G

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Géométrie à larticulation Ecole - Collège

• André PRESSIAT

Maître de conférences de mathématiques
à lIUFM dOrléans-Tours DIDIREM - INRP
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Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs
sont écrites en cm), on a représenté un rectangle
ABCD et un cercle de centre A qui passe par D.
Ce cercle coupe le segment AB au point E.
Trouve la longueur du segment EB
Explique ta réponse
(évaluation entrée en 6e)
Victor 3,5 cm (explication le cercle est
situé au milieu du segment)
Adrien  1 cm 8 (explication  jai mesuré)
Lise  3 cm (explication 7 cm 4 cm 3 cm).
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École maternelle, cycle 2
Géométrie de la perception Est vrai ce
que je vois
Boîte à outil géométrique  lœil
Fin du cycle 2, cycle 3
Géométrie instrumentée Est vrai ce qui est
contrôlé à laide dinstruments
Boîte à outil géométrique  règle, compas,
équerre, gabarit
Collège
Géométrie déductive Est vrai ce que je
démontre
Figure distinguée du dessin Boîte à outil
géométrique  théorèmes, définitions, axiomes.
4
(No Transcript)
5
La géométrie théorique permet de contrôler les
résultats de géométrie instrumentée.
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Daprès C. ReymonetGrand N n 73,pp. 33-48,
2004.
Géométrie perceptive
Géométrie instrumentée
Géométrie théorique
La vérification expérimentale de certaines
propriétés déduites de la théorie rendue
disponible permet de voir si cette théorie peut
encore raisonnablement servir de modèle à notre
espace de vie.
On pose ici les bases dun éclairage géométrique
du sensible.On approche les premières figures
grâce à la manipulation (au sens large) de formes.
On appréhende notre espace de vie grâce à un
arsenal dont font partie loutil graphique, mais
aussi certains appareils de visée qui sont des
outils du géomètre de terrain.
Le monde sensible
Le monde graphique
La notion de figure sest peu à peu dégagée de la
notion de forme des objets.Les empreintes en
sont des intermédiaires pertinents.
La culture (experte) gagnée grâce à une
familiarisation expérimentale du monde graphique,
devient elle-même objet détude. On organise ici
des liens logiques entre les différents résultats
établis, ce qui permet den engendrer de nouveaux.
On travaille ici autour dune expertise graphique
intégrant un réseau de justifications appuyé sur
de lexpérimental.
La perception des figures est globale et se
suffit à elle-même comme moyen de
justification.Par exemple, lobjet que jobserve
est un carré parce que je le perçois comme tel.
Dans ma communauté dapprentissage, la preuve
quune figure est un carré passe par le
développement dune expérience graphique à laide
de léquerre et de la règle graduée.
Ici, le quadrilatère représenté sur le tableau de
la classe est un carré, car certains signes que
porte cette représentation lui donnent des
propriétés qui le caractérisent (par ex. trois
angles droits et deux côtés consécutifs
isométriques).
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Exemple dune telle vérification expérimentale
Gauss pensait quon ne pouvait pas démontrer
par le seul raisonnement la nécessité de la
géométrie euclidienne.
Il fit mesurer les angles dun triangle formé par
trois pics distants de 69, 85 et 197 km la
somme dépassait 180 de près de 15 , ce qui
était insuffisant pour conclure.
Gauss venait en effet de découvrir une nouvelle
géométrie théorique, aussi cohérente que la
géométrie euclidienne, dans laquelle la somme des
angles dun triangle est toujours strictement
inférieure à 180.
Cette géométrie est la géométrie hyperbolique.
Dans cette dernière, par un point A pris hors
dune droite (d), il passe deux droites qui sont
parallèles à cette droite.
8
(No Transcript)
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À propos de la médiatrice dun segment
Questionnaire proposé plusieurs fois à des
étudiants PE1
Q1
Construisez la médiatrice du segment MN.
Précisez quelles propriétés de la médiatrice
vous utilisez.Indiquez les instruments que vous
avez effectivement utilisés pour le tracé
N
RègleGraduation de la règleRapporteurCompasAng
le droit de léquerre
M
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Propriétés de la médiatrice
Définition
La médiatrice dun segment AB est la droite
perpendiculaire à ce segment, passant par le
milieu de ce segment.
Enoncé 1
Si un point M appartient à la médiatrice du
segment AB, alors M est équidistant de A et de
B.
Enoncé 2
Si un point M du plan est équidistant des points
A et B, alors il appartient à la médiatrice du
segment AB.
Enoncé 3
La médiatrice du segment AB est lensemble des
points du plan qui sont équidistant de A et de B.
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Résultats
Instruments utilisés
Propriété de la médiatrice citée
Fréquenceen
Commentaires
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Règle non graduée compas
Définition droite perpendiculaire au segment en
son milieu
La définition nexplique en rien cette
construction.
Règle graduée équerre
Définition droite perpendiculaire au segment en
son milieu
19
OK
Règle non graduée compas
Enoncé 1Si un point appartient à la médiatrice
dun segment, il est équidistant des extrémités
du segment.
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Lénoncé 1 est vrai, mais il ne permet pas de
justifier cette construction.
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Résultats (suite)
Instruments utilisés
Propriété de la médiatrice citée
Fréquenceen
Commentaires
Compas équerre (ou rapporteur)
Définition droite perpendiculaire au segment en
son milieu
8
La définition nexplique en rien cette
construction.
6,5
Règle non graduée compas
Enoncé 2 Si un point est équidistant de M et
de N, alors il appartient à la médiatrice de MN
OK
Règle non graduée compas
Rien
4
13
A propos de la notion de droite
Dans les manuels actuels pour la classe de
Sixième, la notion de droite est à peu près
entièrement naturalisée, présentée comme allant
de soi.
