Dynamika

1
Dynamika
2
Cím se zabývá dynamika

• Zatímco kinematika pojednává pouze o prostorových
  a casových formách pohybu, zabývá se dynamika
  prícinami vzniku a zmen pohybu.
• Vedle pojmu, jakými jsou poloha, cas, rychlost a
  zrychlení, pristupují v dynamice další fyzikální
  veliciny, kterými jsou v prvé rade hmotnost a
  síla.

3
Inerciální soustavy
Jak jme již poznali v kinematice, musíme pohyb
libovolného telesa vztáhnout na nejakou soustavu
teles, která v daném kontextu považujeme za
nehybná. Tato telesa budeme nazývat referencními
telesy. Soustavu souradnic spojujeme vždy s
nejakou soustavou referencních teles. Rovnice,
které popisují pohyby jsou obzvlášt jednoduché v
soustavách, kde na telesa pusobí pouze síly,
mající svuj puvod v jiných telesech. V takových
soustavách se volný hmotný bod pohybuje vždy
rovnomerne a prímocare. Takové soustavy budeme
nazývat inerciálními. Naše Zeme není inerciální
soustavou, protože se otácí a objevují se síly
odstredivé a jak poznáme dále také síly
Coriolisovy. Za inerciální soustavu mužeme
považovat soustavu s pocátkem ve stredu Slunce a
osami mírícími ke stálicím (hvezdám na obloze).
4
Dve základní veliciny dynamiky
Jak již bylo receno, jsou duležitými velicinami
dynamiky hmotnost a síla. Tyto veliciny neumíme
definovat klasickým zpusobem, podobne jako v
geometrii nedefinujeme pojem bod, prímka, rovina.
Vlastnosti techto geometrických pojmu vyplývají z
Eukleidových axiomu. Podobne vlastnosti hmotnosti
a síly vyplývají ze zákonu dynamiky. Zde jen
naznacíme základní vlastnosti techto
velicin. Hmotnost charakterizuje schopnost teles
klást odpor zmenám pohybu. Je to veliciny
skalární a v klasické mechanice ji považujeme za
nezávislou na rychlosti. V teorii relativity
ovšem poznáme, že pri vysokých rychlostech tato
poucka neplatí.
5
Sestává-li teleso ze dvou nebo více cástí, je
výsledná hmotnost složeného telesa rovna souctu
hmotností jednotlivých cástí. Hmotnost je
velicinou aditivní. Jednotkou hmotnosti je
kilogram.
Na obrázku je mezinárodní prototyp kilogramu.
6
Síla je velicina, která je mírou pro vzájemné
pusobení dvou teles. Je to velicina vektorová a
rídí se všemi pravidly pro vektory. Poznáme, že
jde o vektor vázaný na prímku. Sílu také
považujeme za prícinu zmeny tvaru a rozmeru
teles. Intuitivne sílu spojujeme s vynakládáním
svalové námahy. Jednotkou síly je newton.
Na obrázku je etalon síly v PTB v Nemecku.
7
Dva omyly staroveké mechaniky

• Staroveká filosofie se intenzívne zajímala o
  príciny ruzných prírodních jevu. Vycházela z
  pozorování a získané poznatky se snažila
  zobecnit.
• Mechanický pohyb je jedním z nejnápadnejších
  jevu v prírode. Proto není divu,že se na jeho
  pozorování staroveká veda zamerila. Z pozorování
  došli starovecí filosofové k záveru, že pro
  udržení pohybu je nutné pusobení síly. Tato síla
  muže mít u živocichu vnitrní puvod (síla svalu)
  nebo muže být vnejšího puvodu u teles neživých.

