De l

1
De lart denseigner les mathématiques à la
didactique et à létude des situations
2
Des pratiques anciennes
Enseigner des techniques 0,5 Million dannées
Mathématiques 6000 Ans
éduquer les enfants 2 à 5millions dannées ?
3
et létude de ces pratiques
Étude des Mathématiques
Didactique Art denseigner tout à tous
Papyrus Rhind - 18ième siècle Av.JC
Comenius 1632
Lenseignement, lapprentissage et léducation
mathématique 18ième-21ième siècles
Pédagogie Art d éduquer les enfants
4
Au début du 20ième siècle, léducation nest
toujours pas lobjet dune Science
Didactique Art denseigner
Mathématiques
Philosophie
Pédagogie Art d éduquer
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Elle est un champ (scientifique ?)pour les
sciences constituées
Didactique Art denseigner
Pédagogie Art d éduquer
6
Didactique Art denseigner
Mathématiques
Certains proposent de fonder les méthodes
denseignement sur la connaissance scientifique
des processus psychologiques généraux et
notamment sur le behaviorisme. Mais en labsence
dune analyse systématique de stimuli
spécifiques, ce domaine ne peut proposer que des
prescriptions générales
Pédagogie Art d éduquer
7
Didactique Art denseigner
Mathématiques
Epistémologie

• De leur côté les mathématiques se développent,
  mais aussi elles se renouvèlent
• Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements,
  leur structure et la conception de leur mode de
  fonctionnement et de leur rôle social se
  modifient profondément
• Leurs rapports avec la logique, avec les autres
  sciences, avec lhistoire des concepts
  mathématiques - et donc avec leur lenseignement
  - se renouvellent au sein dun domaine nouveau de
  la philosophie lépistémologie, la théorie des
  sciences.

Pédagogie Art d éduquer
8
Didactique Art denseigner
Mathématiques
Epistémologie
Confrontation à la contingence ?
Histoire des Maths
Limitée à létude philosophique fondée sur des
évènements historiques passés, donc non
reproductibles, par définition, lépistémologie
nest pas une science expérimentale.
Pédagogie Art d éduquer
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Didactique Art denseigner
Mathématiques
Nouveaux résultats Nouvelle organisation
Epistémologie
Histoire des Maths
Lépistémologie pourrait proposer de nouvelles
conceptions et de nouvelles organisations de
lenseignement des mathématiques mais la
méthodologie ne peut pas les étudier de façon
expérimentale et scientifique
Pédagogie Art d éduquer
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Didactique Art denseigner
Mathématiques
Nouveaux résultats Nouvelle organisation
Epistémologie
Histoire des Maths
Épistémologie génétique
De plus, les conceptions pédagogiques et
méthodologiques classiques sont lobjet de
critiques de la part des sciences psychologiques
Pédagogie Art d éduquer
Psychologie cognitive
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Didactique Art denseigner
Mathématiques
Nouveaux résultats Nouvelle organisation
Epistémologie élargie
Confrontation à la contingence
Histoire des Maths
Épistémologie génétique
Psychologie cognitive
Ainsi dabord prolongée par lépistémologie
génétique (étude du développement des
connaissances chez lenfant) puis par la
psychologie génétique et cognitive.
lépistémologie élargie peut tendre à devenir une
science expérimentale.
Pédagogie Art d éduquer
12

• Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et
  de sa genèse, lépistémologie peut se soumettre à
  des expériences par lintermédiaire de la
  psychologie cognitive et génétique, puis par les
  neurosciences.
• Or les processus neurologiques ne déterminent pas
  seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne
  peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus
  individuels et collectifs de la création dun
  concept précis.
• Dautre part les apports de ces deux domaines
  semblent contredire fortement de nombreux
  principes de la méthodologie classique
• Or létude de la re-création des connaissances
  spécifiques au cours de processus didactiques
  peut fournir à lépistémologie une confrontation
  expérimentale plus directe de ses thèses avec la
  contingence.
• Cette étude est à la fois plus visible et plus
  nécessaire lorsque le développement rapide des
  mathématiques conduit à essayer de modifier la
  méthodologie de leur enseignement

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Didactique Art denseigner
Mathématiques
Epistémologie élargie
Confrontation à la contingence ?
Lépistémologie élargie ne peut toujours pas
étudier scientifiquement les conditions sociales
et culturelles de lapparition des connaissances
spécifiques, ni en concevoir de nouvelles à
partir des observations Elle ne peut donc pas
être la théorie de la méthodologie
Pédagogie Art d éduquer
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Pratiques et savoirs didactiques

• Comenius avait énoncé une série de principes et
  de règles fondamentales pour  enseigner toutes
  les matières y compris la morale - avec une
  méthode unique avec seulement quelques
  compléments particuliers.
•  Un seul maître suffit à nimporte quel nombre
  délèves, ceux dune même classe font la même
  chose simultanément,avec le même livre,
•  Tout ce qui doit être su doit être enseigné,
  comme actuel et utile, directement et sans
  détour 
•  Lenseignement direct fait voir les causes, il
  commence par les généralités et va ensuite aux
  détails. Les connaissances doivent être
  présentées une à une et une seule à la fois
• Il faut insister jusquà parfaite
  compréhension 
• Au début du 20ième siècle la discussion des
  principes de léducation appartient à la
  Pédagogie, Létude des méthodes préconisées par
  les grands éducateurs et/ou pratiquées par les
  professeurs fait lobjet de la Méthodologie.

