TR

1
TRÁFICO 2012
2

DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO

• Aplicación de la teoría de probabilidad a la
  solución de problemas concernientes a la
  planificación, evaluación del desempeño,
  operación y mantenimiento de los sistemas de
  telecomunicación.
• Herramientas matemáticas procesos estocásticos ,
  teoría de colas y simulación numérica

3
OBJETO DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO

• El objetivo de la teoría de teletráfico es el
  desarrollo de modelos matemáticos que permitan
  derivar la relación entre capacidad y grado de
  servicio. El conocimiento proporcionado por la
  modelización de los sistemas será la base en la
  toma de decisiones operacionales y económicas.
• Hacer el tráfico mesurable en unidades bien
  definidas a través de modelos matemáticos y
  derivar relaciones entre grado de servicio y
  capacidad del sistema, de manera que la teoría se
  convierta en una herramienta de planificación de
  inversiones. (Iversen).
• Diseñar sistemas que se adapten a la carga de
  trabajo, con un desempeño mesurable y con una
  optimización de los costes.

4
GRADO DE SERVICIO

• Definición
• Número de variables de ingeniería de tráfico que
  proveen una medida del desempeño de un grupo de
  recursos bajo unas condiciones específicas.
• Los valores de referencia asignados a las
  variables de tráfico constituyen los estándares
  del Grado de Servicio
• Los valores obtenidos para los parámetros
  especificados constituyen los resultados del
  Grado de Servicio
• Qué mide el Grado de Servicio?
• Mide el desempeño medio de una red , o parte de
  una red.
• Es el punto de vista del Operador del servicio

5
Calidad de servicio. QoS. SLA

• El Grado de Servicio mide el desempeño de la red,
  es el punto de vista del Operador. Parte de unos
  objetivos y dimensiona la red para su
  cumplimiento. Las medidas, usualmente de
  comportamiento medio comprueban la bondad de las
  hipótesis y el comportamiento de la red.
• La calidad de servicio QoS - representa el
  punto de vista del usuario y está expresada en
  términos adecuados a sus expectativas. La red
  puede tener un bloqueo del 1, pero un usuario en
  particular experimentar un 3.
• El SLA o ANS (Acuerdo de Nivel de Servicio) es un
  contrato entre Operador y Usuario en el que se
  definen los términos (disponibilidad, proceso
  provisión, mantenimiento ...) y las
  penalizaciones por incumplimiento.

6
TAREAS EN LA INGENIERÍA DE TRÁFICO
Caracterización de la demanda
Objetivos de grado de servicio
Requisitos QoS
Modelos tráfico
Medidas tráfico
Objetivos GoS
Previsión tráfico
Elementos Red
Dimensionado
Control Tráfico
Monitorización
7
MODELOS

• Las redes de telecomunicaciones se diseñan para
  atender demandas de usuarios adscritos a un
  determinado servicio.
• El comportamiento de los usuarios, de las fuentes
  , será en general aleatorio y ello nos impulsa a
  intentar modelarlo mediante la teoría de procesos
  estocásticos. Construiremos modelos que
  confrontaremos a la medidas en la red, si no
  concuerdan deberemos construir nuevos modelos en
  un proceso iterativo.
• Parece natural separar la descripción de las
  propiedades del tráfico en dos procesos
  diferentes
• Aparición de eventos (peticiones de servicio)
• Tiempos de servicio

8
Terminología en procesos tráfico
Tiempo entre eventos
Tiempo servicio
Tiempo libre
Tiempo llegada
Tiempo salida
Busy , Idle, Interarrival time, Holding time
9
Redes telefónicas

• Comportamiento usuario
• Control y camino de voz. Señalización y media.
• Comentario estructura de la red telefónica
• Topología
• Arquitectura
• Ejemplo VSAT
• Concepto conmutación circuitos

10
Redes de datos

• Principio conmutación paquetes
• Almacenamiento y retransmisión
• Caso LAN

11
Redes móviles

• Diferencias respecto redes fijas
• Control de presencia
• Handover

12
Redes de nueva generación

• Complejidad
• Tráfico de agregación
• Tasas de crecimiento
• Modelos matemáticos

13
HISTORIA
14
HISTORIA

• Molina desarrolla trabajos anteriores de Rorty en
  los Bell Labs para ATT
• Hipótesis
• Las llamadas se producen aleatoriamente
• Todas las llamadas permanecerán en el sistema
  durante un tiempo igual al tiempo medio de
  permanencia tanto si se atienden como si no.
• El bloqueo ocurre cuando el número de llamadas es
  mayor que el número de recursos durante un tiempo
  igual al tiempo medio.
• En 1920 alguien comentó que esos resultados
  provenían de investigaciones de Poisson
  (1781-1840), Molina le cedió los honores.

