E

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DefinizioniFluido

• E un corpo materiale che può subire grandi
  variazioni di forma sotto lazione di forze
  comunque piccole che tendono a diventare
  trascurabili quando la velocità di deformazione
  tende ad annullarsi
• Un fluido non resiste ad apprezzabili sforzi di
  trazione

In particolare, i fluidi possono essere distinti
in due grandi classi
LIQUIDI Oppongono grande resistenza alle
variazioni di volume (poco comprimibili) GAS Forz
e di modesta entità ne modificano il volume
(molto comprimibili)
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Definizioni

• Grandezze fondamentali per descrivere il
  comportamento di un fluido sono
• lunghezza (nel S.I. si misura in metri)
• massa (nel S.I. si misura in chilogrammi)
• tempo (nel S.I. si misura in secondi)

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Caratteristiche dei fluidi

• DENSITA r
• misura la massa dellunità di volume. Nel S.I. si
  misura in kg/m3
• Per lacqua r vale circa 1000 kg/m3
• PESO SPECIFICO g
• misura il peso dellunità di volume. Si misura in
  N/m3
• densità e peso specifico sono legati dalla
  relazione
• dove g è laccelerazione di gravità.
• Per lacqua g vale 9806 N/m3

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Caratteristiche dei fluidi
VISCOSITA misura gli attriti interni di un
fluido. In particolare caratterizza il
comportamento di un fluido nei confronti delle
resistenze che si oppongono al moto. Si
distingue una viscosità dinamica m, che si misura
in Ns/m2, da una viscosità cinematica n, pari a
n m/r che si misura in m2/s. Per lacqua n vale
circa 10-6 m2/s. Landamento della viscosità in
funzione della velocità di deformazione consente
di distinguere i fluidi newtoniani da quelli non
newtoniani. Per un fluido newtoniano la
relazione che lega gli sforzi t ai gradienti di
velocità (e alle velocità di deformazione) è
lineare
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Natura delle forze agenti su un fluido
FORZE DI MASSA F Sono forze che agiscono a
distanza su tutte le particelle del sistema,
proporzionalmente alla loro massa. Fra queste si
ricorda la forza di gravità, alla quale
corrisponde il peso G della massa fluida
considerata. FORZE DI SUPERFICIE P Sono forze
che vengono esercitate su parte del sistema
attraverso una superficie di contorno A. Quando
la superficie di contorno tende a zero il
rapporto tra la forza agente sulla superficie e
la superficie stessa tende ad un valore finito F,
detto sforzo. Lo sforzo dipende dalla posizione
del punto considerato e dalla giacitura. La
forza elementare agente sullarea dA si ricava
quindi come dPFndA dove il pedice n rappresenta
il versore normale allelemento dA.
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Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino

• z rappresenta la quota alla quale si trova il
  punto considerato, viene detta quota geodetica.
• p/g è anchessa dimensionalmente una lunghezza,
  rappresenta laltezza corrispondente alla
  pressione in quel punto e viene detta altezza
  piezometrica.
• La somma zp/g è detta quota piezometrica ed in
  virtù della legge di Stevino è costante in tutti
  i punti di un fluido in quiete.

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Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino

• Ad esempio dati due punti A e B si ricava
• che consente, nota la quota piezometrica in un
  punto qualsiasi dellammasso fluido, di ricavare
  la pressione in ogni altro punto.

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Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino

• Poiché nella maggior parte dei casi pratici
  interessa non tanto la pressione bensì la
  differenza tra la pressione e la pressione
  atmosferica, usualmente si fa riferimento a tale
  differenza denotandola come pressione relativa
  per contro la pressione viene denominata
  pressione assoluta. Si indica
• pppatm
• dove si è indicato con p il valore della
  pressione assoluta e con p quello della pressione
  relativa.

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Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino

• Si dice piano dei carichi idrostatici assoluto il
  piano orizzontale sul quale la pressione assoluta
  è nulla.
• Si dice piano dei carichi idrostatici relativo il
  piano orizzontale sul quale la pressione relativa
  è nulla, ovvero la pressione assoluta uguaglia la
  pressione atmosferica.
• Una applicazione molto importante della legge di
  Stevino è rappresentata dalla misura della
  pressione attraverso piezometri, manometri
  semplici, manometri differenziali e manometri
  metallici.

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CINEMATICA DEI FLUIDI

• Caratteristiche del campo di moto
• Velocità vv(u,v,w)dx/dt
• Accelerazione Adv/dt
• Vorticità wrot v
• Traiettoria
• Luogo dei punti successivamente occupati dalle
  particelle fluide in moto
• Linea di corrente o di flusso
• Curva tangente in ogni punto al vettore velocità
  in quel punto
• Linea di emissione o di fumo
• Luogo dei punti occupati al generico istante da
  tutte le particelle transitate precedentemente da
  un prefissato punto del campo di moto

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CINEMATICA DEI FLUIDI

• Se si considera una linea chiusa non coincidente
  con una linea di corrente e tutte le linee di
  corrente che passano per tutti i punti della
  linea chiusa otteniamo un tubo di flusso che ha
  la proprietà di non venire mai attraversato dal
  fluido allistante considerato.
• Con riferimento ad un tubo di flusso di sezione
  dA, si definisce portata elementare dQ il volume
  di fluido che transita attraverso la sezione dA
  nellunità di tempo
• dQv?ndA
• Con riferimento ad una sezione finita
• Si definisce velocità media il rapporto tra la
  portata e larea della sezione
• VQ/A

