Numere naturale Generalitati (curs 1)

1
Numere naturaleGeneralitati(curs 1)

• www.salvatieducatia.ro

2
Numere naturale(generalitati)
www.salvatieducatia.ro

• Obiectivele acestui curs sunt sa cunoastem despre
  numerele naturale urmatorele lucruri
• Cum se scriu/citesc.
• Cum se reprezinta pe axa numerelor naturale.
• Asezarea in ordine crescatoare si descrescatoare
  a numerelor naturale.
• Reprezentarea literara a numerelor naturale.
• Aproximari si rotunjirea numerelor naturale.

3
Numerele Naturale(generalitati)

• www.salvatieducatia.ro

• In matematica exista 10 cifre (arabe), si anume
  
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Numerele naturale se scriu combinand aceste
  cifre arabe.
• Ex 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
• Ca sa avem o vizualizare cat mai buna a multimii
  numerelor naturale, cel mai bine este sa le
  reprezentam pe o axa.

4
Numerele Naturale(generalitati)

• www.salvatieducatia.ro

Pentru inceput o sa desenam o linie orizontala
pe care o sa incercam sa pozitionam numerele
naturale. Ce ar mai trebui reprezentat?
5

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Bineinteles ca avem nevoie de un punct de
plecare si acesta este 0, cel mai mic numar
natural. In acest moment avem linia pe care
reprezentam numerele naturale, avem originea, dar
nu avem stabilit sensul.
6

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Stabilim sensul axei prin sageata de la capatul
linie. Acesta va fi sensul de crestere al
numerelor naturale, numit si sensul
pozitiv. Pentru a pozitiona numerele pe axa ne
lipseste unitatea de masura.
7

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Acum avem definite toate elementele necesare
  pentru a reprezenta numerele naturale pe o axa
• - o dreapta
• - un sens pozitiv
• - o origine
• - o unitate de masura
• Ce trebuie sa facem sa vedem pozitia unui numar
  pe axa?
• NB! Daca ni se cere sa reprezentam pe o axa
  numere naturale, este obligatoriu sa desenam
  figura de mai sus.

8

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Trebuie sa trasam unitatea de masura pe axa (in
sensul pozitiv) de atatea ori cat este valoare
numarului cautat. De exemplu, numarul 2 este
pozitionat la doua unitati de masura de origine,
iar numarul 4 la patru unitati de masura de
origine.
9

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Daca avem un numar natural n, numar natural n1
se va reprezenta in dreapta lui n, la o unitate
de masura distanta. O sa spunem despre n si n1
ca sunt numere naturale consecutive. n este
predecesorul lui n1 n1 este succesorul lui n
10

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Dupa cum ati remarcat, cu cat un numar este
  reprezentat mai la dreapta pe axa numerelor
  naturale cu atat acest numar este mai mare.
  Astfel putem ordona crescator si descrescator
  numerele naturale.
• De exemplu, daca avem numerele
• 237, 458, 378, 754, 213, 563
• ordinea de asezare a acestora in sensul
  crescator este
• 213, 237, 378, 458, 563, 754
• si ordinea de asezare a acestora in sensul
  descrescator este
• 754, 563, 458, 378, 237, 213

11

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Sau mai putem scrie ca
• 213 lt 237 lt 378 lt 458 lt 563 lt 754
• si
• 754 gt 563 gt 458 gt 378 gt 237 gt 213

12

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Ca sa va fie cat mai usor sa ordonati numerele
  naturale in sens crescator sau descrescator cel
  mai bine este sa analizam numerele din punct de
  vedere al cifrelor sale
• - numarul care are cele mai multe cifre este mai
  mare (ex 1213 si 543)
• - daca numerele au acelasi numar de cifre, se
  analizeaza cifrele din stanga si anume daca cifra
  cea mai din stanga a unui numar este mai mare cu
  echivalenta de la celalalt atunci acest numar
  este mai mare. Daca si acestea sunt egale, se
  trece la urmatoarea cifra.
• Ex Sa presupunem ca trebuie sa spunem care
  numar este mai mare dintre 220 si 234.
• Observam ca cea mai din stanga cifra a numarului
  220 este cifra sutelor si este 2 iar cifra
  sutelor de la numarul 234 este 2. Deoarece 22,
  analizam urmatoare cifra (a zecilor). Numarului
  220 are cifra zecilor iar cifra zecilor de la
  numarul 234 este 3. Deoarece 3gt2, numarul 234 gt
  220
• Aceasta regula va este utila numai daca nu
  sunteti familiarizati cu comparatia numerelor
  naturale. Dupa ceva exercitii aceata regula o sa
  va intre in reflex.