15
HISTORIA
SIMEON D. POISSON
16
HISTORIA

• Agner Krarup Erlang desarrolla sus modelos en
  1909
• Hipótesis
• Las llamadas que llegan con todas los servidores
  ocupados se pierden (se enrutan por otro sitio)
• Las llamadas que llegan con todos los servidores
  ocupados esperan en cola hasta ser atendidas.

17
HISTORIA

• Tore Olaus Engset en 1918 propone un refinamiento
  de las fórmulas de Erlang
• Erlang supone que el número de fuentes
  productoras de eventos es infinito. Si el
  número es finito Erlang está sobreestimando el
  dimensionado

18
HISTORIA

• Después de la WWII, Roger Wilkinson desarrolla un
  modelo para el tráfico de desbordamiento
• Hipótesis. El tráfico que no puede ser cursado
  por una ruta, no tiene características
  poissonianas. Usualmente la varianza es mayor que
  la media. A su relación se la conoce como
  coeficiente de variación.
• Wilkinson desarrollo un método para dimensionar
  los recursos que deberán cursar este tipo de
  tráfico. Neal en 1970 refinó el modelo y publicó
  unas tablas de dimensionado , las tablas de
  Neal-Wilkinson
• En 1982 Henry Jacobsen de ATT publica las tablas
  EART y EARC para el diseño de enlaces en PBX con
  rutas de desbordamiento basándose en los modelos
  de Neal-Wilkinson

19
HISTORIA

• A mediados de los 50 , Roger Wilkinson estudia el
  modelo de reintentos. Bretschneider hace lo mismo
  en Alemania.
• Los intentos de llamada, en el mundo real, se
  repiten si no consiguen servicio. Wikinson
  desarrolla los modelos teóricos.
• En 1980 Jacobsen publica las Retrial Tables
  basándose en los trabajos de Wilkinson.

20
HISTORIA

• En 1951 Kendall introduce una notación para
  especificar los distintos escenarios de un
  sistema de colas.
• En los 60 y 70 se producen grandes avances
  teóricos en USA y Alemania.
• Kleinrock publica en 1970 su primer volumen y
  evangeliza sobre el uso de los computadores en
  teoría de colas.

21
Conceptos básicos y medidas
22
CONCEPTOS TEORÍA TELETRÁFICO

• Intensidad de tráfico
• Intensidad de tráfico. Número de recursos
  ocupados en un sistema en un instante de tiempo
  dado.

Dónde n(t) es el número de recursos ocupados en
el tiempo t
C Número de recursos ocupados en función de
t D Intensidad media en un tiempo T
La curva de la figura representa el tráfico
cursado por un conjunto de recursos
23
Conceptos (cont)

• Tráfico ofrecido
• Si el número de recursos no es infinito, pueden
  producirse peticiones de servicio con todos los
  recursos ocupados.
• El tráfico ofrecido no puede medirse, puede
  estimarse.
• Se trabaja con dos parámetros
• ? número de eventos (peticiones de servicio)
  por unidad de tiempo.
• Tiempo medio de servicio tm
• A?tm

24
INTENSIDAD DE TRÁFICO
25
VARIACIÓN DIARIA
26
VARIACIÓN DEL TIEMPO MEDIO DE LLAMADA
27
VARIACIONES INTENSIDAD TRÁFICO. MODEM POOL
INTERNET
28
CONCEPTO DE BLOQUEO. Loss systems

• Congestión de tiempo
• Fracción de tiempo en la que todos los servidores
  están ocupados.
• Congestión de llamadas
• Fracción de todas las llamadas que encuentran
  todos los servidores ocupados.
• Congestión de tráfico
• Fracción de todo el tráfico ofrecido que no es
  cursado.