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Les situations mathématiques

• En comparant la résolution des problèmes à
  lhistoire des concepts mathématiques, il
  apparaît que certaines conditions, qui
  disparaissent de lénoncé final, jouent un rôle
  essentiel.
• Ces conditions peuvent être considérées comme un
  milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce
  jeu peut être modélisé par une  situation .
• Ainsi chaque concept mathématique peut être
  associé à des conditions dans lesquelles un être
  humain est amené à produire, comme réponse, un
  comportement spécifique témoignant dune certaine
  connaissance dun concept mathématique
• La notion de  situation  que nous définirons et
  étudierons dabord, élargit donc la notion de
   problème  et permet dintroduire dautres
  paramètres que la validité logique (Ex.
  efficacité).
• Cf. énoncés ? théorèmes ? problèmes ? situations

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Schéma dune Situation mathématique
Connais-sances
Figure 1
Milieu matériel, social etc.
Invention apprentissage
Sujet apprenant
adaptation
17
Connaissances et savoirs mathématiques

• Nos connaissances mathématiques sont le résultat
  dactivités complexes, individuelles et
  collectives très diverses. Une partie dentre
  elles peut sexprimer par des termes, des
  définitions, des théorèmes, et sont des
  références culturelles, ce sont les
  connaissances - savoir . Appelons les
   savoirs 
• Dautres interviennent dans les décisions mais
  elles sont instables, incertaines ou même fausses
  ou inexprimables, elles naissent et disparaissent
  selon les circonstances mais elles sont
  indispensables à la pensée et à lapprentissage.
  Appelons les connaissances
• Enseigner les mathématiques consiste à enseigner
  les savoirs et lusage des connaissances. Il ny
  a donc pas dautre moyen que de susciter chez les
  élèves des activités similaires à celles des
  mathématiciens qui les produisent.
• Tout apprentissage est un phénomène
  épistémologique

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• De façon classique lactivité mathématique est
  provoquée par des problèmes et des exercices
  obtenus en transformant le texte de certains
  théorèmes. Cette méthode présente linconvénient
  dinstaurer lorganisation standard des textes
  mathématiques comme le modèle de la pensée
  mathématique naturelle et vivante et ainsi de
  réduire cette pensée créative à sa fonction de
  démonstration.
• La responsabilité de cette représentation de la
  pensée mathématique repose entièrement sur le
  professeur qui est conduit à réprimer tout écart
  à ce modèle.
• Les connaissances éventuellement provoquées par
  le problème doivent être immédiatement traduites
  en savoirs ou réprimées
• Toute manifestation dune connaissance que le
  professeur sait être une erreur ou une
  digression, devient une faute quil doit
  réprimer.
• Il en résulte une tension qui est difficile à
  supporter pour la plupart des élèves et des
  professeurs . Les connaissances deviennent
  sulfureuses et lactivité mathématique devient
  individuelle et solitaire.

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• Remplacer certains problèmes par des situations
  permet de déférer une part cette responsabilité à
  un milieu chargé de laisser libre cours à la
  pensée de lélève, et de lui en montrer les
  conséquences, indépendamment du professeur qui
  devient alors disponible pour une attitude
  positive.
• Toute la difficulté de lingénierie didactique
  consiste alors à faire que les réactions du
  milieu soient instructives, cest-à-dire
  conduisent assez rapidement à résoudre le
  problème (souvent caché) en comprenant sa
  résolution. Autrement dit quil produise des
  réactions non seulement correctes mais
  suggestives et pertinentes, cest-à-dire
  spécifiques de la connaissance à produire et
  adaptées à la démarche de lélève.
• Un milieu faiblement significatif, qui se borne
  par exemple à indiquer  réussite/échec  sans
  que chaque expérience apporte dautre information
  que lélimination dune issue possible est un
  milieu très dispendieux et inefficace
• La relation didactique peut être modélisée par un
  système composé dun élève et dun milieu dont le
  professeur nest quune partie. Ce modèle permet
  de mieux analyser les observations des épisodes
  de classe

20
Lépistémologie expérimentale

• Les situations retiennent des ensembles de
  conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui
  rend possible leur reproduction et leur analyse à
  laide de leurs effets sur les décisions des
  élèves.
• Noter bien quil sagit dune étude des
  situations et non pas dune étude des élèves.
• Ainsi les situations permettent,
• - de reproduire à volonté des phénomènes pour les
  étudier, ce qui fonde lépistémologie
  expérimentale des mathématiques
• - déprouver et daméliorer des dispositifs pour
  lenseignement dune connaissance, ce qui fonde
  lingénierie didactique
• - détudier les dispositifs pour la psychologie
  du développement des connaissances des élèves

