M

1
Méthodes de prévision (STT-3220)

• Section 6
• Classe des modèles ARMA
• Version 16 décembre 2008

2
Classe des processus ARMA(p,q)

• Soit le processus tel que
  et supposons que . Le
  processus est autorégressif moyenne mobile
  dordre (p,q) sil satisfait la relation
• Le processus est un bruit blanc
• Les paramètres sont des nombres
  réels.

3
Opérateur retard B (backward shift operator)

• Soit le processus . Lopérateur retard B
  se définit comme suit

4
Opérateur retard (suite)

• On suppose également que de sorte
  que .
• De plus .
• Lopérateur retard est linéaire

5
Opérateur retard (suite)

• Considérons lopérateur polynomial B
• On a alors que

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Opérateur retard (suite et fin)

• Somme, produit et produit par un scalaire se
  définissent de la même façon que pour des
  polynômes dune variable réelle.

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Opérateur différence ainsi que différence
saisonnière

• Dautres opérateurs sont utiles
• Opérateur différence
• Par exemple
• Opérateur différence saisonnière Soit s. On le
  définit comme
• Exemple

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Réécriture des modèles ARMA à laide de
lopérateur retard

• Posons
• Il est élégant et économique décrire
• Si , on dit que le processus
  est ARMA(p,q) si

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Processus autorégressifs Processus moyennes
mobiles

• Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p)
• Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q)

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Racines communes

• Considérons un modèle ARMA
• Comme nous allons le constater, la stationnarité
  et linversibilité reposeront sur létude des
  racines du polynôme autorégressif (stationnarité)
  et du polynôme moyenne mobile (inversibilité).
• Cependant, il faudra sassurer que les deux
  polynômes nont pas de racines communes. Si tel
  est le cas, on retire simplement les facteurs
  communs.
• Exemple
  nest pas un ARMA(1,1), mais le bruit
  blanc .

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Étude de la stationnarité dun processus ARMA(p,q)

• Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se
  demander si ce processus est stationnaire est se
  questionner si admet une représentation du
  genre
• On rappelle que
• On aimerait faire disparaître lopérateur
  .
• On aimerait multiplier par de chaque
  côté.

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Étude de la stationnarité (suite)

• Un résultat stipule que pour avoir lexistence de
  lopérateur , il faut étudier les
  racines de léquation
• Résultat fondamental
• existe si et seulement si les
  racines de léquation sont plus
  grandes que un en module.

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Exemple processus AR(1)

• Le processus est
• De manière équivalente
• Léquation caractéristique est
• La racine de cette équation est
• Si on a alors que

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Stationnarité dun ARMA(p,q)

• Si est un opérateur qui existe, on
  a alors que léquation
  peut être multipliée de chaque côté par
  lopérateur , ce qui nous donne

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Inversibilité dun processus ARMA(p,q)

• Soit un processus qui est ARMA(p,q). Se
  demander si ce processus est inversible est se
  questionner si admet une représentation du
  genre
• La discussion est en tout point similaire à celle
  sur la stationnarité. Dans
  , on veut multiplier de chaque côté
  par .

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Inversibilité dun ARMA(p,q) (suite)

• Lopérateur existe si et
  seulement si les racines de léquation
  sont plus grandes que un en module.
• Dans un tel cas

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Inversibilité dun ARMA(p,q) (suite)

• On note que dans
• Ainsi

18
Exemple Inversibilité dun processus MA(1)

• Le processus est
• De manière équivalente
• Léquation caractéristique est
• La racine de cette équation est
• Si on a alors que

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Remarques

• Soient léqn ,
  ou léqn
  avec
• En général, les racines de ces équations
  pourraient être des nombres complexes.
• On rappelle que si est racine
  dune équation, avec , il en est de
  même du conjugué, i.e. que
  sera également racine.
• Rappel le module dun nombre complexe
  est donné par la formule

20
Plan complexe
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Expressions consacrées!

• Vous allez souvent rencontrer des expressions du
  genre
• Les racines de () sont plus grandes que un en
  module .
• Ou encore
• Les racines de () sont à lextérieur du cercle
  unité .

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Cercle unité (dans le plan complexe)
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Étude de la stationnarité et de linversibilité
dun AR(p)

• Processus AR(p)
• Ce processus est stationnaire ssi les racines de
  sont plus grandes que un en module.
• Ce processus est toujours inversible.
• Exemple AR(1)
  admet une représentation en terme des valeurs
  passées et est stationnaire ssi

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Étude de la stationnarité et de linversibilité
dun MA(q)

• Processus MA(q)
• Ce processus est inversible ssi les racines de
  sont plus grandes que un en
  module.
• Ce processus est toujours stationnaire.
• Exemple MA(1)
  admet une représentation en terme dun bruit
  blanc et est inversible ssi