29
EVENTOS INTERVALOS DE TIEMPO
llamadas
Server 3
Server 2
Server 1
Cuál es la congestión de tiempo, tráfico,
llamadas?
30
Tráfico en Erlang
31
Elementos teoría de probabilidad
32
PROBABILIDAD
Trataremos con intervalos de tiempo no negativos
Funciones de distribución Un intervalo de tiempo
puede ser descrito por una variable estocástica X
caracterizada por
Incluye posibles discontinuidades en cero
33
PROBABILIDAD.
Identidad de Palm
34
PROBABILIDAD

• Estas relaciones son independientes de la escala
  de tiempos
• Cuando mayor sea el factor de forma más irregular
  es la distribución temporal, eso llevará por
  ejemplo a que el tiempo de espera medio, en los
  sistemas de colas , sea mayor.
• Para estimar una distribución a partir de
  observaciones, a menudo se está satisfecho al
  conocer los dos primeros momentos.

35
Distribución exponencial negativa

• Se utiliza para caracterizar los tiempos de vida
  (no negativos) de manera sencilla.
• Es un caso especial de la distribución Gamma
• Tiene un solo parámetro

36
Tiempo de vida residual
37
Tiempo de vida residual para la exponencial
La vida residual es igual a la vida media. Esto
no es cierto siempre. Para distribuciones con ? lt
2 la vida residual es menor, para ? gt2 la vida
residual es mayor
38
Carga de los tiempos de servicio menores que uno
dado
El 75 de los trabajos contribuye con el 30 del
valor de la media
39
Combinación de variables estocásticas

• Serie
• La función de distribución es la convolución de
  las funciones de distribución de las respectivas
  variables. La media es la suma de las medias y la
  varianza la suma de varianzas
• Paralelo
• Cada variable estocástica se pondera. La función
  de distribución es la suma ponderada de las
  funciones de distribución individuales. La media
  y varianza son

40
Ejemplo Ensayo de Bernouilli y binomial
41
Combinación de distribuciones exponenciales

• Con combinaciones de distribuciones exponenciales
  se puede aproximar cualquier distribución
• Combinando en serie se obtienen las llamadas
  distribuciones hipoexponenciales, que tienen ?lt2.
  Si todos los parámetros son iguales se llaman
  distribuciones de Erlang

42
Erlang-k
43
Gráfica Erlangiana

• Se ha normalizado la media a un
• valor 1, por ejemplo reemplazando
• por k?.
• El caso k1 corresponde a la
• exponencial

44
PROBABILIDAD. PROCESOS DE LLEGADA

• Se consideran procesos puntuales simples en los
  que se excluyen llegadas múltiples. En las
  telecomunicaciones se puede hacer considerando
  intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños.
• Consideremos los instantes de aparición de
  eventos a partir de un tiempo inicial
• El numero de llamadas en un intervalo abierto
  0,t se representa por Nt. En la que t es un
  parámetro continuo pero tiene un espacio muestral
  discreto
• La distancia entre dos llegadas sucesivas, se
  llama tiempo entre llegadas

45
Identidad de Feller - Jensen

• Tenemos dos variables aleatorias que representan
  dos procesos
• Representación Número. El intervalo de tiempo t
  se mantiene constante y se observa el número de
  llegadas en ese tiempo Nt
• Representación Intervalo. Se mantiene el número
  de llamadas constante y se observa la variable Ti
• Existe la siguiente relación

Identidad de Feller-Jensen
46
Procesos puntuales

• Características de los procesos puntuales
• Estacionareidad
• Independencia
• La evolución del proceso (su futuro) depende solo
  del estado actual (propiedad de Markov)
• Para los procesos puntuales simples
• La probabilidad de que haya más de un evento en
  un intervalo suficientemente pequeño tiende a
  cero

El proceso de Poisson es un proceso puntual simple
47
Poisson

• PPT ESPECÍFICO

48
Poisson

• Proceso de Poisson

49
Teoerema de Palm

• La superposición de procesos puntuales
  independientes tiende a un proceso que localmente
  es de Poisson. El término localmente significa
  que el intervalo del tiempo es lo suficientemente
  corto como para que cada proceso individual
  contribuya a lo sumo con un evento y no domine.