Ainsi, les axiomes, au lieu dapparaître comme
des créations permettant de modéliser lespace
sensible, sont présentés comme des énoncés
relevant de lévidence intuitive.
Par exemple  Si, dans le plan, on choisit un
point que lon note A, on peut tracer autant de
droites passant par A que lon veut. Si,
maintenant, on choisit deux points distincts
notés A et B, il y a une droite, et une seule,
qui passe par A et B. Il sagit de la droite
(AB) .
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Pourtant, alors que la notion sensible de droite
est caractérisée par la rectilinéarité une
droite est ... droite, cest-à-dire rectiligne ,
la notion de rectilinéarité ne peut pas être
caractérisée mathématiquement.
Ainsi on peut prendre pour ensemble de
 droites  autre chose que les variétés affines
D de dimension 1. Si ? est une bijection
quelconque de R2, le couple (R2, ?(?)) satisfait
laxiomatique (même celle de Hilbert), par
transport de structure. Considérons par exemple
la bijection définie par ?(x,y) (x1/3,y). Les
schémas ci-dessous montrent deux triangles ABC
avec leurs médianes dans ce modèle.
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La rectilinéarité, notion physique, ne peut pas
être caractérisée en termes mathématiques. Par
conséquent, avec des élèves de 6e notamment, il
est indispensable au préalable de (re)construire
la notion sensible de droite, quaucune théorie
mathématique ne peut à elle seule engendrer.
Comme dans de nombreux domaines, les
mathématiques supposent ici le non-mathématique,
quil sagit de mathématiser.
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Retour aux programmes
Cycle 2, cycle des apprentissages fondamentaux
Compétences- Percevoir un possible alignement de
points ou dobjets.- Vérifier si des points ou
des objets sont alignés ou non en particulier en
utilisant une règle.- Placer des points ou des
objets pour quils soient alignés.
CommentairesLes activités correspondantes
peuvent concerner des objets réels ou des points
sur la feuille de papier. Lalignement peut être,
selon le cas, réalisé et vérifié à vue (par
visée), à laide dun fil tendu ou en utilisant
une bande de papier ou une règle.
Cycle 3, cycle des approfondissements
Compétences- Vérifier, à laide de la règle, que
des points sont alignés.
CommentairesLes relations et propriétés évoquées
dans cette rubrique doivent être utilisées dans
des activités de résolution de problèmes, situés
dans différents espaces espace ordinaire,
feuille de papier, écran dordinateur.
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La perception dun alignement de plusieurs points
dans une figure complexe permet de tracer la
droite correspondante et de mettre en évidence
une propriété de cette figure.
Type dexemples expérimentés par M-J Perrin à
Lille, mobilisant seulement des alignements
Reproduire la figure en disposant au départ
seulement de (1).
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Cycle 3, cycle des approfondissements (suite)
Compétences- Utiliser à bon escient le
vocabulaire suivant points alignés, droite.
CommentairesAu cycle 3, le mot droite est
synonyme de ligne droite.Dautres termes
peuvent être introduits dans le cadre des
activités, mais leur maîtrise nest pas exigible
au cycle 3.Le codage des points et des segments
par des lettres sera introduit avec prudence, en
sattachant à faire distinguer la lettre du point
quelle désigne. Lutilisation des notations (AB)
pour la droite et AB pour le segment
dextrémités A et B et les symboles // et ? ne
sont pas exigibles au cycle 3 ces notations
seront abordées au collège, mais lenseignant
peut commencer à les utiliser à la fin du cycle 3.
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Classe de 6e
Compétences - Utiliser, en situation (en
particulier pour décrire une figure), le
vocabulaire suivant  droite, cercle, centre,
rayon, diamètre, angle, droites perpendiculaires,
droites parallèles, demi-droite, segment, milieu,
médiatrice. - Utiliser des lettres pour désigner
les points dune figure ou un élément de cette
figure (segment, sous-figure).
Commentaires La maîtrise du vocabulaire, des
notations et des formulations spécifiques du
langage géométrique est nécessaire au travail
géométrique, mais ce dernier ne doit pas se
limiter à la recherche de cette maîtrise. Cest
donc dans des problèmes où leur présence s'avère
utile, voire indispensable, que ces éléments de
langage sont introduits et employés  - figures
 téléphonées   - description écrite dune
figure pour permettre à un interlocuteur de la
reproduire  - dessin à main levée dune figure
pour permettre à un interlocuteur de la
reproduire  - jeux du portrait  questions
successives dans le but de trouver la figure
choisie par le meneur de jeu dans un lot de
figures.
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Report de longueur
Cycle 3
Classe de 6e
Ces compétences sont à développer en priorité sur
papier uni, en utilisant les instruments usuels
(règle, équerre et compas). Elles prennent leur
sens lorsquelles sont mobilisées pour résoudre
un problème  reproduire une figure, en compléter
un agrandissement ou une réduction déjà amorcée,
construire une figure daprès une de ses
descriptions. Les méthodes doivent varier en
fonction de lespace dans lequel est posé le
problème et des instruments laissés à la
disposition des élèves  - pour le report de
longueurs  usage du compas, d'une bande de
papier ou de la règle graduée 
Compétences - Vérifier à laide du compas ou
dun instrument de mesure, que des segments ont
la même longueur. - Tracer, avec un compas ou une
règle, un segment de même longueur quun segment
donné.
Commentaires Le compas doit être un instrument
privilégié pour comparer ou reporter des
longueurs, chaque fois quun mesurage nest pas
indispensable.
21
Classe de 6e
Les angles
Cycle 3 (Grandeurs)
- pour la reproduction dun angle  usage dun
gabarit ou du rapporteur Le rapporteur est,
pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de
mesure dont lutilisation doit faire lobjet dun
apprentissage spécifique.

