Siglo XVI: J. Kepler, G. Galilei y B. Cavalieri

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Tema 3 Del Cálculo Diferencial a las Ecuaciones
diferenciales
Siglo XVI J. Kepler, G. Galilei y B.
Cavalieri Tanto S. Stevin como J. Kepler y G.
Galilei necesitaban para sus problemas prácticos
los métodos de Arquímedes, pero todos ellos
querían evitar las sutilezas lógicas del método
exhaustivo. Fueron en gran medida las
modificaciones resultantes de los antiguos
métodos infinitesimales las que condujeron
finalmente al cálculo infinitesimal propiamente
dicho,
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Simon Stevin (1548-1620),
Fue un matemático, ingeniero militar e
hidraúlico, constructor de molinos y
fortificaciones, contable e intendente
neerlandés. Su fama en vida y en la época
inmediatamente posterior a su muerte fue grande,
llegando a ser considerado como una suerte de
Leonardo da Vinci del norte
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Simon Stevin (1548-1620),
Stevin, ingeniero de Brujas, demostró que el
centro de gravedad de un triángulo está situado
sobre una mediana. Inscríbanse en el triángulo
en cuestión ABC un cierto ' número de
paralelogramos de la misma altura y cuyos lados
sean dos a dos paralelos a la base del triangulo
uno de los lados y a la mediana trazada desde el
vértice opuesto a este lado.
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S. Stevin
Inscribamos en el triángulo una cantidad,
infinita de tales paralelogramos, y como a mayor
número de paralelogramos menor será la diferencia
entre la figura inscrita y el triángulo. Usando
el principio arquimediano de que figuras
bilateralmente simétricas están en equilibrio.
La conclusión que se impone es la de que el
centro de gravedad del triángulo debe estar
situado sobre la mediana
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Johann Kepler (1571-1630)