50
Teorema de Raikov

• Una descomposición aleatoria de un proceso
  puntual en subprocesos, produce subprocesos que
  convergen a procesos de Poisson, cuando la
  probabilidad de que un evento pertenezca a un
  subproceso tiende a cero.

51
Teorema de Little

• Válido para cualquier cola (solo se requiere
  estacionareidad)
• El proceso de llegada es estocástico
• Las llegadas esperan hasta que son servidas y
  después abandonan el sistema.
• Se considera un tiempo de observación T

52
Teorema de Little. Definiciones

• N(T) Número de llegadas en el tiempo T
• A(T) Tiempo total de servicio en el tiempo T.
  Tráfico cursado.
• ?(T)N(T)/T Tasa media de llamadas en el tiempo
  T
• W(T)A(T)/N(T) Tiempo medio de servicio en el
  tiempo T
• L(T)A(T)/T número medio de llamadas
  simultáneas en el tiempo T

53
Teorema de Little
54
Teorema de Little. Gráfica
55
Simulación de variables aleatorias
56
Simulación variables aleatorias

• Queremos generar números , x , aleatorios en un
  determinado dominio de manera que su probabilidad
  de ocurrencia, o densidad de probabilidad dependa
  de x de una manera prescrita f(x).
• Técnica de transformación inversa
• Generar U(0,1) uniforme entre 0 y 1
• Obtener XF-1(U). Recordar que la función de
  distribución tiene un rango entre 0 y 1
• Ej Weibull

57
Simulación Gaussiana
Las gaussianas son de media cero , para otro
valor solo hará falta añadirlo a cada número
generado
58
Simulación

• Otros métodos
• Composición. Es una extensión del método de
  inversión, se utiliza cuando la fdp se puede
  escribir como combinación lineal de funciones más
  simples en las que pueda aplicarse el método de
  inversión. Ejemplo distribución de Laplace
• Convolución. Las combinaciones algebraicas de
  variables aleatorias y para el caso de que las
  variables sean independientes pueden ayudar a su
  simulación. Por ejemplo si una determinada
  función de densidad se puede obtener por
  convolución de funciones elementales (caso de
  suma de variables) se puede generar cada variable
  individual y sumar los resultados. Ejemplo
  distribución de Erlang. Se pueden obtener también
  así variables generados por multiplicación y
  división de otras variables con fdp elementales o
  invertibles.
• Aceptación- Rechazo. No es tan eficiente como los
  métodos anteriores pero siempre funciona, incluso
  cuando no hay formas explícitas de la fdp, La
  idea es generar puntos aleatoriamente en un plano
  y aceptar o rechazar cada uno de ellos. Si xltf(x)
  se acepta, si no se rechaza.
• Muestreo de datos. Interpolación estocástica
• Monte Carlo

59
Modelos
60
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

• Modelo
• Proceso de entrada
• Mecanismo de servicio
• Disciplina de la disposición en cola

61
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

• Proceso de entrada
• Describe la secuencia de peticiones de servicio
• A veces se especifica en términos de la
  distribución de las duraciones entre los
  instantes de llegada de peticiones de servicio.
• Mecanismo de servicio
• Incluye el número de servidores y la duración del
  servicio (ocupación del servidor)
• Disciplina de cola
• Especifica las acciones de las peticiones que
  encuentran todos los servidores ocupados

62
Modelos de nacimiento - muerte

• Hipótesis de trabajo
• llamadas independientes
• tasa de llegadas en el estado i representada por
  ?i
• tasa de salidas en el estado i representada por
  ?i
• en cualquier instante de tiempo solo puede
  ocurrir un suceso

63
Diagrama de estados
?j-1
?j
?n-1
?0
?1
?2
0
1
2
3
j
N-1
N
?j
?j1
?n
?1
?2
?3
N puede ser ?
64
Algunas definiciones

• ? nº promedio de peticiones de servicio por
  unidad de tiempo
• 1/ ? tiempo promedio entre peticiones de
  servicio
• Ej estado del sistema en el que el número de
  clientes es j
• Pj. Proporción del tiempo en el estado j (en el
  que haya j servidores ocupados)
• Ej ? Ej1 transiciones del estado j a j1
• ?Pj número de transiciones por unidad de tiempo
• tm tiempo medio de duración de un servicio,
  tiempo medio de ocupación de un servidor

