Sc

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Scénario Mathématiques Technologieautour de la
démarche dinvestigation Abdelkébir
Assrir Francis Bernard Académie de Rouen
Université dété de mathématiques  Mathématiques
et technologies  25 août 2011
abdelkebir.assrir_at_ac-rouen.fr /
francis.bernard_at_univ-rouen.fr
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Technologie
Découverte de différentes structures dont la
structure en treillis.
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Technologie
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Mathématiques
Étude dune famille de cadres ayant une forme
quadrilatère.
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Mathématiques
Modélisation mathématique de la situation.
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Technologie
Comment rendre le cadre rectangulaire et
indéformable ?
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Mathématiques
Quel est le parallélogramme qui présente une aire
maximale ?
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Programme
T
Découverte de différentes structures dont la
structure en treillis.
T
Observation dun objet technique construit en
structure treillis.
M
Étude dune famille de cadres ayant une forme
quadrilatère.
M
Modélisation mathématique de la situation.
T
Comment rendre le cadre rectangulaire et
indéformable ?
M
Quel est le parallélogramme qui présente une aire
maximale ?
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Technologie
Découverte de différentes structures dont la
structure en treillis.
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Technologie
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Mathématiques
Étude dune famille de cadres ayant une forme
quadrilatère.
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Pré-requis
Définition du parallélogramme quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles deux à
deux.
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Modélisation mathématique de la situation
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Comment obtenir plusieurs parallélogrammes dont
les côtés gardent toujours les mêmes longueurs
?
OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun
Construire un tel parallélogramme à laide de Géogébra. - Les longueurs ne changent pas lorsque lon déplace certains points. - On obtient toujours un parallélogramme. - Le logiciel est bien utilisé. III-2 III-3 IV-3 III-4
Réaliser un compte rendu. - Dessins représentant les situations. - Explications de la construction. - Codages (ou légendes). III-2 III-3 IV-3 III-4
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(No Transcript)
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Pré-requis
? Définition du parallélogramme quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles deux à
deux. ? Utilisation dun logiciel de géométrie
dynamique. Exemple de construction  préalable
triangle dont les 3 longueurs sont données.
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Modélisation mathématique de la situation
Un exemple de construction.   On construit un
parallélogramme ABCD. On déplace un point (par
exemple le point C)
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Modélisation mathématique de la situation
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Modélisation mathématique de la situation
Le quadrilatère ABCD nest plus un
parallélogramme !
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Construction à laide du logiciel Géogébra
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Quelques représentations de cette famille de
parallélogrammes
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Aides envisageables

• Vérification de la bonne compréhension de la
  situation et de la consigne
• On pourra encourager les élèves à reformuler la
  consigne en leur demandant quel travail
  doit-on effectuer ?
• Aide à la démarche de résolution
• Comment se nomme ce type de quadrilatère ?
• Quest-ce qui reste inchangé ? Comment réaliser
  ceci avec le logiciel ?
• Apport de connaissances et de savoir-faire
• Définition et propriétés caractéristiques du
  parallélogramme.
• Symétrie centrale.
• Cercle.

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Conclusions
? Un quadrilatère (non croisé) dont les côtés
opposés sont de même longueur deux à deux est un
parallélogramme. ? On ne peut obtenir un losange
ou un carré que si toutes les côtés ont la même
longueur. ? On peut obtenir des parallélogrammes
aplatis.
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Travail de recherche à la maison
Les élèves pourront rechercher dans leur
environnement proche ou dans différents supports
de documentation des exemples dutilisations
techniques du principe des parallélogrammes
articulés.
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Exercice Montrer que si lon déplace les points
C, D, E ou F, la position du réflecteur reste
inchangée par rapport à la table de travail.
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La balance de Roberval
Photo ( Wikipédia - Original uploader was AntonyB
at fr.wikipedia )
Certains manèges
La plate-forme élévatrice
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Technologie
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Problème à résoudre
Comment rendre le cadre rectangulaire et
indéformable ?
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Comment rendre le cadre rectangulaire et
indéformable ?
OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun
Décrire les solutions testées pour stabiliser le cadre. - Indication de la résistance à la poussée - Indication de la résistance à la poussée - Caractéristiques précisées facilité de mise en place, démontage aisé, solidité, etc III-3 III-4
Réaliser un compte rendu. - Schémas clairs - Trace écrite visible de loin III-3 III-4
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Les structures en treillis


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Les structures en treillis


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Mathématiques
Quel est le parallélogramme de cette famille qui
présente une aire maximale ?
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Pré-requis
? Savoir calculer laire dun triangle. ?
Résultat admis (constaté auparavant) Dans un
triangle rectangle, la longueur du côté opposé à
langle droit est supérieure à la longueur de
chacun des 2 autres côtés. ? Symétrie centrale.
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Construction à laide du logiciel Géogébra
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Aides envisageables

• Vérification de la bonne compréhension de la
  situation et de la consigne.
• Aide à la démarche de résolution
• Comment calculer laire du parallélogramme ABCD
  ?
• Comment décomposer le parallélogramme pour
  calculer son aire ?
• Repérer base et hauteur associée .
• Apport de connaissances et de savoir-faire
• Aire dun triangle.
• Aire dun parallélogramme (si déjà vu)
• Symétrie centrale et aire.