21
Didactique Art denseigner
Mathématiques
Epistémologie Expérimentale
Confrontation à la contingence ?
Étude des Situations mathématiques
Pédagogie Art d éduquer
22
Les situations didactiques

• Les situations mathématiques sont utilisées pour
  faire produire et apprendre aux élèves des
  connaissances mathématiques. Ces connaissances
  apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui
  leur est spécifique et qui permet à lélève de
  les reconnaître, de les comprendre, de les
  apprendre et de les utiliser.
• Aucune intervention extérieure nest nécessaire
  pour la construction historique des
  mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par
  contre, dans les processus dapprentissage,
  lintervention du professeur et de la société
  sont indispensables et le sens des mathématiques
  enseignées peut en être changé.
• Il faut donc reprendre létude des situations
  mathématiques en considérant chacune comme une
  partie dune situation didactique. Celle-ci sera
  définie comme  un système de conditions qui
  permet à un professeur et à un groupe délèves de
  sacculturer à une partie déterminée des
  mathématiques .

23
Le  triangle didactique 
Savoir scolaire
Figure 2
Transposition didactique
Système Educatif
apprentissage
Elève
communication
24
La situation didactique utilise des situations
mathématiques
Ce schéma évite la confusion des fonctions
Et léviction du milieu
25

• Note sur le milieu, les situations et les
  problèmes.
• La situation est composée de règles (dun jeu)
  proposées par le professeur et dun milieu
  composé de contingences matérielles et des
  savoirs de lélève
• Le milieu et les règles déterminent ensemble la
  trouvaille probable de la réponse et de la
  solution.
• Mais la validité des  informations qui
  apparaissant dans les rapports de lélève avec
  le milieu ne sont plus de la responsabilité du
  professeur.
• Celui nétant donc plus obligé de dénoncer et de
  rectifier immédiatement celles quil sait
  fausses, comme il est obligé de le faire dans le
  cas de la résolution dun problème, peut laisser
  se développer une activité mathématique
  authentique et publique de la part de lélève,
  sans déroger à sa mission de professeur, garant
  de la vérité de qui apparaît
• Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de
  son rôle, une situation devient un simple
  problème, cest-à-dire une reconstitution de
  texte suivant la logique de lexposé dun texte.
  Ce qui ne simule et ne développe quune des
  composantes de lactivité mathématique et qui en
  modifie la signification et lusage

26
Mathématiques
Didactique Art denseigner
Epistémologie Expérimentale
Situations mathématiques
Pédagogie Art d éduquer
27
Mathématiques
Didactique Art denseigner
Epistémologie Expérimentale
Microdidactique
Domaines de la Didactique des Mathématiques
abordés dans ce cours
Macrodidactique
Pédagogie Art d éduquer
28
Mathématiques
Approches globales
Didactique Art denseigner
Epistémologie Expérimentale
Théories des situations
Théorie anthropologique
Champs conceptuels
Registres
Pédagogie Art d éduquer
Approches locales
29
Mathématiques
Epistémologie Expérimentale
Didactique Art denseigner
Didactique empirique des mathématiques
Pédagogie Art d éduquer
30
Létude des situations

• Programme du cours

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1ère Partie
2ème Partie
Situations mathématiques
Curriculums mathématiques
Ingénierie Mathématique et didactique
Observations longitudinales
Méthodes dobservation des curriculums
didactiques
Modélisation et Eléments Fondamentaux des
curriculums
Théorie des curriculums didactiques en
mathématiques
Méthodologie de la recherche expérimentale
32
3ème Partie
4ème Partie
Macrodidactique des mathématiques
Situations didactiques en mathématiques
Observations macrodidactiques
Observation dépisodes didactiques
cadres conceptuels
Méthodes dobservation des situations didactiques
Modélisation des phénomènes systèmes à agents
didactiques

• Théories behavioristes et économiques
• Théories Anthropologiques du Didactique
• Ethno mathématiques

Méthodologie de la recherche expérimentale en
didactique
33
4ième Partie Phénomènes de Macro didactique

• La microdidactique étudie comment les
  connaissances humaines sont diffusées,
  reproduites et utilisées par les individus et par
  les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée
  à la microéconomie.
• La théorie des situations didactiques appartient
  à la microdidactique. Elle étudie la relation
  didactique
• Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique,
  cest-à-dire létude scientifique de tous les
  phénomènes en rapport avec la diffusion des
  connaissances mathématiques dans les différentes
  sociétés humaines?
• Dans ce cas, lethnomathématique serait la partie
  anthropologique de la macrodidactique des
  mathématiques
• - La Théorie Anthropologique du Didactique
  (Anthropologie des savoirs) fera lobjet dun
  chapitre introductif à part