65
Algunas definiciones

• ? tasa de finalización de servicio por unidad
  de tiempo igual a 1/ tm.
• (j1)/? tasa de finalización con j1 servidores
  ocupados
• Ej1 ? Ej transiciones del estado j1 a j

66
Ecuaciones de estado
67
Modelo de Erlang
Tasa de llamada constante, número de fuentes
mucho mayor que el número de servidores.
N número servidores
68
Erlang
Número de fuentes ? ... o mucho mayor que número
de servidores N
69
(No Transcript)
70
Utilización
1.0
0.5
0.2
0.1
0.8
0.05
0.02
0.01
0.6
0.001
0.0001
0.4
0.2
0.0
Número de canales
71
Tablas Erlang-1
Cálculo de la probabi- lidad de pérdida Datos n
y A Ej n15 A 7
72
Tablas Erlang-2
Cálculo de la probabi- lidad del número de
servidores Datos B y A Ej B0.005 A 7
73
Tablas Erlang-3
Cálculo del tráfico ofrecido máximo Datos n y
B Ej n15 B 0.005
74
Reintentos

• Se considera una situación real, al no obtener
  servicio se reintenta obtenerlo.
• Cuál es el efecto de este comportamiento?
• Incremento en la tasa de llamadas del sistema
• Si consideramos que los reintentos se producen
  transcurridos algunos tiempos medios de llamada
  podemos seguir considerando equilibrio
  estadístico con la nueva tasa de llamada

75
Extended Erlang B (EEB)

• Se utiliza cuando se permiten reintentos. Un
  tanto por ciento de los llamantes reintenta
  cuando se encuentra todos los servidores
  ocupados.
• Algoritmo clásico con reintentos hasta obtener
  servicio
• Algoritmo (JewittShrago). Permite considerar
  abandonos en los reintentos

76
Erlang con reintentos, Algoritmo clásico
77
Algoritmo

• El proceso es el mismo para ? o para A. Se
  desarrollará para A.
• Con el tráfico ofrecido de primer intento A se
  calcula B
• Con el valor de B obtenido se calcula A
• Con el valor de A se obtiene un nuevo B
• Con B se obtiene un nuevo valor de A
• Se comparan los valores de A obtenidos y se
  itera el proceso hasta que la diferencia entre
  dentro del rango de precisión establecido. La
  serie de valores obtenidos debe ser convergente,
  lo cual será cierto excepto que el tráfico
  ofrecido sea mayor que el número de servidores.

78
Algoritmo
No se itera con A1
79
Algoritmo de Jewitt Schrago

• Permite considerar abandonos en los reintentos
• Partiendo del tráfico ofrecido en primera
  instancia se calcula B
• Con B se calcula el tráfico rechazado
• Se calcula el tráfico cursado
• Sobre el tráfico rechazado se aplica la tasa de
  abandono o de reintento (son complementarias)
• Se calcula el tráfico cursado más el tráfico que
  abandona
• Si cursado más abandono no se acerca
  suficientemente a tráfico ofrecido se calcula un
  nuevo tráfico ofrecido como el original más el de
  reintento.
• Se repite le proceso hasta que tráfico cursado
  más abandono sea igual (suficientemente cercano)
  a tráfico ofrecido

80
Engset
Engset SgtN
S número de fuentes ? tráfico ofrecido por
fuente libre
81
Engset

• N número de servidores
• S número de fuentes
• ? tasa de llamada por fuente libre
• ?i tasa de llamada en el estado i, i servidores
  ocupados.
• tm tiempo medio de servicio.
• ?i tasa de terminación en el estado i.
• El comportamiento de cada fuente se modela de la
  siguiente manera. Cuando la fuente está libre su
  tasa de llamada es constante y de valor ?, cuando
  la fuente está ocupada el valor de su tasa de
  llamada es cero.