Figura clave en la revolución científica,
astrónomo y matemático alemán fundamentalmente
conocido por sus leyes sobre el movimiento de los
planetas en su órbita alrededor del Sol . Fue
colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó
como matemático imperial de Rodolfo II.
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J. Kepler (1571-1630)
Una de sus obligaciones, tras ocupar el puesto de
matemático del emperador Rodolfo II, era la de
redactar horóscopos El año 1612 había sido un
año de vino excepcionalmente bueno, y Kepler
consideró un método general para el cálculo de
volúmenes que consistía en considerar los
sólídos como compuestos de una cantidad infinita
de elementos de volumen infinitesimalmente
pequeños.
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J. Kepler (1571-1630)
En su Astronomia Nova del año 1609 anunció sus
leyes astronómicas 1º Los planetas tienen
movimientos elípticos alrededor del Sol, estando
éste situado en uno de los 2 focos que contiene
la elipse. 2ª ley astronómica el radio
vector que va desde el Sol a un planeta barre
áreas iguales en tiempos iguales. Kepler
necesitaba la idea de infinitos elementos
infinitamente pequeños para aplicarlos a la
astronomía, especialmente en conexión con sus
órbitas elípticas .
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Johan Kepler
Para demostrar su 2ª ley, supuso que el área en
cuestión estaba formada por triángulos
infinitamente pequeños con un vértice en el Sol y
los otros dos vértices en puntos infinitamente
próximos sobre la órbita del planeta. Con éste
método pudo calcular distintas áreas.
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Johan Kepler
Por ejemplo, el área del círculo puede
calcularse de esta manera teniendo en cuenta que
las alturas de los triángulos Infinitamente
estrechos son casi iguales al radio del
círculo. La suma de las b_i coincide con la
longitud l_c de la circunferencia C, el área A
vendrá dada por la fórmula A 1/2 l_c r pr²
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Johann Kepler
Entonces, siguiendo a N. Oresme, podemos
considerar el área de la elipse y el área del
círculo como formadas por todas las ordenadas
correspondientes a los puntos de ambas
curvas, pero como la razón de las
componentes de estas dos áreas es la razón
constante b/a , las áreas totales deben estar en
la misma razón,
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Johann Kepler
Dado que el área del círculo es pa², entonces
el área de de la elipse
área pab ,
Este resultado es
correcto, pero en lo que se refiere a la longitud
de elipse lo único que pudo hacer Kepler fue dar
la fórmula aproximada lp(ab)
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G. Galileo (1564-1642)
Astrónomo, filósofo, matemático y físico
italiano que estuvo relacionado estrechamente con
la revolución científica. Eminente hombre del
Renacimiento, mostró interés por casi todas las
ciencias y artes (música, literatura, pintura).
Sus logros incluyen la mejora del telescopio,
gran variedad de observaciones astronómicas, la
primera ley del movimiento y un apoyo
determinante para el copernicanismo. Ha sido
considerado como el padre de la astronomía
moderna, el padre de la física moderna6 y el
padre de la ciencia.
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G. Galileo (1564-1642)
Galileo escudriña los cielos con su telescopio y
hace rodar bolas por planos inclinados. Entre
los resultados de los estudios de Galileo se
encuentran dos famosos tratados, uno de ellos
astronómico y el otro físico , y aunque no eran
estrictamente de tipo matemático, se hacen en
ambos muchas consideraciones matemáticas, y
frecuentemente éstas se refieren a las
propiedades de lo infinitamente grande y de lo
infinitamente pequeño.
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G. Galileo (1564-1642)
Estas obras son diálogos, en la primera acerca
de los méritos relativos las dos concepciones del
universo, la ptolemaica y la copernicana, Este
diálogo lo sostienen tres amigos Salviati (un
intelectual bien informado científicamente),
Sagredo (un inteligente profano en la materia) y
Simplicio (un obtuso aristotélico).
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G. Galileo (1564-1642)
En la segunda el autor utiliza a veces lo
infinitamente pequeño de una manera que roza lo
caprichoso, como cuando Salviati intenta
convencer a Simplicio, de que es igual de fácil
dividir un segmento en un número infinito de
partes que en un número finito. En primer lugar
consigue que Simplicio admita que uno no necesita
para ello separar las partes, sino simplemente
señalar los puntos de división. Si, por ejemplo,
doblamos un segmento para formar un cuadrado o un
octógono regular, hemos conseguido evidentemente
dividirlo en cuatro o en ocho partes iguales.
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Galileo
Salviati saca entonces la conclusión de que si
doblamos el segmento dándole la forma de una
circunferencia, entonces hemos reducido a una
presencia actual aquel número infinito de partes
que según vos afirmabais, estaban contenidas en
el segmento sólo potencialmente, mientras estaba
recto, ya que la circunferencia es lo mismo que
un polígono de un número infinito de lados.
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Galileo, del infinito en geometría al infinito en
aritmética
Salviati hace observar a Simplicio que se puede
establecer una correspondencia biunívoca
entre todos los números naturales y los
cuadrados perfectos Por medio del sencillo
truco de ir contando los cuadrados perfectos,
cada número natural queda inevitablemente
asociado a uno y sólo un cuadrado perfecto y
viceversa.
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Galileo
Galileo se ve aquí cara a cara con la propiedad
fundamental de un conjunto infinito una parte
propia puede tener el mismo número de elementos
que el conjunto total. No saca esta conclusión,
sino que llega incluso a afirmar que no podemos
decir que un número infinito es mayor que otro
número infinito, y ni siquiera que un número
infinito es mayor que un número finito.
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Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Discípulo aventajado de Galileo, jesuato
que vivió en Milán y en Roma antes de ocupar el
cargo de profesor de matemáticas en Bolonia en
1629, escribió sobre aspectos muy diversos tanto
de matemática pura como aplicada, geometría,
trigonometría, astronomía, óptica, etc. Puede ser
considerado como uno de los precursores del
análisis infinitesimal moderno.
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B.Cavalieri (1598-1647)
En su obra Directorium 'universale uranometricum
de 1632 publicó tablas de senos, tangentes,
secantes y senos cosenos, junto con sus
logaritmos, con ocho cifras decimales. Fue el
primer matemático italiano que apreció en todo su
valor el cálculo logarítmico, pero debe su
celebridad a su teoría de los indivisibles, que
expuso en Geometría indivisibilibus continuorum
quadam nova ratione promota (1635).
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Geometría indivisibilibus
Esta teoría estudia las magnitudes geométricas
como compuestas de un número infinito de
elementos, o indivisibles, que son los últimos
términos de la descomposición que se puede hacer.
La medida de las longitudes, de las superficies
y de los volúmenes se convierte en efectuar la
suma de la infinidad de indivisibles. Un área se
puede considerar formada por segmentos
rectilíneos o indivisibles, un volumen sólido
se puede considerar análogamente como compuesto
de secciones o áreas que son indivisibles ' o
volúmenes quasi-atómicos .
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B. Cavalieri
El planteamiento general del método de los
indivisibles viene expresado con toda claridad en
el Principio de Cavalieri Si dos cuerpos
tienen la misma altura y además tienen igual área
en sus secciones planas realizadas a una misma
altura, poseen entonces igual volumen. En
estos indivisibles está también el principio del
cálculo de una integral definida, aunque sin la
noción rigurosa moderna de paso al límite.
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B. Cavalieri
Así probó la fórmula En el enunciado y
demostración de Cavalieri se comparaban
potencias de segmentos que son paralelos a la
base en un paralelogramo, con las
correspondientes potencias de los segmentos en
uno cualquiera de los dos triángulos en que una
diagonal divide el paralelogramo.
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B. Cavalieri
Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos
triángulos por la diagonal CF y sea HE un
indivisible del triángulo CDF que es paralelo a
la base CD. Entonces, tomando BC EF y trazando
BM paralela a CD es fácil ver que el indivisible
BM en el triángulo A CF será igual al HE en el
CDF.
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B. Cavalieri
Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos
triángulos por la diagonal CF Podemos poner
en correspondencia biunívoca los indivisibles del
triángulo CDF con indivisibles iguales dos a
dos del triángulo ACF, y en consecuencia los dos
triángulos son iguales.
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B. Cavalieri
Dado que el paralelogramo es la suma de los
indivisibles en los dos triángulos, resulta
claramente que la suma de las primeras potencias
de los segmentos en uno de los dos triángulos es
la mitad de la suma de las primeras potencias de
los segmentos en el paralelogramo .
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B. Cavalieri
Utilizando un razonamiento análogo, consigue
demostrar en su obra posterior Exercitationes
geometricae sex de 1647, la importante
generalización de que para las potencias n-ésimas
en general de dichos segmentos, la razón ha de
ser 1/n1 .
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SIGLO XVII
En el siglo XVII, las universidades (Bolonia,
París, Oxford etc.) se han consolidado como
verdaderos focos de difusión del conocimiento
científico. A la sombra de estas universidades
existen algunos grupos de científicos más o menos
organizados tales como la Accademia dei Lincei
(a la que perteneció Galileo) y la Accademia del
Cimento en Italia, el Cabinet Du Puy en Francia ,
el Invisible College en Inglaterra y aparecen
otros nuevos como la Royal Society (1660) en
Londres y la Académie des Sciences (1666) en
París. A partir de este momento la matemática se
desarrolló más bien movida por su propia lógica
interna que por fuerzas de tipo económico, social
o tecnológico.
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Antecedentes del Cálculo diferencial.