8

• Aby vuz jel rovnomerne po prímé silnici, musí
  kone vynaložit potrebnou sílu, aby pták letel,
  musí mávat krídly. Naopak, když síla prestane
  pusobit, pohyb zaniká. I hladký kámen pohybující
  se po zamrzlé hladine rybníky se po probehnutí
  urcité dráhy zastaví. Odpor prostredí jako síla
  pusobící proti pohybu, nebyl vzat na zretel.
• Druhým omylem bylo, že starovecí myslitelé došli
  k záveru, že telesa padají k zemi ruzne rychle.
  Težší telesa )kameny, kusy kovu) padají rychleji,
  lehcí telesa kousky dreva,otep sena) padají
  pomaleji.

9

• Pokusy staroveká veda zpravidla nekonala.
• Tyto omyly se prenesly i do stredoveku
  prostrednictvím Aristotelových spisu (v tomto
  prípade Fysiky), které i scholastická veda
  uznávala jako zdroj poznatku.
• Teprve Galileo Galilei na základe pokusu dospel k
  poznání, že zanikání mechanických pohybu je
  zpusobeno odporem prostredí. Kdyby byl odpor
  prostredí zcela vyloucen, teleso uvedené

10

• Do rovnomerného prímocarého pohybu, by v nem
  pokracovalo bez omezení.
• To byl vznik principu setrvacnosti.
• Je treba poznamenat, že již pred Galileem se
  podobné myšlenky objevovaly, ale zduvodnení
  nebylo tak presvedcivé, jako u Galilea.

11
Galileuv myšlenový pokus k principu setrvacnosti
Na obrázku vidíme kulicku, která se odvalí z levé
pozice a pri malém trení vystoupí prakticky do
stejné výšky z jaké byla vypuštena. Budeme-li
postupne naklánet pravou cást dráhy k vodorovné
rovine, dorazí kulicka vždy dále od své výchozí
polohy. Kdyby prešel levý oblouk ve vodorovnou
rovinu, musela by se kulicka dostat do nekonecna.
12
Hybnost
Hybnost je vektorová velicina daná vztahem
Je-li hmotnost telesa konstantní, je hybnost
prímo úmerná rychlosti. Tato definice platí i pro
prípad, kdy se hmotnost pri pohybu mení. V teorii
relativity pro hybnost volné cástice platí vztah
Hmotnost telesa se stává závislou na velikosti
rychlosti.
13
Nevtonovy principy dynamiky

• Newton formuloval zákony dynamiky ve svém
  latinském spisu Philosophiae naturalis principia
  mathematica , který vyšel v roce 1687.

