La m

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La méthode dEuler
Quest-ce que la méthode dEuler ?
Cest une méthode numérique itérative
Au départ, il y a un problème. Cette méthode
permet, à partir des conditions initiales du
problème, et après une succession détapes
identiques, dobtenir une solution approchée au
problème.
A quoi va-t-elle nous servir ?
Cette année, nous allons nous servir de cette
méthode pour résoudre des équations
différentielles du premier ordre (qui font
intervenir une grandeur et sa dérivée première).
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Un exemple ?
La première équation différentielle que nous
avons vue est celle donnant la tension aux bornes
du condensateur lors de sa charge
On peut transformer celle-ci pour isoler le terme
dérivé
Et pour se simplifier la tâche, nous appellerons
a et b les deux constantes de cette équation
Voilà notre équation de départ
La méthode dEuler va nous permettre, à partir de
cette équation, davoir les valeurs de uC en
fonction du temps et donc de pouvoir tracer
uCf(t).
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Rappels mathématiques

• Mathématiquement, la dérivée est égale au
  coefficient directeur de la tangente à la courbe.

• Dans notre exemple, en t t0, on peut facilement
  calculer la dérivée de uC(t)

uC(B)-uC(A)
t(B)-t(A)
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Utilisation de la dérivée dans notre cas,
approximation

• Si on zoome sur la courbe, on voit que cette
  dérivée (calculée grâce aux points bleus) est
  pratiquement égale à (calculée avec les
  points rouges)

Où duC est une petite variation de uC pendant le
petit temps dt.

• Ceci est vraie si dt est pris suffisamment petit
  . Alors, dans ces cas là, notre équation
  différentielle peut sécrire

On connaît à présent la variation de uC entre
deux instants proches
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Dénouement
Comment se servir de cette variation duC
maintenant connue ?

• Nous avions dit au tout départ quil fallait
  connaître une valeur initiale pour mettre en
  œuvre cette méthode

On connaît donc uC0 uC(t00)

• On peut à présent calculer uC1 à linstant t1
  t0 dt

uC1 uC0 duC uC0 (auC0b)dt
A condition davoir choisi un dt judicieux.

• Calculons uC2 à linstant t2 t1 dt

uC2 uC1 duC uC1 (auC1b)dt
Le processus peut alors être répéter afin de
calculer toutes les valeurs de uC, de proche en
proche.
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En résumé

• On a une équation différentielle de cette forme

Et on connaît les valeurs de a, b et uC0

• Si on choisit un dt suffisamment petit, on peut
  écrire

• On peut alors calculer toutes les valeurs de uC
  de proche en proche en utilisant la formule

uCn uCn-1 duC uCn-1 (auCn-1b)dt
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Un vrai exemple, avec des chiffres !

• Restons avec notre charge de condensateur
  léquation était

Le condensateur est préalablement déchargé
uC0(t0) 0. Prenons les valeurs suivantes R
1 k? C 1 mF E 6 V
On a alors a -1 et b 6.
On choisit à présent une valeur pour dt par ex,
dt 0.01s

• On peut donc calculer la première valeur de uC

uC1 uC0 duC uC0 (auC0b) dt 0
(-106)0.01 0.06 V
??? Va-t-on calculer toutes les valeurs une à une
???
Il aurait fallu le faire si on ne connaissait pas
les tableurs ils vont nous simplifier
grandement les calculs.