Statistik Lektion 3

1
StatistikLektion 3

• Bernoulli og binomial fordelingerne
• Kontinuerte stokastiske variable
• Normalfordelingen

2
Repetition

• En stokastisk variabel X er en funktion defineret
  på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R.
• Diskret stokastisk variabel Tælleligt antal
  værdier
• Sandsynlighedsfordeling Tabel med ssh. for hvert
  x,
• P(X x) P(x) 0.
• Kumulativ fordelings funktion
• Middelværdi
• Varians
• Standard afvigelse
• Lineær transformation

3
Bernoulli fordelingen

• Hvis et eksperiment består af et enkelt forsøg og
  forsøget enten kan være en succes eller en
  fiasko, så kaldes forsøget for et Bernoulli
  forsøg
• En binær stokastisk variabel X er en Bernoulli
  variabel med sandsynligheds-parameter p, hvis
• Middelværdi og varians for en Bernoulli variabel
• E(X)
• E(X²)
• Hvis for eksempel p 0,7
• E(X) V(X)

P(Succes) P(X1) p og P(Fiasko) P(X0)
1-p.

• E(X2)

4
Flere forsøg

• Lad X1, X2,, Xn være n uafhængige Bernoulli
  variable, alle med samme sandsynligheds-parameter
  p.
• Definer X X1X2Xn
• Fortolkning X er det (tilfældige) antallet af
  succeser i n forsøg.
• Middelværdi og varians for antal succeser
• E(X) E(X1X2Xn)
• V(X) V(X1X2Xn)
• Hvad er sandsynlighedsfordelingen for X ?

5
Binomial fordeling

• Binomial fordelingen er resultatet af et
  Binomialt eksperiment
• Det Binomiale eksperiment består af et fast antal
  (n) Bernoulli forsøg.
• Så i hvert forsøg er der to mulige udfald, succes
  og fiasko.
• P(succes)p, dvs. sandsynligheden for success
  er den samme i hvert hvert forsøg. (Ligeledes for
  P(fiasko)1-pq)
• Forsøgene er uafhængige

6
Binomial fordeling - Eksempler

• Eksempler
• Kast med en mønt n gange. S(krone (succes), plat
  (fiasko)). Hvis fair mønt p0,5. Sandsynligheden
  er konstant og forsøgene er uafhængige, da et
  møntkasts udfald ikke påvirker udfaldet af det
  næste kast
• Træk et kort n gange. S(spar (succes), andet
  (fiasko)). P(spar)0,25 er konstant, hvis vi
  lægger kortet tilbage i bunken igen, ellers ikke.
  Uafhængige. Bemærk! Uden tilbagelægning vil
  P(nummer 2 spar, hvis nummer 1 er en spar)
  12/51 og dermed ikke konstant sandsynlighed

7
Sandsynlighed for Sekvens

• Vi udfører n5 uafhængige Bernoulli forsøg, hver
  med sandsynlighed p for succes.
• Lad betegne succes og 0 betegne fiasko.
• Hvad er sandsynligheden for sekvensen af udfald
• Svar
• hvor x er antallet af succeser.
• Bemærk Sandsynligheden afhænger kun af antal
  succer - ikke hvornår i sekvenser de kommer.

00
Uafhængighed
8
Sandsynlighed for 3 Succeser I 5 Forsøg

• Vi har stadig n5 uafhængige forsøg som før.
• Der er 25 32 mulige sekvenser af succeser og
  fiaskoer.
• Alle sekvenser med 3 succeser
• 00 00 00 00 00 00
  00 00 00 00
• Totalt 10 måder at får x3 succeser i n5 forsøg.
• Sandsynlighed for x3 succeser er

Antal sekvenser med 3 succeser
Sandsynligheden for en given sekvens med 3
succeser
9
Antal Sekvenser

• Antag vi udfører n Bernoulli forsøg.
• Hvor mange forskellige sekvenser med x succeser
  findes der?
• Svar
• hvor n
  fakultet
• Eksempel n 5 forsøg og x 3 succeser.