82
Engset.
83
Engset
que es la expresión para la congestión de tiempo,
probabilidad de tener todos los servidores
ocupados.
84
Engset
85
Engset. Cálculo del tráfico por fuente libre
Consideraciones sobre el cálculo de ? , ?j
86
Engset. Tráfico por fuente libre
Pero B depende de a, por lo que hay que montar
un proceso iterativo
Tráfico ofrecido dividido por el número medio de
fuentes libres
87
Algoritmo Engset

1. Partimos de una primera aproximación de ?,
   considerando B0
2. Con el valor de ? se obtiene un primer valor de B
3. Se sustituyen los valores de ? y B en la fórmula
   de A y se compara la estimación de A así obtenida
   con el dato Tráfico Ofrecido, si la diferencia
   está por encima de la precisión necesaria en
   nuestro cálculo ?
4. Se calcula una nueva ? con el valor de B obtenido
   en el punto 2
5. Se calcula un nuevo B con el valor de ? del punto
   4
6. Se realiza una nueva estimación de A como en el
   punto 3, si la diferencia está por encima de la
   precisión necesaria se repite desde el punto 4.

88
Engset. Fórmula recursiva
B es función de N,S y ?
La probabilidad de pérdida con 0 servidores es 1
89
TABLAS DE ENGSET

• Grupos nuevos
• Se conoce A, S y el nivel de pérdida deseado. Se
  busca N
• Procedimiento
• Se busca la columna del nivel de pérdida
• En la columna se busca A para el número de
  fuentes S
• Se obtiene N

90
TABLAS DE ENGSET

• Grupos existentes
• Se conoce A, N (número servidores) y S (número de
  fuentes)
• Se establece el nivel de bloqueo (pérdida
  )deseado
• Procedimiento
• Buscar en la tabla la fila que corresponda a N y
  S
• Buscar en la fila el valor más cercano a A
• La columna corresponde al valor de pérdida
  (interpolar en su caso)
• Si no es el deseado, buscar la columna de la
  pérdida deseada y en la misma encontrar A para el
  número de fuentes S , una vez encontrado S para
  ese A se obtiene N.

91
colas
92
Colas. Notación de Kendall

• D.G. Kendall estableció en 1953 la siguiente
  notación
• A/B/c/k/s/Z
• A Proceso de llegada
• B Proceso de servicio
• c número de canales o servidores
• k capacidad del sistema
• s número de fuentes
• Z disciplina de la cola

93
Kendall

• A/B/c/k/s/Z

• Proceso de llegada
• M Markoviano, random, exponencial
• E Erlangiano
• H Hiperexponencial
• h Hipoexponencial
• G General

• Proceso de servicio
• M Markoviano, random, exponencial
• E Erlangiano
• H Hiperexponencial
• h Hipoexponencial
• G General

94
Kendall

• Número de canales
• 1,2,3, 8
• Capacidad del sistema
• Servidores posiciones de cola
• Número de fuentes
• 1,2,3, 8

• Disciplina de la cola
• FCFS. Primero entra, primero sale
• LCFS. Último entra, primero sale
• SIRO. Servicio aleatorio
• GD. General
• RR. Round Robin

95
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
A partir del estado N, no puede aumentar la tasa
de salida, es decir para los estados N, N1,
N2, .... la tasa de salida es constante
96
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
97
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

• Será la probabilidad de que las peticiones entren
  con todos los servidores ocupados
• Se dará en los estados N, N1, N2 .

Eliminando ? y poniendo todas las probabilidades
de estado en función de la probabilidad 0
98
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

• Eliminando 0 y reordenando

Que se puede simplificar
Sumar y restar en el denominador el término
con lo que el denominador quedaría
99
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola
dividiendo ahora numerador y denominador por
e identificando que
es decir la probabilidad de pérdida de un
sistema de tipo Erlang-B con un tráfico ofrecido
A y N servidores.
A esta fórmula se la conoce como Erlang-C o
segunda fórmula de Erlang EN,2(A)
100
M/M/N. Longitud media de la cola
Utilizando que
101
M/M/N. Longitud media de la cola
Recordando que
102
M/M/N.Tiempo medio en la cola

• Hay dos posibles preguntas a las que responder
• Cuál es el tiempo medio en la cola considerando
  todas las peticiones de servicio? Cuál es el
  tiempo medio de espera para las peticiones de
  servicio que entran en cola?