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CINEMATICA DEI FLUIDI

• Moto permanente
• Le grandezze caratteristiche del moto non
  dipendono dal tempo
• Moto uniforme
• Le grandezze caratteristiche del moto si
  mantengono costanti lungo la traiettoria
• Moto vario
• Le grandezze caratteristiche del moto possono
  variare nello spazio e nel tempo

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Equazione di continuità

• Traduce il principio di conservazione della massa

La differenza tra la massa entrante allinterno
dellelementino attraverso la generica faccia e
quella uscente attraverso la faccia opposta
vale  (ad esempio, lungo la direzione x)
il bilancio della massa entrante ed uscente
attraverso tutte le facce deve uguagliare
laccumulo o diminuzione di massa subita nello
stesso intervallo di tempo cioè
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Equazione di continuità

• Per un fluido incomprimibile (rcost) lequazione
  di continuità assume la forma
• div v0
• Integrando su un volume finito W lequazione di
  continuità diventa

Per un fluido incomprimibile assume la forma
QeQu essendo Qe e Qu rispettivamente le portate
entranti ed uscenti dalla superficie
considerata. Per una corrente lequazione di
continuità si può scrivere nella forma Per un
fluido incomprimibile in moto permanente si ha
infine  QAVcost
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Funzione di corrente

• Nellipotesi di moto bidimensionale piano di un
  fluido incomprimibile, lequazione di continuità
  è
• si può definire una funzione di corrente y tale
  che
• Lungo una linea di corrente (tangente in ogni
  punto al vettore velocità) la funzione di
  corrente rimane costante, infatti si ha che

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Equazione di bilancio della quantità di moto

• Lequazione di conservazione della quantità di
  moto in forma differenziale
• Ovvero
• Considerando solo la forza di gravità come forza
  di massa agente, si ottiene la ben nota equazione
  del moto di Cauchy

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Equazioni di Navier-Stokes

• Nel caso di un fluido newtoniano il legame
  costitutivo, ovvero la relazione tra sforzi e
  deformazioni è del tipo
• In cui p è la pressione idrostatica, l e m sono
  due coefficienti di viscosità che dipendono dalle
  condizioni termodinamiche del fluido, dij è il
  delta di Kroenecker (d1 se ij, d0 se i?j).
• Ipotizzando che l e m siano costanti , ovvero che
  ci siano solo piccole differenze di temperatura
  allinterno del fluido , sostituendo
  nellequazione di conservazione della quantità di
  moto si ottengono le equazioni del moto di
  Navier-Stokes
• Nel caso di un liquido (fluido incomprimibile,
  rcost, per cui )
• In cui è la viscosità cinematica.

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Equazione di Eulero

• La relazione
• utilizzando la notazione tensoriale e
  considerando solo la forza di gravità tra le
  forze di massa, diventa
• Nel caso di fluido incomprimibile e perfetto,
  ovvero , si ha la nota equazione di
  Eulero

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Il teorema di Bernoulli

• Nellambito nel corso di idraulica, sotto le
  ipotesi di
• fluido perfetto, pesante e incomprimibile
• moto permanente
• era stato ricavato il ben noto teorema di
  Bernoulli
•  che esprime il fatto che il carico totale H si
  mantiene costante lungo la traiettoria.

• z è la quota geodetica
• p/g è laltezza piezometrica
• v2/2g è laltezza cinetica

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Il teorema di Bernoulli

• Si può dimostrare che se il moto, oltre che
  permanente, è anche irrotazionale (w0), il
  carico totale è costante dappertutto.

Moto non stazionario irrotazionale Se il moto è
irrotazionale, può essere definito un potenziale
di velocità f tale che Infatti se il moto è
irrotazionale, la relazione precedente soddisfa
la condizione di irrotazionalità Si può ricavare
che in questo caso
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Il potenziale di velocità

• Sostituendo la definizione della funzione
  potenziale di velocità
• nella equazione di continuità si ottiene
  lequazione di Laplace
• Il potenziale di velocità, dovendo soddisfare
  l'equazione di Laplace, è dunque una funzione
  armonica della posizione.
• La soluzione dell'equazione di Laplace con le
  opportune condizioni al contorno consente di
  determinare il campo di moto. Tale equazione,
  largamente studiata anche in campi diversi dalla
  Meccanica dei Fluidi ha alcune interessanti
  proprietà.
• In particolare, l'equazione di Laplace è lineare.
  Date due soluzioni dell'equazione di Laplace,
  qualsiasi combinazione lineare di tali soluzioni
  (ed in particolare la loro somma e differenza) è
  ancora soluzione. Questa proprietà consente di
  sovrapporre potenziali di moti elementari per
  ottenere i potenziali di moti più complessi.
• Nota bene
• Poiché tutti i moti irrotazionali ammettono
  lesistenza di una funzione potenziale, tali moti
  vengono anche indicati come moti a potenziale.