14
Principy dynamiky
Princip setrvacnosti Každé teleso setrvává ve
stavu klidu nebo prímocarého rovnomerného pohybu,
není-li nuceno vnejšími silami tento stav
zmenit. Corpus omne perseverare in statu suo
quiescendi vel movendi uniformiter in direktum,
nisi quatenus illud a viribus imprassis cogitur
statum suum mutare.
15
(No Transcript)
16
Princip síly Casová zmena hybnosti je úmerná
vtištené síle a má s ní stejný smer. Mutationem
motus proportionalem esse vi motrici impressae et
fieri secundum lineam rectam, qua vis illa
imprimitur Princip akce a reakce Každá akce
zpusobuje vždy stejnou reakci opacného smeru cili
vzájemná pusobení teles jsou stejne veliká a
opacného smeru. Actioni contrariam semper et
aequalem esse reactionem sive corpurum duorum
actiones in se mutuo semper esse aequales et in
partes contrarias dirigi.
17
Matematické vyjádrení 1. a 2.pohybového zákona
První pohybový zákon vypovídá o chování teles, na
která nepusobí žádná vnejší síla. Druhý zákon
popisuje chování telesa pod vlivem síly. Spojením
obou zákonu v matematickou formuli získáme vztah
18
Hlavní dusledek tretího pohybového zákona
Uvažujme o dvou na sebe pusobících telesech,
která jsou mechanicky oddelena od ostatních
teles. Podle principu akce a reakce pusobí teleso
A na teleso B silou F a teleso B pusobí na teleso
A silou F . Potom
A po úprave
19
Hlavním dusledkem platnosti principu akce a
reakce je zákon zachování hybnosti pro mechanicky
izolovanou soustavu.
20
Rešení pohybových rovnic
Z pohybové rovnice
vyplývá diferenciální rovnice pro polohu
hmotného bodu ve tvaru
Zde je vyznaceno, že síla muže záviset na poloze,
rychlosti a casu. Závislost na poloze se
uplatnuje pri pohybu hmotného bodu v nehomogenním
silovém poli (napr. teleso v radiálním poli
planety nebo hvezdy, nabitá cástice v
nehomogenním poli elektrickém nebo magnetickém
atd.).
21
Závislost na rychlosti se uplatní pri pohybu
telesa v odporujícím prostredí. Pohybuje-li se
teleso ve vzduchu, mužeme pro odporující sílu
obecne psát
První clen, který závisí na rychlosti lineárne,
je zpusoben viskozitou vzduchu a uplatnuje se
zejména pri malých rychlostech. Druhý clen závisí
na rychlosti kvadraticky a je vyvolán tím, že
teleso musí ze své dráhy odstranit vzduch nebo
jiné prostredí. Síla odporu prostredí je vždy
namírena proti vektoru rychlosti. Závislost na
casu se projeví vždy, kdy síla je vyvolána casove
promenným polem. Napr. v poli kondenzátoru, na
jehož deskách je casove promenné napetí, pusobí
na nabitou cástici casove promenná
síla. Pohybovou rovnici mužeme rozepsat do
souradnic
22
Tyto rovnice jsou ovšem provázané prostrednictvím
svých pravých stran. Jsou to diferenciální
rovnice druhého rádu, v nichž nezávisle promennou
je cas.
23
Príklad rešení pohybové rovnice
Jako príklad vyrešíme závislost rychlosti a
polohy parašutisty na casu pri volném pádu. Osu z
zvolíme orientovanou svisle dolu, pocátek
souradnic volíme v míste kde parašutista
vyskocil. Sestavíme pohybovou rovnici Soucinite
l stanovíme ze skutecnosti, že
ustálená rychlost volného pádu parašutisty bývá
60 m/s. Po dosazení
24
dostaneme a po
dosazení do pohybové rovnice a malé úprave
bude Všimnete si, že obe strany této
diferenciální rovnice mají rozmer
zrychlení. Ukážeme, jak takovou rovnici vyrešíme
pomocí tabulkového procesoru EXCEL.
25

• Postupujeme v techto krocích
• Nadepíšeme úlohu Závislost polohy a rychlosti
  parašutisty na casu
• Zadáme pocátecní podmínky a casový krok pro
  rešení.
• Nadepíšeme slupce B až E následovne t, a, v, z
  spolu s jednotkami.
• Do první rádky zadáme pocátecní podmínky.
  Vyplníme první sloupec tak aby cas rostl
  predepsaným krokem. Na casový krok se odkazujeme
  absolutne.
• Do sloupce pro zrychlení napíšeme (podle významu)
• Do sloupce pro rychlost napíšeme

26
7. Do sloupce pro polohu napíšeme vztah podle
rekurentního vzorce 8. Rádku protáhneme pro
všechny vypoctené casy 9. Sestrojíme grafy v(t),
z(t).
27
Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu Závislost polohy a rychlosti parašutisty na casu pri volném pádu


