Mean-Variance Analysis continued

1
Mean-Variance Analysiscontinued
2
Context of risk-return portfolio optimization
Portfolio optimization
Implementation
performance
Dynamics
New information
risk
Market data
Statistical processing
3
Hovedpunkter

• Utvidelse av standard modellen
• Begrensninger for størrelse på handel, lån og
  transaksjonskostnader
• Formulere faktor-modeller

4
Risikofrie lån

• Short salg ikke tillatt, men lov å låne til
  risikofri rente
• Lånebeløp ,
• Forventet utbytte
• Varians uendret fordi lånerenten er risikofri

5
Risikofrie lån til ulike rentesatser

• Kan låne til renten for beløp opp til
• Rente for beløp opp til
• Lånebeløp
• Restriksjoner
• Forventet utbytte
• ? over null kun når

6
Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader

• Mange små posisjoner uønsket fordi
• Mange posisjoner ? høyere transaksjons-kostnader
  når porteføljen reviseres
• Mer omfattende overvåkning ? høyere
  driftskostnader

7
Max-grense for antall aktiva i porteføljen,
min-grense på posisjonsstørrelser

• Begrenser antall aktiva i porteføljen til ?
• Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null)
• Mean-variance-efficient portfolios with trading
  size limits
• Min
• s.t.
• for
  alle i1,,n
• for
  alle i1,,n

8
Transaksjonskostnader

• Effektivt forventet utbytte
• Forventet utbytte kostnader
• For små transaksjoner
• skalafordel? konkav trans.kost.funksjon
• For store transaksjoner
• innlikviditetskostnadene øker ? konveks
• Tilnærminger
• Trans.kostnader prop. med trans.størrelse
• Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde,
  deretter lineær

9
Lineær kostnadsfunksjon

• C0 Konstant kostnad for mengder opp til
• Forventet utbytte

10
Konstant for små transaksjoner, lineær for store
transaksjoner

• C0 Konstant kostnad for størrelser opp til
• C1 Prop. kostnader for større transaksjoner
• transaksjoner opp til
• transaksjoner over
• hvis aktiva i er inkludert
  med fast kostnad C0
• ellers

11
Konstant for små transaksjoner, lineær for store
transaksjoner (forts.)

• Forventet utbytte
• Restriksjoner

12
Mean-variance efficient portfolio with
transaction costs

• Min
• s.t.

13
Portefølje revisjon

• Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av
  en eksisterende portefølje.
• Dette involverer både kjøp og salg, og
  transakjsonskostnader må taes med.
• Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x0.

14
Portefølje rev., restriksjoner

• Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen
  zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading
  eller så skjer den ved enten kjøp eller salg.
• Restriksjonsområdene er gitt ved
• og
• For å modellere disse restriksjonene introduserer
  vi to ikke-negative variabler y1 og y-1 for kjøp
  og salg av aktiva i, slik at vi får xi x0i
  yi y-i

15

• Introduserer også to binærvariabler som følger
• Zsi 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir
  redusert gjennom salg, 0 ellers
• Zpi 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker
  gjennom kjøp, 0 ellers
• Ved revisjon blir det ofte også brukt en
  restriksjon på total endring i antall aktiva kalt
  portfolio turnover
• Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet
  og ser slik ut

16
Mean-variance efficient portfolio revision

• Minimize
• subject to
• 
  for alle i

17
Liabilities

• Value of liabilities is subtracted from the value
  of asets at the end of the planning period.
  Suppose that at the start the value of assets
  equals the value of liabilities.
• Return on liability
• Return of the assets minus liabilities
• Expected return of the surplus

18
Liabilities, continued

• Variance of the assets minus liabilities return
• Covariance matrix
• Where
• Any of the mean-variance models can be used now

19
3.4 Factor models of return

• Implementasjon av mean-variance
  optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne
  for middelverdi og varians og kovariansmatrisen
• Krever ofte veldig mange parametere.
• Eksempel Et kapitalforvaltnigsproblem hos SP500
  krever estimering av 1000 forventede avkastninger
  og 124750 kovarianser.

20
Factor models, forts.

• Skal her se på både en-faktor og multi-faktor
  modeller
• En-faktor modellen kom først og er forløperen til
  CAPM
• Multi-faktor modellen førte etter hvert til
  Arbitrage Pricing Theory

21
3.4.1 En-faktor modellen

• Avkastningen på det ite verdipapiret er relatert
  til den enkle faktoren gjennom den lineære
  relasjonen
• Variansen er gitt ved s2M og er normalfordelt
  med middelverdi 0 og varianse s2ei
• rM er avkastningen fra en markedsindeks

22

• Sensitiviteten til avkastningen er gitt med ß,
  som kalles factor loading
• Følgende antagelser ligger til grunn
• Kovariansen mellom det security specific
  restuttrykket og faktoren er 0, dvs.
  for alle i.
• Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs.
  for alle i ? i.
• Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå
  utlede parameterene som trengs i mean-variance
  modellen.

