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Lógica de Descrição x Lógica modal

• Everton Guerra Marques

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Roteiro

• Introdução à lógica Modal
• Saul Kripke
• Lógica modal K
• Lógica de Descrição x Lógica modal K
• Conclusão
• Referências

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Introdução à lógica modal

• Principais contribuidores da lógica modal
• Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a
  lógica moderna, composta pelas três tradições
  semântica, algébrica e sintática.
• Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um
  dos mais importantes filósofos vivos. Publicou
  Semantical Considerations on Modal Logic em 1963,
  onde propôs uma resposta a uma dificuldade da
  teoria clássica da quantificação.
• Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica
  temporal.
• Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema
  de lógica dinâmica
• Arthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e
  contribuiu com a lógica intencional.

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Introdução à lógica modal

• A Lógica Modal faz parte da pesquisa atual em
  diversas áreas da ciência da computação.
• Encontram-se algumas aplicações na área de
• Inteligência artificial
• Representação do conhecimento e dedução
  automática
• Especificação formal de sistemas
• Engenharia de software e lingüística
  computacional.

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Introdução à lógica modal

• A Lógica Modal pode ser encarada como uma
  extensão da Lógica Proposicional.
• Grande parte das lógicas modais teve origem em
  uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K.
• A lógica K leva este nome em homenagem a Saul
  Kripke por sua contribuição.
• A Lógica Modal é bastante utilizada na análise
  semântica, visto que as representações dos
  conectivos modais permitem expressar advérbios,
  dentre os quais a Lógica Clássica não pode
  representar.

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Introdução à lógica modal

• Uma compreensão da Lógica Modal é particularmente
  valiosa na análise formal de argumento filosófico
  onde expressões da família modal são comuns e
  confusas.
• Trata-se da lógica do "é necessário que"
  (representado por ?") e do é "possível que"
  (representado por ?).
• Portanto, não considera apenas a veracidade e a
  falsidade das proposições como se apresentam, mas
  como seria se fossem diferentes.

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Introdução à lógica modal

• Como um operador pode ser derivado do outro,
  pode-se manter uma representação de apenas um
  deles e fazer uma transformação na expressão
  trabalhada sempre que se encontra o outro.
• Há algumas variações de lógica modal, dependendo
  de quais axiomas são incluídos no conjunto de
  axiomas básicos (da lógica proposicional).

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Introdução à lógica modal

• Há outros operadores lógicos que podem ser
  derivados dos já definidos (os quatro da lógica
  proposicional, mas os dois acima citados).
• Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter
  uma notação padrão, é comum representá-lo por f1
  f2 .
• A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e
  f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1 f2
  é falsa. Caso contrário é verdadeiro.

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Introdução à lógica modal

• Esta lógica permite analisar não só o que dizem
  as coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo
  alternativo não factual, mas possível.
• Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades
  que são geradas por asserções neste mundo real e
  em outros possíveis mundos, visto que se chama de
  mundo possível uma situação contra-fatual que não
  aconteceu, mas poderia ter acontecido.
• Neste sentido, uma proposição será necessária em
  um mundo se ela é verdadeira em todos os
  possíveis mundos relacionados com este, e
  possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo
  menos um daqueles mundos relacionados a este.

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Introdução à lógica modal

• Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos
  conectivos são inseridos dois novos conectivos
  unários (modalidades)

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Introdução à lógica modal

• Linguagem das lógicas modais
• Alfabeto Símbolos lógicos, e símbolos
  proposicionais (P).
• Linguagem é menor conjunto que
• então
• então com
• então

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Introdução à lógica modal

• Aplicações
• Solução de problemas de sentenças proposicionais
• Análise formal de argumento filosófico
• Estudo da inteligência artificial

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Saul Kripke

• Saul Aaron Kripke
• nascido em 1940 em Omaha, Nebraska.
• É amplamente reconhecido como um dos filósofos
  vivos mais importantes. Sua obra é muito
  influente em diversas áreas da filosofia, desde a
  lógica até a filosofia da mente, passando pela
  filosofia da linguagem.
• Ele é professor emérito em Princeton e professor
  de filosofia na City University of New York
  (CUNY).
• Boa parte da sua obra é inédita, e circula na
  forma de gravações de áudio e cópias de
  manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock
  em Lógica e Filosofia.