13

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Sa facem cateva exercitii. Spuneti care numar
natural este mai mare 213 sau 234 Cifra sutelor
este 2 la ambele numere. Cifra zecilor este 1 la
213 si 2 la 234, cum 2gt1 rezulta ca
234gt213 Cifra unitatilor nu mai trebuie
analizata deoarece cifra zecilor a fost
diferita. 453 sau 457 Cifra sutelor este 4 la
ambele numere Cifra zecilor este 5 la ambele
numere Cifra unitatilor este 3 la numarul 453 si
7 la numarul 457, cum 7gt2 rezulta ca 457gt453 75
sau 544 Cifra sutelor este 0 la numarul 75 si 5
la numarul 544, rezulta ca 544gt75. In acest caz
putem aplica regula care spune ca daca un numar
are mai multe cifre decat un altul atunci acesta
este mai mare.
14

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Care numar natural este mai mare 1543 sau
234 Numarul 1543 are 4 cifre in componenta iar
numarul 234 are 3 cifre in componenta deci
1543gt234 1897 sau 1899 Cifra miilor este 1 la
ambele numere Cifra sutelor este 8 la ambele
numere Cifra zecilor este 9 la ambele
numere Cifra unitatilor este 7 la numarul 1897
si 9 la numarul 1899, cum 9gt7 rezulta ca
1899gt1897 375 sau 444 Cifra sutelor este 3 la
numarul 375 si 4 la numarul 444, cum 4gt3 rezulta
ca 444gt375 Cifrele zecilor si unitatilor nu mai
trebuiesc analizate deoarece cifra sutelor a fost
diferita
15

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Care numar natural este mai mic
• 445 sau 879
• Cifra sutelor este 4 la numarul 445 si 8 la
  numarul 879, cum 4lt8 rezulta ca 445lt879
• Cifra zecilor si unitatilor nu mai trebuiesc
  analizate deoarece cifra sutelor a fost diferita
• 4289 sau 4257
• Cifra miilor este 4 la ambele numere
• Cifra sutelor este 2 la ambele numere
• Cifra zecilor este 8 la numarul 4289 si 5 la
  numarul 4257, cum 5lt8 rezulta 4257lt4289
• Cifra unitatilor nu mai trebuie analizata
  deoarece cifra zecilor a fost diferita
• De retinut
• Pentru a stabili daca un numar este mai mare sau
  mai mic decat un altul avem 2 reguli
• Analizam care numar are in componenta mai multe
  cifre si stim ca cel care are mai multe cifre in
  componenta este mai mare
• Daca numerele au un numar egal de cifre in
  componenta, analizam cifrele similare ale
  numerelor de la stanga la dreapta asa cum am
  facut in exercitiile precedente.
• Cand o sa ne familiarizam cu acest tip de
  operatii o sa uitam cele doua reguli si ne vor
  parea banale sau chiar inutile dar pana atunci o
  sa incercam sa le aplicam.

16

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Sa facem un mic exercitiu
• Aranjati in ordine crescatoare urmatorele
  numerele 12, 43, 17, 34, 21, 14
• si in ordine descrescatoare numerele
• 25, 57, 43, 58, 79, 14
• dupa ce terminati, verificati raspunsul de la
  pagina urmatoare.

17

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Numerele asezate in ordine crescatoare sunt
• 12, 14, 17, 21, 34, 43
• si in ordine descrescatoare
• 79, 58, 57, 43, 25, 14
• daca nu ati raspuns corect mai urmariti o data
  cu atentie cursul de pana acum.