10
Binomial-fordelingen
Binomial sandsynligheds fordeling
hvor p er sandsynligheden for succes i et
enkelt forsøg, n er antallet af forsøg, og x er
antallet af succeser.
Egenskab
Notation
11
Formen På Binomial-fordelingen
p 0.1
p 0.3
p 0.5
n 4
n 10
n 20

• Binomial-fordelingen bliver mere symmetrisk, når
  n øges og p ? 0.5

12
Middelværdi, varians og standardafvigelse af en
Binomial fordeling
Antag XB(n,p)
Eksempel K tæller antallet af kroner i 5 kast
(n5) med en fair mønt (p0,5)
Middelværdi
Varians
Standardafvigelse
13
Kumulative Binomial-fordeling

• I Tabel 3 i appendiks (s. 848) er en tabel for
  den kumulative binomial-fordeling for n
  1,..,20.
• Eksempel n 10 studerende tilbydes en plads.
  Sandsynligheden for at en studerende accepterer
  er 40.
• Spørgsmål Hvad er sandsynligheden er at højst
  x6 studerende accepterer?
• Løsning Lad X være antal studerende der
  accepterer tilbuddet. Da gælder X B(10,0.4).
  P(X 6) F(6) 0.945.

14
Kumulative Binomial-fordeling

• Spørgsmål 20 studerende får tilbudt plads. Hvad
  er sandsynligheden for at mere end 12 studerende
  accepterer?
• Svar Vi antager at antal accept er X
  B(20,0.4).
• P(X gt 12) 1 - P(X 12) 1 - 0.979 0.021
• Spørgsmål 15 studerede får tilbudt plads. Antag
  sandsynligheden for accept er 70. Hvad er
  sandsynligheden for at mindst 12 accepterer?
• Svar Da vi ikke kan slå p 0.7 op ser vi på
  antal afviste.
• Antal afviste X B(15, 0.3).
• P(X 3) 0.297

15
Diskrete og kontinuerte stokastiske

• En kontinuert stokastisk variabel
• Måler (højde, vægt, hastighed, løn)
• Har et uendelig antal af mulige værdier
• Går kontinuert fra værdi til værdi
• Har ingen målelig sandsynlighed til hver
  individuel værdi
• Sandsynlighed er areal

• Diskret stokastisk variabel
• Tæller hændelser
• Har et tællelig antal af mulige værdier
• Har diskrete hop mellem efterfølgende værdier
• Har målelige sandsynligheder for hver enkelt
  værdi
• Sandsynlighed er højde

For eksempel Binomial n3 p.5 x P(x) 0 0.125
1 0.375 2 0.375 3 0.125 1.000
For eksempel Det skraverede område angiver
sandsynligheden for mellem 2 og 3 minutter.
16
Kontinuert Stokastisk Variabel og
Sandsynlighedstæthedsfunktion
Tæthedsfunktionen f(x)
Arealet under kurven f(x) er 1
Sandsynligheden for X mindre end 3 er det røde
areal
17
Kontinuert Stokastisk Variabel og
Sandsynlighedstæthedsfunktion

• Definition Lad X ? R være en kontinuert
  stokastisk variabel.
• f(x) er (sandsynligheds)tæthedsfunktionen for X
  hvis

Dvs. kurven f(x) er aldring under x-aksen
Dvs. arealet under kurven f(x) er 1
Dvs. sandsynligheden for X er mindre end a svarer
til arealet under kurven til venstre for a
18
Tæthedsfunktion og Kumulerede Fordelingsfunktion
P(X x) 0
Kumulerede fordelingsfunktion
F(3)
F(2)
Bemærk F(x) ?0, når x ? -8 F(x) ?1, når x ? 8
19
Middelværdi og Varians

• Stok. Var Diskret Kontinuert
• Regel
• Regel
• Middelværdi
• E h(X)
• EX2
• Varians
• Bemærk Integralerne kan typisk ikke udregnes.

20
Flere Regneregler

• Regneregler for middelværdi og varians er præcist
  som for diskrete stokastiske variable.
• Antag at X er en kontinuert stokastisk variabel
  med middelværdi m og varians s2.
• Da gælder
• Eksempel Standardisering

21
Uniform fordeling
uniform a,b tæthed
1/(b a) for a x b f(x)
0 ellers E(X) (a b)/2
V(X) (b a)2/12
Uniform a, b fordeling


f(x)
Arealet under f(x) fra a1 til b1 P(a1X b1)

(b1 a1)/(b a)
1/(b-a)
b
b1
a1
a
x
22
Uniform fordeling
uniform 0,5 tæthed
1/5 for 0 x 5 f(x)
0 ellers E(X) (0 5)/2 V(X)
(5 0)2/12
Uniform a, b fordeling


f(x)
Arealet under f(x) fra 1 til 3 P(1X 3)
(3
1)/(5 0) 2/5 0,4
1/5
3
1
5
0
x
23
Normal-fordelingen

• Normal-fordelingen er en vigtig fordeling, blandt
  andet fordi mange andre fordelingen, kan
  approksimeres til den.
• Desuden er mange teststørrelser normal-fordelte
  kommer senere i kurset
• Bland andre Carl F. Gauss (1777-1855) fandt frem
  til den, derfor kaldes den også den Gaussiske
  fordeling.