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Saul Kripke

• Kripke é conhecido principalmente por quatro
  contribuições para a filosofia
• uma semântica para a lógica modal e outras
  lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha
  menos de vinte anos de idade
• suas conferências Naming and necessity,
  proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em
  1972 e 1980)
• uma interpretação controversa de Wittgenstein
• sua teoria da verdade

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Saul Kripke

• Dois dos primeiros trabalhos de Kripke (A
  Completeness Theorem in Modal Logic e
  Considerations on Modal Logic) influenciaram
  amplamente a lógica modal.
• Em Semantical Considerations on Modal Logic,
  publicado em 1963, Kripke responde a uma
  dificuldade da teoria clássica da quantificação.
• Toda a motivação para a abordagem relativa a
  mundos era refletir a idéia que objetos
  existentes em um mundo podem não existir em
  outro.

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Saul Kripke

• Todavia, se as regras de quantificação padrão são
  utilizadas, cada termo deve referir a algo que
  existe em todos os mundos possíveis.
• Isso parece incompatível com nossa prática comum
  de usar termos para nos referirmos a coisas que
  existem apenas contigentemente, não
  necessariamente.
• A resposta de Kripke a essa dificuldade foi
  eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma
  interpretação relativa a um mundo que preserva as
  regras clássicas.
• Todavia, o custo para a solução do problema foi
  caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida
  artificialmente. Segundo, as regras para a lógica
  modal proposicional devem ser enfraquecidas.

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Lógica Modal K

• Grande parte das lógicas modais teve origem em
  uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que
  leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua
  contribuição.
• Um modelo de Kripke é uma tripla m ltWm,Rm,hmgt
  tal que
• Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis
  de m
• Rm C Wm x Wm representa a relação de
  acessibilidade de m
• hm  ? ? ?(Wm) é uma função que estabelece um
  valor de verdade arbitrário para cada fórmula
  atômica da linguagem e um valor para cada fórmula
  molecular em vista dos valores das fórmulas
  atômicas.

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Lógica Modal K

• Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima (K)
• Primeiramente definiremos a sintática da lógica
  modal por sua axiomática. Existem vários tipos de
  lógica modal, começaremos descrevendo a
  axiomática da menor lógica normal, também chamada
  de lógica K
• Axiomas
• A0) Todas as tautologias clássicas
• K)

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Lógica Modal K

• Regras de Inferência
• Modus Ponens
• Necessitação
• Obs. Para podermos derivar temos que ter
  provado A, não é sempre verdade que

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Lógica modal K

• Estrutura de Krypke
• Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R)
  onde
• W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto
  de mundos possíveis
• é uma relação binária. Relação de acessibilidade.
• Modelo de Krypke
• µ (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente
  se
• (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva
  símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles
  são verdadeiros.

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Lógica modal K

• No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W
  s1s2 s3 s4 s5 e a relação de
  acessibilidade é R (s1 s2) (s1 s3) (s3
  s3) (s3 s4) (s2 s4) (s2 s5)(s4 s1) (s4
  s5) (s5 s5)g. O frame é F (WR).

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Lógica Modal K

• No exemplo da figura 2 o frame é o mesmo da
  figura 1 e a função V é
• V (p) s3 s4 s5
• V (q) s1 s5
• V (r) s1

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Lógica modal K

• Uma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma
  classe Kr de modelos de Kripke.
• O sistema K é o menor dos sistemas modais
  normais, isto é, a interseção de todos os
  sistemas modais normais, justificado pelos
  seguintes princípios
• se trata de um sistema de lógica modal, visto que
  se trata de um conjunto de axiomas e regras de
  inferência que representam formalmente o
  raciocínio válido
• é fechado para modus ponens e necessitação, isto
  é, se A é uma tese então ? A é uma tese

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Lógica modal K

• contém os axiomas K e Df ?
• K (?(A ? B)) ?((? A) ? (? B))
• Df? (? A) ? ((? A))
• Uma assinatura é uma família C Cnn?N tal
  que cada Cn é um conjunto, sendo que Cn n Cm ø
  se n ? m. Os elementos do conjunto Cn são
  chamados conectivos n-ários. Em particular, os
  elementos de C0 são chamados constantes. O
  domínio de C é o conjunto
  C ?Cn  Cn ? N

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Lógica modal K

• Uma assinatura modal é uma assinatura C tal que
  C1 ,?, ?, C2 ?,?,?,? Cn ø se n ? 1,
  n ? 2.
• É importante observar que a relação de
  conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida
  a partir de diferentes semânticas de Kripke.

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Lógica de Descrição
• Descende das redes de heranças estruturadas
• Tentou resolver ambigüidades em redes semânticas
  e frames que eram herança da falta de uma
  semântica formal.
• Restrição a um pequeno conjunto de operadores
  adequadamente epistemológicos para conceitos
  definidos (Classes).
• Importância de procedimentos de inferência
  básicos bem definidos.
• Primeira implementação KL-ONE.
• Primeira aplicação Processamento de linguagens
  naturais. Agora é aplicado em outros domínios.