18

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Pentru a face cateva exercitii avem nevoie sa
  invatam sa folosim programul Excel
• Cateva notiuni de Excel

19

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Daca am reusit sa ne familiarizam cu acest
  program este timpul sa rezolvam cateva probleme
  (dati click pe textele de mai jos pentru a vedea
  textul problemei)
• 1. ARANJATI IN ORDINE CRESCATOARE NUMERELE
  NATURALE
• 2. ARANJATI IN ORDINE DESCRESCATOARE NUMERELE
  NATURALE

20

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• In problemele pe care o sa le rezolvam, o sa
  gasim reprezentarea literara a numerelor
  naturale. Aceasta presupune ca numerelor naturale
  li se substituie litere.
• Ca de exemplu
• - un numar natural oarecare, format din 2 cifre
  se reprezinta ab, (bineinteles ca in
  locul lui a si b poate fi oricare alta litera) si
  nu uitati sa puneti conditia ca .
• Prin aceasta reprezentare stim ca
  deoarece a poate lua valori de la 1 la 9
  si b de la 0 la 9

21

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• ab poate fi orice numar natural intre 10 si 99.
  In problemele pe care o sa vi se ceara sa le
  rezolvati o sa gasiti mereu una sau mai multe
  conditii pe care trebuie sa le indeplineasca a si
  b astfel incat sa avem mai putine rezultate
  posibile.
• De exemplu
• Aflati numarul natural de doua cifre care are
  suma cifrelor 3.
• Ce stim?
• Avem un numar natural de doua cifre
• ab,
• Care are suma cifrelor 3 a b 3

22

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Daca a b 3 atunci cea mai mare valoare pe
care o poate avea a este 3. Mai stim ca
Rezulta ca valorile posibile ale lui a sunt 1,
2 si 3. Pentru a1, avem
, numarul este 12 Pentru a2, avem
, numarul este 21 Pentru
a3, avem , numarul
este 30 Numerele naturale cautate sunt 12, 21 si
30. Daca aveti probleme cu rezolvarea
ecuatiilor, va recomand sa revedeti exercitiile
recapitulative din clasele I-IV.
23

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Daca am fi mai avut o conditie suplimentara in
sensul ca a sa fie mai mic decat b, din
rezultatele 12, 21 si 30 mai ramanea valabil
numai 12 (1lt2).
24

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
cifra zecilor

• a b c d

cifra miilor
cifra unitatilor
cifra sutelor
Mai puteau fi cifra zecilor de mii, a sutelor de
mii etc
25

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• De retinut
• - Un numar natural de forma aa are cifra
  unitatilor si zecilor egale (11, 22, 33, 44, 55,
  66, 77, 88, 99).
• - Daca doua numere naturale sunt egale, atunci
  cifrele unitatilor sunt egale, cifrele zecilor
  sunt egale etc.
• ab cd atunci a c si b d
• - numerele naturale se pot descompune asfel
• 
  etc

26

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Sa rezolvam cateva probleme folosind cunostintele
  dobandite pana cum
• Scrieti toate numerele naturale
• mai mici decat 5
• nenule, mai mici decat 7
• mai mici sau egale cu 4
• Mai mari sau egale cu 23 si mai mici decat 29
• Mai mari sau egale cu 38 si mai mici sau egale cu
  41
• Rezolvare

27

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• 2. Scrieti toate numerele naturale de trei
  cifre, ce se pot forma cu toate cifrele 4, 0, 7
• Rezolvare

28

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• 3. Scrieti cu litere un numar natural format
  din
• trei cifre
• trei cifre distincte
• trei cifre, cifra sutelor si unitatilor fiind
  identice
• trei cifre, cu cifra zecilor egala cu 5
• trei cifre, cu cifra zecilor mai mica decat 2 si
  egala cu suma cifrei sutelor si cifrei unitatilor
• trei cifre, avand cifra sutelor 4 si cifra
  unitatilor cu 2 mai mica decat cifra sutelor
• Rezolvare

29

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• 4. Care este cel mai mic si cel mai mare numar
  natural scris sub forma
• abc
• abc, format din cifre distincte
• aab
• a1ab, format din cifre distincte
• a9bb, format din cifre distincte
• Rezolvare