El teorema de Little establece que
por lo tanto
103
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola gtt

• Se trata de responder a la pregunta Cuál es la
  probabilidad de permanecer en cola más de un
  determinado tiempo t?
• Para responder a esa pregunta hay que establecer
  la disciplina de la cola. Si la disciplina es
  Primero entra Primero sale (FIFO) que es la que
  nos encontramos cotidianamente, si nos
  encontramos en la posición j de la cola, para ser
  atendidos tienen que producirse j terminaciones
  de servicio. Las terminaciones se producen con
  una fdp exponencial cuyo parámetro es el tiempo
  medio en la cola para las llamadas que entran en
  cola

104
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola gtt
Si queremos calcular la probabilidad de que una
petición de servicio cualquiera permanezca en
cola más de t
105
M/M/N/NL

• En este nuevo escenario las llamadas que lleguen
  con todos los servidores ocupados y todas las
  posiciones de cola ocupadas se pierden.
• Calcularemos expresiones para los parámetros
  significativos del escenario
• Cálculo de las probabilidades de estado

106
M/M/N/NL
Probabilidad de pérdida
107
M/M/N/NL
Probabilidad de entrar en cola
108
M/M/N/NL

• Longitud media de la cola

En general, y aunque se puede llegar a una
expresión cerrada por manipulación de la fórmula
anterior, es más fácil sumar los términos de la
serie.
Tiempo medio en la cola
109
Colas con abandono

• Se considera que la petición de servicio tiene
  una paciencia limitada y abandona , es el proceso
  natural cuando en una cola consideramos que el
  tiempo de espera es mayor que el que podemos
  aceptar.
• Como hipótesis para modelar el abandono
  aceptaremos que la tasa de abandono aumentará con
  la longitud de la cola, en la posición i de la
  cola, la tasa de abandono será

tm , no tiene significación física, se Utiliza
para simplificar la expresión
Tasa de terminación de llamadas en el estado i
110
Colas con abandono
111
Cola M/G/1

• Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio
  exponenciales no se ajusta a la realidad.
  Trataremos con tiempos de servicio con una
  distribución general . Pero con tiempos de
  servicio independientes.
• Trataremos de obtener el tiempo medio de espera
  en la cola y la longitud media de la cola.

Tiempo medio en la cola longitud media de la
cola por el tiempo medio de servicio
probabilidad de ocupación del servidor por el
tiempo residual
112
Obtención de parámetros de la M/G/1

• Una petición de trabajo que llega al sistema debe
  esperar al tiempo residual de servicio (si el
  servidor está ocupado) y a los tiempos de
  servicio de los trabajos que le preceden en la
  cola (si existen)
• Por la propiedad PASTA conocemos que la
  probabilidad de que un servidor esté ocupado es
  de ?
• Y que el tiempo medio de espera es

113
Cálculos

• Por el teorema de Little
• Combinando las dos ecuaciones se obtiene la
  fórmula de Pollacek Khinchin

114
Tiempo residual

• La media del tiempo residual es de
• Podemos también a partir de estas fórmulas
  calcular el tiempo total en el sistema
• Tiempo en cola tiempo de servicio
• Y número medio de peticiones en el sistema
• Longitud media de la cola ocupación media del
  servidor (que es igual al tráfico ofrecido)

115
Cálculo del tiempo residual

• Supongamos que una petición llega cuando se está
  atendiendo otra petición, y que el tiempo total
  del trabajo en curso es X (que será una variable
  aleatoria), y que tendrá una f.d.p. fX(x), Para
  buscar esa f.d.p. observamos que la probabilidad
  de que llegue un trabjo estando otro en curso
  será mayor si la duración del trabajo en curso es
  larga. Así la probabilidad de que X sera de
  longitud x deberá ser proporcional a la longitud
  x y a la frecuencia con la que se produzca esa
  longitud

116
Cálculo tiempo de vida residual
117

• Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir
  en cualquier momento de la vida del trabajo en
  curso con igual probabilidad, tendrá su media en
  la mitad de X