, Cf , CP

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S T.C.(Value-f)
35
Acoplamento pressão e velocidades

• Nova situações surgem para a eq. conservação de
  movimento
• f é um vetor e J passa a ter uma natureza
  tensorial
• Isto faz surgir três equações de conservação,
  uma para cada direção.
• A determinação dos fluxos requer cuidados
  especiais
• Para a estabilidade, as velocidades são
  armazenadas nas faces dos volumes de controle.
• O deslocamento das malhas requer um número extra
  de interpolações lineares para se determinar as
  propriedades nas faces e os coeficientes
• É necessário se conhecer a pressão!

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Determinação da pressão

• Uma dificuldade extra na necessidade de se
  determinar a pressão
• Os gradientes de pressão presentes nas equações
  de momento agem como termos fontes e são
  necessários para se calcular o momento
• Não há porém, uma equação óbvia para determinar a
  pressão.

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SIMPLE Semi Implicit Pressure Linked Equation

• A equação da pressão não é resolvida diretamente,
  mas suas correções.
• O algorítmo SIMPLE é um algorítmo do tipo
  Preditor/Corretor

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(No Transcript)
39
Correção da pressão

• Velocidade e pressão são determinados em duas
  etapas
• 1a valores de U são preditos porém imprecisos
  pois não satisfazem a massa
• 2a os valores de P e U são corrigidos para
  satisfazer a massa.
• Isto garante que em cada iteração os campos
  resultantes satisfazem a massa.

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Fase preditora

• Com um campo inicial aproximado de U e P,
  pode-se calcular os coeficientes e resolver as
  equações de conservação de quantidade de
  movimento para obter um campo de velocidade
• Esse campo não satisfaz a massa, somente a
  conservação de quantidade de movimento

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Fase corretora

• Os valores de U e P são corrigidos para se
  obter novos valores que satisfaça a conservação
  de massa
• Os valores para as novas variáveis serão
  calculados como
• Ui Ui Ui P PP
• As equações de U e P são obtidas com auxílio da
  equação de conservação da massa

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Correção das velocidades

• A equação da massa para a U e U
• Velocidade em função da pressão

43
Correção da pressão

• Substituindo a equação para a correção da
  velocidade na conservação de massa

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SIMPLE passo a passo

1. Campo Inicial de Pressão e Velocidades
2. Determine os coeficientes as
3. Resolva o campo imperfeito das velocidades,
   U, baseado nas estimativas iniciais de P
4. Resolva a equação de correção da pressão, P
5. Atualize (corrija) os valores de pressão e de
   velocidades para satisfazer o balanço de massa em
   cada volume
6. Retorne passo (2) utilizando valores de P e U
   corrigidos em (5)

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Campo real

• O campo real será obtido como
• U U U V V V P PP

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Solução numérica das equações

• Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
• 2PFG/DE/FEM/UNICAMP

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Equações de conservação

• Uma equação algébrica e linear é criada para
  cada variável e para cada volume de controle da
  malha
• O conjunto de equações aplicadas a todos os
  volumes de controle geram um sistema de equações
  lineares

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Controle de solução

• O PHOENICS pode resolver o sistema linear
  resultante de diversas formas
• Iremos apresentar as possíveis formas

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Método Point By Point (PBP)

• Calcula o valor novo (n) por meio da média dos
  valores dos vizinhos obtidos no tempo anterior
  (o)
• Os valores calculados são atualizados após ser
  concluída a varredura do slab (plano XY
  visitado).

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Características e aplicações (PBP)

• PBP é útil para sistemas fortemente acoplados ou
  não-linearidades severas
• Baixa taxa de variação na variável de uma
  varredura para outra.
• Ele é frequentemente utilizado para velocidades
  especialmente quando os efeitos viscosos não são
  importantes.
• Em outras circunstâncias, PBP conduz a um tempo
  de processamento longo devido a baixa taxa de
  convergência. A informação viaja um intervalo da
  grade por iteração.

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Método Slabwise

• É o método default do PHOENICS para escalares e
  velocidades.
• Utiliza uma extensão do método TDMA (stone ou
  gradiente conjugado)
• Resolve simultaneamente todos valores num plano
  (XY) que pertence a uma dada posição IZ.
• Ele assume que os valores pertencentes aos
  volumes adjacentes são aqueles de sua última
  iteração.