Pocátecní podmínky Pocátecní podmínky Pocátecní podmínky

pocátecní poloha pocátecní poloha 0 m
pocátecní rychlost pocátecní rychlost 0 m/s
maximální rychlost maximální rychlost 60 m/s
casový krok casový krok 0,5 s
28
t / s a / (m/s2) v / (m/s) z / m
0 9,81 0 0
0,5 9,81 4,905 2,4525
1 9,008033 9,409016 7,157008
1,5 8,271626 13,54483 13,92942
2 7,59542 17,34254 22,60069
2,5 6,974495 20,82979 33,01559
3 6,40433 24,03195 45,03156
3,5 5,880776 26,97234 58,51773
29
Závislost rychlosti na casu
30
Závislost polohy na casu
31
Pri pohledu na grafy vidíme, že se rychlost
volného pádu ustálí skutecne na 60 m/s a poloha
se po dosažení této rychlosti mení lineárne s
casem, jak odpovídá rovnomernému
pohybu. Podobným zpusobem mužeme rešit další
úlohy. Užití pocítace nám dává možnost vyhnout se
analytickému rešení, které muže být v nekterých
prípadech znacne složité.
32
Casový úcinek síly
Predstavme si pokus podle obrázku
33
Kladivo, otácející se kolem naznacené osy uderí
do koule. V okamžiku nárazu bude na kouli pusobit
síla, jejíž casový prubeh je znázornen na dalším
obrázku.
Výraz nazýváme impulsem
síly. Je predstavován plochou ohranicenou na
grafu krivkou F(t) a osou t.
F
t
t1
?t
34
Dosadíme-li do vztahu pro impuls síly z pohybové
rovnice, dostáváme Tento vztah znamená, že
zmena hybnosti za urcitý casový okamžik
je roven zmene hybnosti telesa, na než síla
pusobí. Je zrejmé, že stejné zmeny hybnosti muže
být dosaženo krátkodobým pusobením velké síly
nebo delším pusobením síly malé. Nastane-li zmena
hybnosti za malý casový interval, pusobí velká
síla. (Proto bolí, když se klepneme kladívkem.)
35
Dráhový úcinek síly
Pusobí-li síla na hmotný bod, který se pohybuje
po nejaké trajektorii, má význam urcit soucin
F
a
C
?r
Skalární velicinu dA nazýváme elementární prací,
kterou vykoná síla na úseku dráhy ?r.
D
36
Secteme-li všechny elementární príspevky podél
oblouku trajektorie od bodu C do bodu D,
dostáváme práci
37
Kdy síla nekoná práci

1. Když se hmotný bod nepohybuje
2. Když má síla nulovou velikost
3. Když je síla kolmá k rychlosti

38
Práce a kinetická energie hmotného bodu
Práce, kterou vykoná síla na hmotném bodu je
rovna prírustku jeho kinetické energie.
39
Práce, kterou síla vykoná na uzavrené dráze
bude Kroužek na integrálu vyznacuje, že jde o
integrál po uzavrené krivce. Tento integrál muže
být rozložen na dve cásti Oba integrály jsou
probíhány ve stejném smyslu, jak je naznaceno na
obrázku. Zameníme-li u druhého integrálu smysl
probíhání, bude
40
Konzervativní síly
Nekdy práce, kterou síla pri pohybu hmotného bodu
vykoná, nezávisí na tvaru trajektorie, ale pouze
na poloze výchozího a konecného bodu. Jestliže je
tato vlastnost obecná pro daný typ sil, ríkáme,
že silové pole je konzervativní. Uvažujme o
práci, kterou konzervativní síla vykoná pri
pohybu po uzavrené dráze (obr.
B
A
41
Výsledná práce je nulová, protože v poli
konzervativních sil je práce závislá jen na
poloze pocátecního a koncového bodu. Z tohoto
výkladu plyne duležitá poucka V poli
konzervativních sil je práce vykonaná po uzavrené
dráze vždy nulová. Které prírodní síly jsou
konzervativní? Jsou to nám dobre známé síly
gravitacní. (Jestliže vybehneme z ucebny ve 2.
poschodí, sebehneme do prízemí a vrátíme se zpet,
nevykonáme ve fyzikálním smyslu žádnou práci, i
když se zadýcháme a cítíme námahu.) Dále to jsou
síly elektrostatické. Také v elektrostatickém
poli pri prenosu náboje vykonáme práci, která
závisí jen na výchozí a konecné pozici náboje.
42
Nekonzervativní síly
Když posunujeme bednu po vodorovné podlaze,
konáme práci. Hybná síla vždy pusobí ve smeru
pohybu. Príspevky k práci jsou vždy kladné a
velikost práce závisí na délce dráhy a ne pouze
na pocátecní a konecné poloze. Síly trení, které
prekonáváme nejsou konzervativní. Také
elektrické síly v prípade, kdy elektrické
silocáry jsou uzavrené, nejsou konzervativní.
43
Trení
Jiste jste nekdy zkoušeli posunout težkou bednu
po vodorovné podlaze. Pokud vynaložíme malou
sílu, bedna se nepohne. Síla , kterou
vynakládáme, je kompenzována silou statického
trení . Až do urcité hodnoty je
vnejší vtištená síla v rovnováze se silou
statického trení . Teleso nemuže být uvedeno do
pohybu. Je-li ovšem tato hranice prekrocena,
zacne se teleso pohybovat. Je-li tento pohyb
rovnomerný, je vtištená síla v rovnováze se silou
smykového trení . Závislost mezi vnejší
vtištenou silou a silami trení je patrna z
následujícího grafu.
44
Závislost mezi vnejší silou a trením
Fsmax
Ft
Fs
45