Gauss
Gaussfordeling
Må ikke printes -)
24
Normal fordelingen

• Dens kendetegn er
• Klokkeformet og symmetrisk omkring dens
  middelværdi
• Middelværdi median toppunkt
• Den er karakteriseret ved en middelværdi µ og
  varians s² (eller standard afvigelse s).
• Notation XN(µ,s²) betyder, at X følger en
  normal fordeling med middelværdi µ og varians s²
• Arealet under kurven indenfor zs af
  middelværdien, er den samme for enhver normal
  fordeling, uanset middelværdi og standard
  afvigelse.
• Er uanset parametre værdier, defineret for alle x
  (dvs x kan antage værdier fra minus uendelig til
  plus uendelig)

25
Tæthedsfunktionen for normal-fordelingen
Tæthedsfunktionen for normal-fordelingen
N
o
r
m
al-fordelingen


?



0
,

??



1
0
.
4
0
.
3
)
x
0
.
2
(
f
0
.
1
0
.
0
5
0
-
5
x
26
Eksempler på normal-fordelinger
µ 0.0
µ 1.0
µ 2.0
Samme varians
Samme middelværdi.
s 2.0
s 0.5
s 1.0
27
Standard afvigelsen s når XN(µ,s2)

• Cirka 68 af all observationer ligger indenfor en
  standard afvigelse fra middelværdien
• Cirka 95 af alle observationer ligger indenfor
  to standard afvigelser fra middelværdien
• Cirka 99.7 af alle observationer ligger indenfor
  3 standard afvigelser fra middelværdien

28
68
s
95
2s
99,7
3s
Arealet under kurven indenfor ks af
middelværdien, er den samme for enhver normal
fordeling, uanset middelværdi og standard
afvigelse.
29
Standard normal fordelingen

• Standard normal fordelingen, er normalfordelingen
  med middelværdi µ0 og standard afvigelse s1,
  ZN(0,1²)

Standard Normal fordeling
0
.
4
0
.
3

?1
)
z
(
f
0
.
2
0
.
1
0
.
0
5
4
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
? 0
Z
NB En standard normal fordelt stokastisk
variabel betegnes sædvanligvis Z.
30
Tabellen

• Den kumulative fordelingsfunktion F(x) for
  standard normal fordelingen er tabellagt i Tabel
  1 i Appendikset, side 841 for positive værdier af
  x.
• Figuren viser
• P(Z 1.21) F(1.21)

P(Z1.21)
F(1.21)
F(z) P(Z z)
31
Find P(Z lt 1.21) vha. Tabelopslag
P(Z 1.21 ) F(1.21) 0.8869
88,69
32
Find P(Z lt -1.76)

• Vi kan ikke slå F(-1.76) op i tabellen
• Da standard normal-fordelingen er symmetrisk
  omkring nul
• Vi har også
• Dvs.

P(Z 1.76)
P(Z -1.76)
P(Z 1.76)
Tabelopslag
P(Z 1.76)
33
Find P(1 Z 2)

• Der gælder

P(Z 2)
P(1 Z 2)
P(Z 2
34
Transformation til Standardnormal

• Efter en lineær transformation af normalfordelt
  stokastisk variabel er stadig en normalfordelt
  stokastisk variabel.
• Lad X N(m,s2) og definer Y aX b, så gælder
• EY aEX b am b
• VY a2VX a2s2
• Y N(am b, a2s2)
• Lad X N(m,s2) og definer Z (X-m)/s2, så gælder
• EZ 0
• VZ 1
• Z N(0,1)

35
Transformation Eksempel

• Antag studerende score til eksamen er
  normalfordelt med middelværdi 60 og
  standardafvigelse 15.
• Dvs. score X N(60,152)
• Spørgsmål Hvor stor en andel af de studerende
  har en score under 95? P(X 95) ?
• Ide Transformer problemet til et, der vedrører
  en standard normal-fordelt stokastisk variabel.
• Dvs. 99.01 af de studerende har en score under
  95.

36
Kumulative fordeling i Rcmdr
1
2
De R-kommadoer jeres peg-og-klik svarer til.
3
Output fra kommandoer