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(No Transcript)
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Características Slabwise

• A informação é transmitida de uma só vez em todo
  o slab e portanto sua taxa de convergência é mais
  rápida que o Jacobi onde a informação viaja um
  intervalo de grade por iteração
• No PHOENICS a varredura é sempre realizada na
  direção Z.
• Para ser efetivo a direção principal do
  escoamento deve ser a direção Z.
• Se os coeficientes numa direção são muito
  maiores daqueles em outras direções, uma
  varredura na direção transversal a direção dos
  coeficientes dominantes resulta em uma taxa de
  convergência muito rápida.
• Devido às não-linearidades e pelos valores das
  variáveis fora do slab serem aquelas da
  iteração anterior, é muito raro ter necessidade
  de se obter soluções precisas para um slab. É
  mais econômico varrer o domínio diversas vezes.

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Slabwise x Parabólico

• A opção slabwise é sempre empregada para
  escoamentos parabólicos.
• O processo de marcha se dá sempre na direção Z.
• Neste caso, a solução depende somente dos valores
  do slab da face LOW
• Nestas circunstâncias é necessário obter uma
  solução completamente convergida em cada slab
  uma vez que ele será visitado somente uma única
  vez na simulação parabólica.

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Método Whole Field

• Opera também como uma extensão do algoritmo TDMA.
  
• Neste caso a informação é propagada em todo
  domínio e não em cada distância entre nós da
  grade ou entre slabs.
• Ele requer uma maior capacidade de armazenamento
  porém é sempre recomendado quando as
  não-linearidades são pequenas
• Condução de calor e escoamento potencial.
• O campo de velocidade nunca é resolvido dessa
  forma
• É sempre recomendado para eq. de correção da
  pressão porque ele é capaz de transmitir as
  condições de contorno e bloqueios rapidamente em
  todo domínio

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Controle de convergência

• Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
• 2PFG/DE/FEM/UNICAMP

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Relaxação

• É uma técnica utilizada para obter soluções
  convergidas fazendo com que as correções sejam
  diminuídas
• A relaxação não altera a solução convergida,
  apenas a taxa de convergência
• Há dois tipos de relaxação que se pode utilizar
• Linear
• False time step (Falso transiente)

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Relaxação linear

• É feito uma ponderação linear entre as soluções
  antiga e nova para compor a variável
• f (1 a) fold a fnew
• Se a 0 ? f fold ? não há correção
• Se a 1 ? f fnew ? não há relaxação
• O comando do PHOENICS que activa a relaxação
  linear é
• RELAX(f, LNRLX, a)

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Falso transiente (False time step)

• É obtido adicionando-se um termo fonte no lado
  direito da equação de transporte discretizada
• O termo adicionado é
• A relaxação é ajustada escolhendo valores para
  dt
• dt elevados ? f fnew ? não há relaxação
• dt pequenos ? f fold ? não há correção

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Escolha do parâmetro dt

• Pode ser determinado pela escala de tempo
  característico do fenômeno estudado
• Escala de tempo convectiva dt L/U
• Escala de tempo difusiva dt L2/n
• O comando PHOENICS para ativas esse tipo de
  relaxação é
• RELAX(f, FALSDT, dt)

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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CONWIZ

• CONWIZ é um mecanismo de relaxação padrão quando
  usamos o VR
• Começa estabelecendo valores de referência para
• Length velocity, density and temperature.
• A partir desse valores calcula taxas de
  alterações para as velocidades com o campo de
  pressão para todos os pontos
• Define valores de relação linear para todas as
  variáveis
• Define valores máximos para os incrementos por
  sweep para algumas variáveis
• Ativa o procedimento Whole-field para todas as
  velocidades.