• Z grafu mužeme usoudit, že
• Statické trení vyrovnává vtištenou sílu až do
  jisté mezní hodnoty.
• Po prekrocení této hodnoty nastupuje trení
  smykové (dríve se užíval název vlecné). Toto
  smykové trení je za stejných podmínek menší než
  maximální hodnota statického trení.

Pro maximální hodnotu statického trení platí
vztah, který lze experimentálne overit Zde
je soucinitel statického trení,
je normálová síla pusobící mezi telesem a
podložkou.
46
Smykové trení je rovnež úmerné normálové síle
pusobící mezi telesem a podložkou
nazýváme soucinitelem smykového trení. Trení
vzniká vzájemným pusobením molekul (atomu, iontu)
podložky a telesa v míste skutecného kontaktu.
Úcinná plocha dotyku je znacne menší než
geometrická plocha vypoctená z rozmeru telesa. To
je znázorneno i na následujícím obrázku.
47
Obrázek ukazuje zvetšenou cást povrchu v míste
dotyku teles. Skutecný kontakt vzniká jen v
místech, kde se dotýkají výstupky obou povrchu.
48
Na obrázku je mikroskopický snímek vylešteného
povrchu oceli. Nepravidelné výstupky dosahují
velikosti až 10-5 cm.
49
Na obrázku je pocítacový model, ukazující atomy
zlata (tvorícího podložku), které ulpívají na
niklovém hrotu.
50
K vysvetlení statického trení
Maximální statické trení je úmerné mikroskopické
dotykové ploše . Ta je ovšem úmerná
tlaku mezi povrchy Soucin
je nezávislý na velikosti
mikroskopického dotyku a závisí jen na tlakové
síle. Proto platí vztah Pro statické trení
obecne platí .
51
Experimentálne overené zákonitosti trení
1. 2.
Závisí na relativní rychlosti teles. V rozmezí 1
cm/s do nekolika m/s je tato závislost
zanedbatelná (to je známo jako Coulombuv zákon
pro trení). 3. závisí na kvalite
povrchu, ale ne na mikroskopické ploše dotyku.
52
Pohyb telesa po naklonené rovine
Síla pusobící podél naklonené roviny
Fa
Ft
FN
mg
53
Pro zrychlení telesa dostáváme
Je-li zrychlení nulové
(teleso klouže po naklonené rovine rovnomerne,což
nastane pri kritickém úhlu náklonu ,
platí V grafu na následující stránce je
závislost zrychlení telesa na naklonené rovine
pro soucinitel smykového trení 0,4. Extrapolací
pro nulové zrychlení je možno urcit kritický
úhel.
54
Z grafu vidíme, že kritický úhel, pri nemž teleso
zacne klouzat je asi 22o.
55
Valivé trení
Ft
Fv
S
Fe
r
d
FN
56
Po vodorovné rovine se valí válec o polomeru r .
Na podložku pusobí silou FN . Podložka se mírne
deformuje a po odvalení válce deformace mizí.
Výslednice elastických sil Fe (znacena žlute) je
ponekud posunuta smerem vpred o vzdálenost d .
Podle principu akce a reakce jsou síly FN a Fe
stejne velké a vytvárejí dvojici, která pusobí
proti odvalování válce. Moment síly valivého
