Biostatistique et Introduction la Sant Publique

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Biostatistique et Introduction à la Santé
Publique

• Lois de Probabilité

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Loi de probabilité dune variable aléatoire
discrète

• La loi de probabilité dune variable discrète
  prenant les valeurs x1, x2,, xn est définie
  par lensemble des probabilités correspondantes
  p1, p2,,pnon note piPr(Xxi) avec 0 ? pi
  ? 1 et ?pi1

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Loi de probabilité dune variable aléatoire
discrète

• La loi de probabilité dune variable discrète
  prenant les valeurs x1, x2,, xn est définie
  par lensemble des probabilités correspondantes
  p1, p2,,pnon note piPr(Xxi) avec 0 ? pi
  ? 1 et ?pi1
• Exemple lancer dun dé à 6 faces6 résultats
  possibles x11, x22,, x66 avec les
  probabilités p1p2 p3p4p5p61/6(loi
  discrète uniforme)

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Moyenne dune variable aléatoire discrète

• La moyenne dune v.a. X est la valeur moyenne des
  résultats que lon obtiendrait si lon répétait
  lépreuve à linfini.
• La moyenne ? est déduite de la loi de probabilité
  de X ? x1 p1 x2 p2 xn pn ? xi pi
• Exemple du dé à 6 faces la moyenne est 3,5
• On utilise aussi le terme despérance
  mathématique E(X) ?
• La moyenne est un paramètre de position.

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Variance dune variable aléatoire discrète

• La variance ?² dune v.a. X est la moyenne des
  carrés des écarts entre X et sa valeur moyenne
  ?. ?² ? pi (xi ? ?)²
• La variance est un paramètre de dispersion.Elle
  est nulle pour une v.a. certaine.
• Lécart type est la racine carrée de la variance.
• Exemple du dé à 6 faces la variance est
  2,917 lécart type est 1,708
• Autre définition basée sur lespérance
  mathématique ?² E(X ? ?)² E(X²) ? E(X)²

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Loi de Bernoulli

• Une v.a. de Bernoulli est une v.a. qui ne prend
  que deux valeurs possibles notées 1 , associée
  à une probabilité p et 0 , avec une
  probabilité 1?p (événement contraire)
• Sa loi de probabilité définit la loi de Bernoulli
  de paramètre p
• Moyenne p
• Variance p(1?p)
• Concerne toutes les épreuves binaires
  succès/échec, présence/absence, oui/non,
  vrai/faux, malade/non malade

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Loi binomiale

• Une v.a. obtenue par le nombre de fois où on a
  obtenu 1 en répétant n fois, indépendamment, une
  même v.a. de Bernoulli de paramètre p, suit une
  loi binomiale qui a pour paramètres p et
  n.avec nombre de combinaisons de k
  sujets pris parmi n
• Moyenne np
• Variance npq

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Loi binomiale exercice

• Un médicament est susceptible de provoquer des
  accidents allergiques chez un patient sur 100.
  Quelle est la probabilité dobserver au moins un
  accident allergique dans une clientèle comportant
  70 patients traités par ce médicament ?

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Loi binomiale exercice

• Un médicament est susceptible de provoquer des
  accidents allergiques chez un patient sur 100.
  Quelle est la probabilité dobserver au moins un
  accident allergique dans une clientèle comportant
  70 patients traités par ce médicament ?
• On cherche Pr(X?1)
• Il sagit de lévénement contraire par rapport à
  lévénement élémentaire  aucun accident
  allergique 
• On peut écrire Pr(X?1) 1 ? Pr(X0) 1 ? qn

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Loi binomiale exercice

• Un médicament est susceptible de provoquer des
  accidents allergiques chez un patient sur 100.
  Quelle est la probabilité dobserver au moins un
  accident allergique dans une clientèle comportant
  70 patients traités par ce médicament ?
• On cherche Pr(X?1)
• Il sagit de lévénement contraire par rapport à
  lévénement élémentaire  aucun accident
  allergique 
• On peut écrire Pr(X?1) 1 ? Pr(X0) 1 ? qn
• Résultat Pr(X?1) 1 ? (1 ? 0,01)70 0,505
  50,5