30

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Care este cel mai mare numar natural format din 3
  cifre, care are cifra zecilor 4.
• Care este cel mai mare numar natural format din 3
  cifre distincte, care are cifra zecilor 9.
• Care este cel mai mare numar natural format din 3
  cifre distincte, care are cifra zecilor 9 si suma
  cifrei sutelor si cifrei unitatilor egala cu 11.
• Care este cel mai mic numar natural format din 3
  cifre distincte, care are cifra unitatilor 1.
• Care este cel mai mic numar natural format din 3
  cifre distincte, care are cifra unitatilor 1 si
  suma cifrelor sutelor si zecilor egala cu 14
• Rezolvare

31

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• 6. Scrieti toate numerele naturale formate din
  patru cifre distincte care au suma cifrei miilor
  si a cifrei sutelor egala cu 4 si suma cifrei
  zecilor si cifrei unitatilor egala cu 4.
• Rezolvare

32

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Aproximarea unui numar natural poate fi prin
lipsa sau prin adaos. Aproximarea poate fi
facuta pana la zeci, sute, mii etc. Noi trebuie
sa obtinem un numar care sa contina numai cifra 0
dupa nivelul de aproximare. Daca ar fi sa scriem
literar Aproximarea prin lipsa sau adaos a
numarului abcde la nivelul miilor este af000, b
poate fi egal cu f
33

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Sa analizam aproximarea prin lipsa. La acest tip
de aproximare pastram aceeasi valoare pentru
cifra de referinta si o sa inlocuim cu zero toate
cifrele care sunt la dreapta cifrei de referinta
(daca se face aproximarea prin lipsa la nivelul
zecilor, cifra unitatilor o sa fie 0, daca se
face aproximarea prin lipsa la nivelul sutelor,
cifra zecilor si unitatilor o sa fie 0 etc) Sa
calculam aproximarea prin lipsa la nivelul
zecilor a numarului 453. Cifra zecilor este 5 si
cifra unitatilor va fi 0 453
450 Aproximarea prin lipsa la nivelul sutelor a
numarului 8734. Cifra sutelor este 7 si cifra
zecilor si unitatilor vor fi 0 8745 8700
34

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Aproximarea prin lipsa la nivelul miilor a
numarului 89453. Cifra miilor este 9 si cifrele
sutelor, zecilor si unitatilor vor fi 0 89453
89000
35

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Sa analizam aproximarea prin adaos. La acest tip
  de aproximare o sa inlocuim cu zero toate cifrele
  care sunt la dreapta cifrei de referinta (daca se
  face aproximarea prin adaos la nivelul zecilor,
  cifra unitatilor o sa fie 0, daca se face
  aproximarea prin adaos la nivelul sutelor, cifra
  zecilor si unitatilor o sa fie 0 etc), iar cifrei
  de referinta ii adaugam 1
• Sa calculam aproximarea prin adaos la nivelul
  zecilor a numarului 453. La cifra zecilor adaugam
  o unitate 516, cifra unitatilor va fi 0
• 453 460
• Aproximarea prin adaos la nivelul sutelor a
  numarului 8734. La cifra sutelor adaugam o
  unitate 718, cifrele zecilor si unitatilor vor
  fi 0
• 8745 8800

36

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Aproximarea prin adaos la nivelul miilor a
numarului 89453. Cifrele sutelor, zecilor si
unitatilor vor fi 0 si la cifra miilor adaugam o
unitate 9110. Pentru ca rezultatul este 10,
cifra miilor va fi 0 iar la cifra zecilor de mii
se adauga o unitate 819 89453
90000 Aproximarea prin adaos la nivelul sutelor
a numarului 987. Cifrele zecilor si unitatilor
vor fi 0, iar la cifra sutelor adaugam o unitate
9110, deci cifra sutelor va fi 0 iar la cifra
miilor se adauga o unitate 011 987 1000
37

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Calculati
• Aproximarea in lipsa pana la zeci a numarului
  5737
• Aproximarea in lipsa pana la sute a numarului
  5737
• Aproximarea in adaos pana la zeci a numarului
  5737
• Aproximarea in adaos pana la sute a numarului
  5737

38

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Aproximarea in lipsa pana la zeci a numarului
  5737 este 5730
• Aproximarea in lipsa pana la sute a numarului
  5737 este 5700
• Aproximarea in adaos pana la zeci a numarului
  5737 este 5740
• Aproximarea in adaos pana la sute a numarului
  5737 este 5800