23

• Forventet avkastning fra verdipapiret
• Variansen til det ite verdipapiret er gitt ved
• Setter inn ri fra faktor modellen og får

24

• Kovariansen mellom verdipapir i og i er gitt
  ved
• Setter inn ri fra faktor modellen og får
• Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0

25

• Mean-variance optimization with single-factor
  models
• Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil
  til å lage en modell for effektive porteføljer.
  Forventet avkastning blir

26

• Porteføljevariansen blir
• Her er antallet parametere 3n2, som er mye
  mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med
  kovarians matrisen.

27
Mean-variance efficient portfolios with single
factor models

• Minimize
• subject to

28
Systematisk og ikke-systematisk risiko

• Skriver variansen som
• Snur om og får

29
Systematisk og ikke-systematisk risiko

• Porteføljebetaen ßp reflekterer sensitiviteten av
  avkastningen mot faktoren.
• Dette medfører at ved store antall investeringer
  i porteføljen vil den ikke-systematiske risikoen
  kunne diversifiseres bort.

30
En-faktor modeller og CAPM

• Dersom vi skriver en-faktor modellen som en
  lineær relasjon mellom avkastningen som er større
  enn markedsfaktoren og overskuddet mellom
  markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og
  fjerner restleddet e får vi
• Noe som er identisk med CAPM bortsett fra ai som,
  ifølge CAPM, skal være lik 0.

31
Multi-faktor modellen

• Multi-faktor modeller forbedrer estimatene funnet
  ved en-faktor modellen.
• Spesielt ved store restledd etter en-faktor
  modellen er det nyttig med flere faktorer.
• Utvidelsen er ganske grei, men det fins ingen
  enkel måte å velge faktorene på.
• Kaller faktorene fj, for j 1,2,..,K

32
Multi-faktor modellen

• Definisjon Avkastningen for verdipapir i henger
  sammen med faktoren fJ gjennom den lineære
  relasjonen
• Variansen til faktor j er gitt ved sJ2 og det
  security-specified restuttrykket ei er
  normaldistribuert med middelverdi 0 og varians
  sei2

33

• Antar, som med en-faktor modellen, at
  avkastningene er korrelert kun gjennom reaksjonen
  på fellesfaktorene. Vi gjør derfor følgende
  antagelser
• Kovariansen mellom restleddet og faktorene er 0.
  Dvs. Cov(ei,fJ) 0, for alle i,j.
• Kovariansen for risikofaktorene 0. Dvs.
  Cov(fJ.fJ) 0, for alle fJ? fJ
• Kovariansen til restleddene er 0. Dvs.
  Cov(ei,ei) 0, for alle i ? i

34

• Forventet avkastning
• Varianse
• Variansen blir kalkulert som en funksjon av ß,
  variansen til faktorene og variansen av restleddet

35

• Kovarians
• Kovariansen til verdipapirene er en funksjon av
  betaene til verdipapirene og variansen til
  faktorene.

36
Mean-variance optimization with multi-factor
models

• Kombinerer alt dette og lager en modell for å
  lage effektive porteføljer
• Sensitivitet

37

• Kan da skrive forventet avkastning for
  porteføljen som
• Porteføljevariansen blir

38
Mean-variance efficient portfolios with
multi-factor models

• Minimize
• subject to
• 
  for alle j1,2,.,K

39
Now what?
We developed capability to compute efficiently
VaR-optimal portfolios

• - Serious experiments with portfolios of interest
  to institutional investor
• 8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK,
  Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia
• 8 J.P. Morgan bond indices for the same markets
• time range January 1, 1999 May 15, 2002
• totally 829 daily price data
• A nice set to test risk management ideas 11
  September 2001, Argentinian crisis July 2001,
• more than 80000 mean-VaR optimization problems
  solved

40
Turbulent times
41
Turbulent times
42
Risk-return tradeoff
performance
in-sample efficient frontier
out of sample image of efficient frontier
risk
Past contains no information about the future
43
In sample mean-variance frontier and its out of
sample image
44
Out of sample drift of in sample mean-variance
frontier
45
Straighforward rebalancing
46
Partial rebalancing
47
Partial rebalancing low risk portfolio
48
Partial rebalancing medium risk portfolio
49
Partial rebalancing high risk portfolio
50
Fraction of US bonds in high risk portfolio
51
Fraction of Argentinian bonds in high risk
portfolio