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Loi binomiale formule de récurrence

• Complexité des calculs dès que n dépasse quelques
  unités en raison des calculs de factorielles
• Définition dune suite récurrente de 0 à n
• valeur initiale Pr(X0) qn
• suite

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Loi binomiale fonction Excel
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Loi de Poisson loi des événements rares

• La loi de Poisson permet de représenter la
  survenue dévénements rares
• exemples en épidémiologie, pharmacovigilance.
• Moyenne ? (paramètre de la loi de Poisson)
• Variance ?
• Pr(X0) e??
• Bonne approximation de la loi binomiale quand np
  est petit par une loi de Poisson de paramètre ?
  np
• Applicable même si n et p ne sont pas connus

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Loi de Poisson exemple

• Sachant quun service durgence accueille en
  moyenne 3 fractures du membre supérieur par
  week-end (événement rare),
• quelle est la probabilité pour que ce service
  accueille le prochain week-end
• 1) exactement 3 fractures
• 2) aucune fracture
• 3) entre 0 et 10 fractures

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Loi de Poisson exemple

• ? 3
• 3 fractures exactement
• Aucune fracture e?3 0,05
• Entre 0 et 10 Pr(X0)Pr(X1)Pr(X10)

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Loi de Poisson exemple
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Variables aléatoires continues

• Les variables continues suivent des lois de
  probabilité dont la formulation est différente de
  celle des variables discrètes.
• Chaque valeur élémentaire a une probabilité nulle
  (ce qui ne veut pas dire quelle est impossible)
• La loi de distribution de probabilité est
  représentée par une fonction appelée densité de
  probabilité
• Une probabilité est définie sur un intervalle
  Pr(X?a,b)
• Moyenne Variance
  

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La loi normale de Laplace-Gauss

• Cest la loi de probabilité la plus importante,
  pour des raisons de pratique, et pour des raisons
  théoriques.
• Cest la loi qui décrit les fluctuations des
  moyennes.
• Densité de probabilité définie de ?? à ?

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La loi normale de Laplace-Gauss

• Cest la loi de probabilité la plus importante,
  pour des raisons de pratique, et pour des raisons
  théoriques.
• Cest la loi qui décrit les fluctuations des
  moyennes.
• Densité de probabilité définie de ?? à ?
• La v.a. est centrée et réduite (?0 ?1)
• Toute loi normale de paramètres ? et ? peut être
  ainsi transformée en loi normale centrée réduite.

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La loi normale centrée réduiteTable 1
21
(No Transcript)
22
La loi normale centrée réduiteTable 2
23
La loi normale centrée réduiteTable 3
24
(No Transcript)
25
La loi normale centrée réduiteTable 4
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Loi normale fonction Excel
27
Loi normale fonction Excel
28
Loi normale exercice

• Le taux sanguin dhémoglobine (exprimé en g/dL)
  suit dans la population générale une loi normale
  de moyenne ?12 et décart type ? 2. La survenue
  dune anémie est associée à une diminution du
  taux dhémoglobine.
• 1. Quelle est dans la population générale la
  probabilité davoir un taux dhémoglobine
  inférieur à 10 ?
• 2. Quelle est la probabilité davoir un taux
  dhémoglobine compris entre 10,3 et 13,3 ?

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Loi normale exercice

• ?12 et ? 2
• 1.Quelle est dans la population générale la
  probabilité davoir un taux dhémoglobine
  inférieur à 10 ?
• Z (10-12)/2 -1
• Pr(Hblt10) Pr(Zlt-1) 0,159 (table 3.1)

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Loi normale exercice

• ?12 et ? 2
• 1.Quelle est dans la population générale la
  probabilité davoir un taux dhémoglobine
  inférieur à 10 ?
• Z (10-12)/2 -1
• Pr(Hblt10) Pr(Zlt-1) 0,159 (table 3.1)
• 2. Quelle est la probabilité davoir un taux
  dhémoglobine compris entre 10,3 et 13,3 ?
• Z1(10,3-12)/2-0,85 Z2(13,3-12)/20,65
• Pr(10,3ltHblt13,3)Pr(-0,85ltZlt0,65)0,544
• par interpolation à partir de la table 3.1