trení r Ft je roven momentu d FN.. Odtud
Velicina d má význam soucinitele valivého
trení a je udávána v metrech a oznacena µv .
Velikost tohoto koeficientu pro valení pneumatiky
auta po betonu je 0,01 až 0,02 m. Pri valení kola
vagonu po koleji je 0,001 až 0,002 m.
57
Trení a jízda automobilu
V dalším výkladu se seznámíme s duležitou
pouckou, která ríká, že vnitrními silami nemuže
být žádná mechanická soustava jako celek uvedena
do pohybu. Predstavme si, že auto stojí na
dokonale hladké ploše. Mezi jeho pneumatikami a
plochou není trení. V tomto prípade by se kola
auta sice tocila, ale auto by nejelo vpred. Aby
auto získalo potrebné zrychlení, musí pusobit
vnejší síla. Na obrázku jsou vyznaceny vnejší
síly pusobící na auto.
Fs
FN1
FN2
58
Tíhová síla mg se rozloží na dve paralelní složky
FN1 .FN2 . Tyto složky vyvolají statické trení
(pokud pneumatiky neprokluzují). Pneumatika
pusobí na silnici vtištenou silou Fv a podle
predchozího výkladu pokud není prekrocena hodnota
Fsmax,,) , je síla statického trení rovna
vtištené síle.Síla trení Fs pusobí na
pneumatiku podle principu akce a reakce. Tato
síla pusobí zrychlení auta. Kdyby ridic stlacil
plynový pedál príliš silne, prekrocila by
vtištená síla horní hranici statického trení.
Pneumatiky by zacaly prokluzovat a trení by se
zmenilo na smykové. To je ovšem za stejných
podmínek menší než trení statické. Pro rychlý
rozjezd auta je proto treba volit jen takový
výkon motoru, aby prokluzování nenastalo. Pri
zrychlování auta bez prokluzování pneumatik
zustává plocha dotyku pneumatiky a silnice v
klidu. Jde tedy o klidové trení. Pri prokluzování
pneumatik jde o trení smykové. Pri statickém
trení mužeme pro zrychlení auta psát
.
59
Podobná situace je i pri brždení. Je-li brzdící
síla menší než maximální hodnota statického
trení, je auto brždeno silou statického trení.
Když však se brzdy zablokují a pneumatiky po
silnici kloužou, jde o trení smykové, které je
menší. Zablokování brzd tedy vede k prodloužení
brzdné dráhy. Zcela jiná je ovšem situace, kdy
auto jede po silnici stálou rychlostí. V tomto
prípade se pneumatiky odvalují po silnici a jde
tedy o trení valivé. To je znacne menší než trení
smykové, jak již bylo ukázáno. Za této situace je
znacná cást výkonu motoru (pri jízde po vodorovné
silnici) spotrebována na prekonání odporu
vzduchu. Príklad Auto jede po vodorovné silnici
rychlostí 90 km/h. Soucinitelé statického a
smykového trení jsou
.
60

• Jaká bude brzdná dráha když
• se kola ješte otácejí
• jsou kola blokována ?
• Rešení
• Auto je brždeno silou trení, která nyní pusobí
  proti rychlosti.
• V prípade a) je
  ,
• b) je ,
  