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Família de formalismos de representação de
  conhecimento baseado em lógica apropriada para
  representação de e explicação sobre
• Conhecimento terminológico
• Configurações
• Ontologias
• Esquema de Banco de Dados

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Sistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura

29
Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Sistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Linguagem de descrição (DL ALC)

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Uma lógica de descrição (DL ALC)
• Comumente caracterizada por um conjunto de
  construtores que permitem a construção de
  conceitos e papéis complexos através de itens
  atômicos
• Conceitos correspondem a classes / São
  interpretados como um conjunto de objetos
• Papéis correspondem a relações / São
  interpretados como relações binárias sobre
  objetos
• Exemplo Pai feliz em DL ALC

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Semântica formal Baseado em interpretação assim
  como em predicados lógicos

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Sintaxe e Semântica de ALC
• Semântica dada por significados de uma
  interpretação

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Antigamente, lógicas de descrição não pareciam
  ser nada mais do que uma notação para falar sobre
  conhecimento estruturado.
• Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e
  semântica próprias, modelos e teorias de prova,
  em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se
  possível relacionar lógicas de descrição com
  outras áreas da lógica.
• Em particular, a conexão entre lógicas de
  descrição de um lado e lógicas modais do outro
  lado receberam atenção especial.

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Schild (1991) foi o primeiro a fazer
  explicitamente a conexão entre a lógica de
  descrição e a lógica modal.
• Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas
  de descrição e lógicas dinâmicas proposicionais,
  que são lógicas desenvolvidas para raciocínio
  sobre programas.
• Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini
  identificaram a correspondência entre lógicas de
  descrição e a lógica multi-modal K.
• A seguir, segue o mapeamento entre lógica de
  descrição e a lógica modal K.

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

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Lógica de Descrição X Lógica Modal K

• Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

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Conclusão

• Schild (1991) mostrou que algumas lógicas de
  descrição são variantes notacionais de certas
  lógicas modais.
• Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na
  lógica modal, chamada de versão multi-modal da
  lógica K.
• Atualmente conceitos ALC e fórmulas em
  multi-modal K podem imediatamente serem
  traduzidas de uma para outra.
• Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e
  somente se a fórmula K correspondente for
  satisfatível.

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Conclusão

• Pesquisas sobre a complexidade do problema da
  satisfatibilidade para lógicas proposicionais
  modais foram iniciadas pouco tempo antes da
  complexidade das lógicas de descrição ser
  investigada.
• Conseqüentemente, essa relação tornou possível
  pegar emprestado da lógica modal resultados
  complexos, técnicas de raciocínio e construtores
  de linguagens que não eram considerados
  anteriormente em Lógicas de Descrição.

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Conclusão

• Por outro lado, existem características da lógica
  de descrição, que não tiveram contrapartidas na
  lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias
  extensões ad hoc das técnicas de raciocínio
  desenvolvias para a lógica modal.
• Em particular, restrições de números, bem como o
  tratamento de indivíduos no ABox, exigiram
  tratamentos específicos baseado na idéia de
  reificação, o que equivale a expressar as
  extensões através de um tipo especial de axioma
  dentro da lógica.

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Referências

• Wikipédia Lógica modal
• http//pt.wikipedia.org/wiki/LC3B3gica_modal
• Wikipédia Saul Kripke
• http//pt.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke
• Lógica formal Meu TG
• http//www.cin.ufpe.br/tg/2007-2/egm2.pdf
• Modal Logics And Description Logics
• Rijke, M. Modal Logics And Description Logics.
  IILC, University of Amsterdam

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Referências

• An Overview of Tableau Algorithms for Description
  Logics
• Baader, F. Sattler, U. An Overview of Tableau
  Algorithms for Description Logics. LuFG
  Theoretical Computer Science, RWTH Aachen,
  Germany
• An Introduction to Description Logics
• Nardi, D. Branchman, R. An Introduction to
  Description Logics.
• Nonstandard Inferences in Description Logics
• Baader, F. Nonstandard Inferences in Description
  Logics. Theoretical Computer Science. RWTH
  Aachen. Germany.Workshop

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Referências

• Description logic
• Baader, F. Cartzen, L. Description logic. E-book
• Description Logics - Basics, Applications, and
  More
• Horrocks, I. Description Logics-Basics,
  Applications, and More. Information Management
  Group. University of Manchester, UK. Workshop
• Tableau Algorithms for Description Logics
• Baader, F. Tableau Algorithms for Description
  Logics. Theoretical Computer Science. RWTH
  Aachen. Germany.Workshop