39

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Rotunjirea numerelor naturale este aproximarea
prin lipsa sau adaos, la cea mai apropiata de
valoarea numarului respectiv Exemplu Rotunjiti
la zeci numarul 4576 - Aproximarea prin lipsa
pana la zeci este 4570 - Aproximarea prin adaos
pana la zeci este 4580 Rotunjirea este valoare
aproximarilor cea mai apropiata de de 4576, adica
4580. Daca ultima cifra a numarului ar fi fost
5, aproximare prin lipsa si prin adaos ar fi fost
egal departate. In acest caz rotunjirea se face
la aproximarea prin adaos.
40

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• In pagina precedenta am invatat o modalitate
  destul de greoaie de a rotunji numerele si sper
  ca nu v-ati speriat. Acum o sa invat un truc care
  o sa va ajute sa rotunjiti numerele fara
  probleme.
• Verificam cifra din dreapta cifrei de referinta
  si o comparam cu 5 si daca aceasta cifra este
• - mai mica decat 5, atunci aproximam in lipsa
• - daca este mai mare sau egala cu 5, atunci
  aproximam prin adaos
• Exemplu Rotunjiti la sute numarul 8739
• Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara
  cu 5 cifra zecilor, 3. Avem 3lt5, atunci se va
  face aproximarea prin lipsa pana la sute pentru
  numarul 8739 si obtinem rezultatul 8700.

41

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)

• Sa mai facem cateva exemple cu rotunjirea
  numerelor
• 1. Rotunjiti la sute numarul 4576.
• Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara
  cu 5 cifra zecilor, 7. Avem 7gt5, atunci se va
  face aproximarea prin adaos pana la sute pentru
  numarul 4576 si obtinem rezultatul 4600.
• 2. Rotunjiti la sute numarul 8950.
• Deoarece rotunjirea se face la sute, se compara
  cu 5 cifra zecilor, 5. Avem 55, atunci se va
  face aproximarea prin adaos pana la sute pentru
  numarul 8950 si obtinem rezultatul 9000.

42

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
Folosind cunostintele dobandite pana acum, sa
rezolvam cateva exercitii CAT ESTE APROXIMAREA
PRIN LIPSA PANA LA ZECI A NUMERELOR NATURALE CAT
ESTE APROXIMAREA PRIN LIPSA PANA LA SUTE A
NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN
LIPSA PANA LA MII A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE
APROXIMAREA PRIN ADAOS PANA LA ZECI A NUMERELOR
NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA PRIN ADAOS PANA LA
SUTE A NUMERELOR NATURALE CAT ESTE APROXIMAREA
PRIN ADAOS PANA LA MII A NUMERELOR NATURALE CAT
ESTE ROTUNJIREA PANA LA ZECI A NUMERELOR
NATURALE CAT ESTE ROTUNJIREA PANA LA SUTE A
NUMERELOR NATURALE CAT ESTE ROTUNJIREA PANA LA
MII A NUMERELOR NATURALE
43

• www.salvatieducatia.ro

Numerele Naturale(generalitati)
La finalul acestui curs ne-am insusit
cunostintele de baza despre numerele naturale si
o sa putem incepe sa ne jucam cu
ele. Important este sa dam atentie cursului si
sa incercam sa intelem cat mai bine cele
prezentate fara a apela la automatisme. Asa o sa
va fie mai usor in viitor.
44
Numerele Naturale(adunarea)

• www.salvatieducatia.ro

• Incercati sa rezolvati cat mai multe probleme
  din culegeri si urmati pasii si logica prezentate
  in acest curs.
• Daca aveti probleme in rezolvarea problemelor nu
  este o rusine sa va uitati la rezolvarile/rezultat
  ele de la sfarsitul culegerii.
• Daca vedeti rezultatul sau recomandarile pentru
  rezolvari o sa va fie mai usor sa rezolvati
  problema.
• Daca tot nu puteti rezolva problema intrebati
  profesorul cum se rezolva. El TREBUIE sa va
  raspunda.
• Incercati sa invatati zilnic la matematica.
  Decat sa invatati intr-o zi 7 ore si in restul
  sapatamanii sa nu faceti nimic la matematicam mai
  bine invatati cate o ora pe zi.