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SARAH

• SARAH pode ser usado para calcular o falso
  transiente internamente
• O dt é calculado como
• Dt SARAH . Valor calculado internamente
• Os valores típicos é na faixa de 0,1 até 0,001
• Não pode ser usado em conjunto com o CONWIZ e
  afeta somente as velocidades
• Não tem efeito sobre grandezas escalares

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Controle de interações

• É possível determinar quantas vezes cada equação
  será resolvida antes de resolver a próxima
• Esse controle é feito por meio de duas variáveis
• LITER
• ENDIT

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LITER

• Define o número máximo de vezes que cada equação
  linear é solucionada para uma dada variável antes
  de resolver a outra equação
• Valores elevados para LITER, maior será o tempo
  gasto por iteração e menor será o resíduo
  resultante
• Pode diminuir o número total de iteração para
  obter solução convergida
• Devido ao acoplamento dos coeficientes, valores
  muito elevados para LITER não garante a
  convergência.

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ENDIT

• Se for maior que zero, influencia no término das
  iteração no solver linear
• É limitado pelo LITER

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(No Transcript)
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LITER e ENDIT x Convergência

• A convergência é um processo iterativo
• O solver resolve uma variável de cada vez
• Não é necessário obter uma solução perfeitamente
  convergida para cada varáivel todo o tempo
• LITER
• Grande irá demandar tempo para obter uma solução
  para cada variável
• Pequeno provável mente não garantirá uma solução
  convergida uma vez que as soluções intermediárias
  não estarão bem resolvidas
• ENDIT
• Pequenos necessitará de todos o LITER
• Grande fará com que o solver deixe a variável
  antes de obter uma solução razoável

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Limitando as variáveis

• Para prevenir estouros das variáveis pode-se
  limitar a faixa em que cada variável pode
  existir
• Isso pode ser feito no PHOENICS especificando-se
  VARMIN e VARMAX para cada variável
• O fato de se conseguir os valores especificados
  em VARMIN e VARMAX não garante uma solução
  convergida.

71
(No Transcript)
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Controle das variáveis

• Pode-se definir uma célula para monitorar as
  variáveis durante o procedimento de solução
• Para tanto, basta informar qual é a célula que se
  deseja monitorar pelas variáveis
• IXMON, IYMON, IZMON
• Os valores calculados para cada variável nessa
  célula será mostrado graficamente caso TSTSWP -1

73
(No Transcript)
74
(No Transcript)
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Resíduo

• Os resíduos são utilizados no PHOENICS para
  monitorar o procedimento de convergência
• São definidos para cada variável como
• Durante o procedimento computacional é possível
  monitorar o resíduo
• Tende a diminuir com a adoção de estratégias de
  relaxação e com o número de iterações.

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Monitoramento do resíduo

• O resíduo pode ser acompanhado no RESULT ou
  graficamente
• A freqüência do calculo do resíduo no PHOENICS é
  definida na variável TSTSWP
• Caso seja definido TSTSWP -1, o resíduo será
  mostrado graficamente

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(No Transcript)
78
(No Transcript)
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Normalização do resíduo

• O valor impresso na tela é do resíduo
  normalizado, calculado como
• A solução é considerada convergida quando a
  quantidade acima é menor que 1
• O processo iterativo é interrompido para cada
  variável
• A solução é considerada convergida quando todas
  as variáveis tem seu resíduo normalizado menor
  que 1

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Determinação do RESREF

• No PHOENICS quando SEFREF T, o resíduo de
  referência (RESREF) é calculado automaticamente
  baseado nos fluxo líquidos de cada variável
• Pode-se estabelecer uma tolerância no resíduo com
  a variável RESFAC
• Fazendo RESFAC 0,01 significa que o processo
  iterativo se encerra quando o erro for menor que
  1 do fluxo de referencia.

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Número de iterações total

• Além do número de iterações de cada equação
  linear é possível controlar quantas vezes
  (iterações) todas as equações serão resolvidos
• Esse controle é realizado pela variável LSWEEP
• Quando maior for essa variável, maior é a
  probabilidade de se obter uma solução convergida
  e maior será o tempo computacional

82
Tempo de cálculo

• Para evitar que se fique indefinidamente buscando
  uma solução, pode-se especificar um limite máximo
  de para se obter uma solução convergida
• É acessado pela variável MAXSEC, onde se
  especifica o tempo máximo de calculo em segundos

83
(No Transcript)
84
FIM !
85
Equações de conservação

• Uma equação algébrica e linear é criada para
  cada variável e para cada volume de controle da
  malha
• O conjunto de equações aplicadas a todos os
  volumes de controle geram um sistema de equações
  lineares