• Rychlost .
• V prípade a) je s 63,7 m b) s 106,2 m

61
Zákon všeobecné gravitace

• Na prelomu 16. a 17. století se tehdejší
  astronomie rozhodovala mezi Ptolemaiovou a
  Koperníkovou soustavou. K dispozici byla presná
  Tychonova merení pohybu planet. Kepler, který
  pusobil na dvore Rudolfa II. mel tyto podklady k
  dispozici a vyhodnotil je. Podarilo se mu
  stanovit zákony pro pohyb planet
• Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od
  kružnice, v jejichž spolecném ohnisku je Slunce.
• Pruvodic vedený od Slunce k planete opisuje ve
  stejných dobách stejne velké plochy.
• Pomer druhých mocnin obežných dob planet je roven
  pomeru tretích mocnin velkých poloos jejich drah.

62
Fyzikální prícinu techto zákonu Kepler nenalezl.
Pod vlivem Gilbertova díla De Magnete se
domníval, že Slunce a planety se pritahují jako
magnety (v té dobe bylo známo, že Zeme je velkým
magnetem).Teprve Newtonovi se podarilo najít
univerzální zákon pritažlivosti teles. Poprvé
zákon zverejnil ve výše uvedeném spisu v
r.1687. V následujícím textu naznacíme odvození
gravitacního zákona z Keplerových zákonu.
63
Uvažujme o pohybu planety po kružnici o polomeru
r .Potom Kde k je konstanta shodná pro všechny
planety. Dostredivé zrychlení na této dráze
bude Dostredivá síla proto bude
, kde m je
hmotnost planety.
64
Kdybychom uvažovali, že Slunce obíhá Zemi,
dostali bychom pro sílu mezi zemí a
Sluncem Zde M je hmotnost Slunce k nová
konstanta.
Podle principu akce a reakce jsou obe síly stejne
velké. Aby oba vztahy byly splneny soucasne,
stací položit konstantu k rovnu Potom pro
velikost síly dostáváme G je gravitacní
konstanta.
65
Formulace zákona všeobecné gravitace
Dva hmotné body o hmotnostech m1 , m2 se
vzájemne pritahují silou, která je úmerná soucinu
jejich hnmotností a neprímo úmerná ctverci jejich
vzdáleností. Síla pusobí ve smeru spojnice obou
bodu.
Gravitacní konstanta má hodnotu
. Je to malá hodnota a proto
gravitacní síly jsou nejslabšími silami ze ctyr
základních sil v prírode.
66
Vlastnosti gravitacních sil
1.Gravitacní síly jsou universální pusobí mezi
každými dvema telesy. 2. Nedají se odstínit. 3.
Pusobí na dálku a také ve vakuu.
67
Vektorové vyjádrení zákona všeobecné gravitace
m1
m2
F
O
68
Jak Newton overoval platnost gravitacního zákona
Newton overoval gravitacní zákon na soustave Zeme
Mesíc. V té dobe již bylo známo, že vzdálenost
Mesíce od zeme je rovna šedesátinásobku polomeru
Zeme Odtud pro dostredivé zrychlení Mesíce
dostáváme Z gravitacního zákona pro sílu na
povrchu Zeme dostáváme pro gravitacní zrychlení
vztah
69
Pro dostredivé zrychlení Mesíce potom Vydelíme
tyto dva vztahy, takže Shoda obou nezávisle
získaných hodnot dostredivého zrychlení Mesíce je
evidentní.
Z historického hlediska je zajímavé, že hodnoty
poprvé užité Newtonem nedaly dobrý souhlas.
Teprve po upresnení údaju nalezl shodu s
namerenými výsledky. Tím se zverejnení
gravitacního zákona oddálilo o nekolik let.
70
Urcování gravitacní konstanty

• Brzy po zverejnení gravitacního zákona se
  ukázalo, že jeho plnému využití je treba znát
  gravitacní konstantu. To bylo možné uskutecnit
  jen experimentálne. V prubehu 18. a 19. století
  bylo vypracováno nekolik metod, které umožnovaly
  urcit alespon hrube hodnotu G. Zde si uvedeme jen
  rámcový prehled techto metod.
• Odchylka svislice v blízkosti hory.
• Svislý smer je urcen olovnicí nebo jako
  kolmice k rovine vodorovné. Predstavme si situaci
  jak je na obr.