• René Descartes (1596- 1650) y Pierre de Fermat
  (1601 - 1665). Evangelista Torricelli ( 1 608- 1
  647), Gilles Persone de Roberval ( 1 602- 1 675),
  Girard Desargues ( 1 59 1 - 1 66 1) Blaise Pascal
  (1 623 - 1 662) e Isaac Barrow (1630-1677)
• Este período resultará crucial en la historia de
  la matemática, N o sólo será importante la obra
  de estos hombres de una manera individual, sino
  también colectivamente.
• La intensidad de la intercomunicación vino
  incoada por Marin Mersenne (1588-1648) , fraile
  minimita muy amigo de Descartes y , de Fermat, y
  que gracias a sus amplios contactos por
  correspondencia, difundía cualquier noticia de
  interés científico por toda la República de las
  Letras .

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Antecedentes del Cálculo diferencial.
R. Descartes ((1 596- 1 650) , está considerado
como el padre de la filosofía moderna y como
uno de los nombres más destacados de la
revolución científica y probablemente el pensador
más capaz de su época.
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R. Descartes

• El método que Descartes propuso para todas las
  ciencias y disciplinas consiste en descomponer
  los problemas de gran dificultad en partes
  progresivamente más sencillas hasta hallar los
  más básicos.
• En ese punto deberían captarse las naturalezas
  simples, que se presentan a la razón de un modo
  evidente,
• proceder a partir de ellas, por síntesis, a
  reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada
  nueva relación establecida entre ideas simples la
  misma evidencia de éstas.

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R. Descartes

• Su obra La géométrie (1636) fue en su día un
  triunfo de la pura teoría sin intención práctica,
  en la misma medida en que lo fueron las Cónicas
  de Apolonio en la antigüedad, a pesar del papel
  tan extraordinariamente útil que ambas obras
  estaban destinadas a jugar en el futuro.
• Este trabajo es uno de los tres apéndices al
  Discours de la méthode, en los que Descartes
  intentaba dar ejemplos de la aplicación de su
  método filosófico general.
• Las consecuencias de su trabajo hacen que esté
  considerado como el creador de la geometría
  analítica, disciplina que permite representar
  figuras geométricas mediante fórmulas del tipo
  f(x,y)0, donde f representa una cierta
  expresión matemática.

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R. Descartes

• Aunque como sabemos, la teoría de funciones sacó
  finalmente un gran partido de la obra de
  Descartes, pero lo cierto es que la idea de
  forma o de función no pareció jugar ningún
  papel entre las motivaciones que condujeron a la
  geometría cartesiana.
• Descartes afirma que el problema de hallar la
  normal (o, equivalentemente, la tangente) a una
  curva es de gran importancia, pero el método que
  desarrolla en La géométrie no es ni directo ni
  fácil de aplicar.