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Conclusions
? Pour cette famille de parallélogrammes le
périmètre reste inchangé, mais laire change. ?
Plus les angles aigus sont petits, plus laire
est petite. ? Dans cette famille de
parallélogrammes, cest le rectangle qui possède
laire la plus grande.
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Exercice
On considère le cadre rectangulaire
ci-dessous. Pour le consolider on a fixé deux
tiges - la première est représentée par la
diagonale BD, - la seconde est représentée par
le segment MN où M est un point de AB et N un
point de CD. Que peux-tu dire des aires de MID
et NIB ?
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(No Transcript)
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Proposition pour une évaluation des tubes qui
coulissent.
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Énoncé élève
On considère le dispositif ci-dessous, dans
lequel les deux tubes ont la même longueur, et
peuvent se déplacer sur deux axes parallèles. On
veut étudier ce dispositif pour savoir ce qui
change et ce qui reste invariable. Quels
quadrilatères obtient-on ? Que se passe-t-il si
les supports des tubes sont des droites ? Que
peut-on dire du périmètre et de laire des
quadrilatères de cette famille ?
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Compétences visées 1 Dans le programme de la
classe de cinquième
CONNAISSANCES CAPACITÉS
- Notion de droites parallèles, perpendiculaires. - Constructions géométriques. - Propriétés des parallélogrammes  parallélogrammes particuliers. - Symétrie centrale. - Tracer par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. - Construire des figures en respectant des contraintes. - Reconnaître - un parallélogramme - un parallélogramme particulier  rectangle, losange, carré. Reconnaître un centre de symétrie. Reconnaître le parallélogramme comme quadrilatère à centre de symétrie.
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2Pour lacquisition des connaissances et des
capacités du socle commun ? Compétence 3  Les
principaux éléments de mathématiques et la
culture scientifique et technologique.
PRATIQUER UNE DÉMARCHE SCIENTIFIQUE, RÉSOUDRE DES PROBLÈMES CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE
Rechercher, extraire et organiser linformation utile. Extraire les informations utiles. Repérer linvariance de la base et de la hauteur.
- Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes. - Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer. - Mesurer des longueurs. - Utiliser des instruments de construction. - Emettre des conjectures. - Confronter ses conjectures avec les résultats obtenus. - Construire différents parallélogrammes ayant même hauteur et même base. - Faire des propositions sur la nature du quadrilatère. - Interpréter les résultats obtenus en lien avec ses conjectures.
Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à laide dun langage adapté. - Présenter un résultat par une représentation adaptée. - Illustrer ses propos par des figures (éventuellement à main levée). - Expliquer la démarche engagée.
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2Pour lacquisition des connaissances et des
capacités du socle commun ? Compétence 3  Les
principaux éléments de mathématiques et la
culture scientifique et technologique.
SAVOIR UTILISER DES CONNAISSANCES ET DES COMPÉTENCES MATHÉMATIQUES CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE
Géométrie. Connaitre et représenter des figures géométriques. Utiliser leurs propriétés. - Dessiner avec précision des parallélogrammes ayant la même base et la même hauteur. - Coder correctement la figure.
Grandeurs et mesures. - Réaliser des mesures de longueurs, dangles, daires. - Calculer des valeurs en utilisant différentes unités. - Les mesures réalisées sont correctes et correspondent aux situations proposées par lélève. - Bon choix de lunité dans les calculs.
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2Pour lacquisition des connaissances et des
capacités du socle commun ? Compétence 7 
Lautonomie et linitiative.
ÊTRE CAPABLE DE MOBILISER SES RESSOURCES INTELLECTUELLES ET PHYSIQUES DANS DIVERSES SITUATIONS CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE
- Être autonome dans son travail savoir lorganiser, le planifier, lanticiper, rechercher et sélectionner des informations utiles. - Prise dinitiative pour lutilisation de la démarche. - Organiser son travail. - Sélectionner linformation utile. - Choix dune démarche appropriée. - Travail avec méthode. - Bonne exploitation des données du problème.
FAIRE PREUVE DINITIATIVE CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE
- Sengager dans un projet individuel. - Sintégrer et coopérer dans un projet collectif. - Se mettre au travail de façon autonome. - Travailler en groupe. - Etre actif, entreprendre, choisir sa démarche de résolution. - Coopérer avec ses camarades pour réaliser une partie du travail demandé.
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Les élèves sont amenés à constater que  ? Ces
quadrilatères ont deux côtés opposés parallèles
et de même longueur. Il sagit dune famille de
parallélogrammes. ? Tous ces parallélogrammes
ont  la même base et la même hauteur. Ce sont
des parallélogrammes de même aire. ? Le
parallélogramme de cette famille ayant un
périmètre minimal est le rectangle.
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Les élèves pourraient également observer que
cette famille  ? Contient toujours un
rectangle. ? Peut éventuellement contenir un
losange, un carré. ? Conséquence le rectangle,
le losange et le carré sont des parallélogrammes
(particuliers).