71
Kdyby bylo merení provádeno a hora nebyla v
blízkosti, smerovaly by svislé smery do stredu
zeme, jak je ukázáno plne vyznacenými carami.
Prítomnost hohy zpusobí, že se olovnice vychýlí,
jak je naznaceno cárkovane. Od úhlu, který tyto
nové smery svírají odecteme puvodní rozdíl úhlu.
Tatp merení se provádela na stejném poledníku,
takže puvodní úhel svislic byl roven rozdílu
zemepisných šírek.
e
72
Hmotnost hory musí být odhadnuta z jejího objemu
a prumerné hustoty. Merení na tomto základe
provedl v roce 1738 Bouguer na hore Chimboraso v
Peru a v roce 1774 Maskelyne a Hutton na horském
hrbetu Schiehallion (Skotsko). Znovu byla taková
merení opakována Jamesem u Edinburgu. Výsledky
byly zatíženy znacnými chybami. 2. Merení
gravitacní konstanty kyvadlem. Již na strední
škole se užívá pro dobu kmitu kyvadla
vztah Gravitacní zrychlení, které v tomto
vztahu vystupuje lze ovšem urcit z gravitacního
zákona.
73
V tomto vztahu známe polomer zemský, ale neznáme
hmotnost Zeme. Proto se provede nové merení
gravitacního zrychlení na dne hluboké šachty, kde
zrychlení bude mít hodnotu Zde m je hmotnost
celé zemské vrstvy, která je nad úrovní dna
šachty (obr.). Obecne platí, že
. To je zpusobeno tím, že jádro Zeme má vetší
hustotu než povrchové vrstvy a na dne dolu jsme
tomuto jádru blíže než na povrchu. Tato merení
byla provádena nekolikrát, mimo jiné na šachte
sv. Vojtecha v Príbrami. Merení nebyla príliš
presná, nebot bylo nutno odhadnout hmotnost m
povrchové vrstvy, která zahrnuje i oceány a more.
74
Merení g na povrchu a na dne šachty.
šachta
m
75
3. Merení G pákovými vahami. Tato merení provedl
Jolly na univerzite v Mnichove ve veži
univerzitní budovy. Hlavní myšlenka je patrná z
obrázku .
Na ctyrech miskách byly ctyri stejné uzavrené
nádobky. Dve byly naplneny rtutí, dve byly
prázdné. Potom byly pod jednu dvojici postavena
velká olovená koule. Uplatnilo se pritahování
mezi nádobkou se rtutí a koulí. Jazýcek vah se
vyklonil, jak je naznaceno. Když se nádobky i
koule presunuly, byla výchylka na opacnou stranu.
Dve prázdné nádobky mely vyrovnávat rozdíl
vztlaku vzduchu.
76
4. Cavendishova metoda torsních vah. Cavendishova
metoda využívá torsních vah. Na tenkém drátku je
zavešena lehká tycinka, na jejíž koncích jsou
umísteny dve stejné kulicky o hmotnosti m (viz
obr.). Když priblížíme dve velké koule,
pritažlivá síla pootocí raménkem,jak je naznaceno
na obrázku. Po presnu velkých koulí do pozice II
se situace obrátí. Z hmotností a rozmeru se dá
vypocítat G.
77
Podrobnejší informace o merení gravitacní
konstanty v historii fyziky se lze docíst v
knize Záviška, F.Mechanika, JCMF, Praha 1933.