• Compétences
• - Comparer des angles dessinés, par superposition
  ou en utilisant un gabarit.
• Comparer des angles situés dans une figure
  (angles intérieurs dun triangle, dun
  quadrilatère).- Reproduire un angle donné en
  utilisant un gabarit ou par report dun étalon.
• - Tracer un angle droit ainsi quun angle égal à
  la moitié, le quart ou le tiers dun angle droit.

- Comparer des angles. - Utiliser un rapporteur
pour  déterminer la mesure en degré dun
angle construire un angle de mesure donnée en
degré.Dans la continuité du travail entrepris à
l'école élémentaire, il est indispensable de
faire un travail sur la comparaison des angles
sans avoir recours à leur mesure, en les
superposant, et notamment de mettre en évidence
que l'égalité des angles est indépendante de la
longueur des côtés. Le rapporteur est un nouvel
instrument de mesure quil convient dintroduire
à loccasion de la construction et de létude des
figures.
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Droites perpendiculaires, droites parallèles
Cycle 3
Classe de 6e

• Compétences
• - Vérifier, à laide de léquerre, que deux
  droites sont perpendiculaires.- Vérifier, à
  laide de la règle et de léquerre, que deux
  droites sont parallèles.
• Tracer à main levée, une droite perpendiculaire
  ou parallèle à une droite donnée.- Tracer à
  laide de léquerre la perpendiculaire à une
  droite donnée, passant par un point donné (sur ou
  hors de la droite).- Tracer à laide de
  léquerre et de la règle une parallèle à une
  droite donnée.

• tracer, par un point donné, la perpendiculaire
  ou la parallèle à une droite donnée.

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Commentaires (Cycle 3) Le travail sur
droites perpendiculaires et droites parallèles
donne lieu à une synthèse, à partir dune
réflexion sur les positions relatives de deux
droites droites non sécantes (parallèles),
droites sécantes en prenant en considération leur
inclinaison relative (notion dangle) et
notamment cas des droites qui se coupent en
faisant quatre angles égaux (perpendiculaires).
Commentaires (6e)- pour le tracé dune
perpendiculaire  usage de la règle et de
léquerre, puis du compas et de la règle (après
le travail sur la médiatrice dun segment) -
pour le tracé dune parallèle usage de la règle
et de léquerre. En sixième, deux droites
parallèles sont caractérisées dun triple point
de vue  elles ne se coupent pas, leur écartement
est constant, si lune est perpendiculaire à une
troisième droite, lautre lest également. Deux
droites perpendiculaires sont caractérisées par
le fait quelles se coupent à angle droit (elles
déterminent quatre angles droits).
Pour les droites parallèles, la propriété décart
constant entre ces droites sera mise en évidence
et utilisée pour des activités de reconnaissance
ou de construction.
Lutilisation de tracés à main levée joue un rôle
important dans la mise en place dimages mentales
relatives au parallélisme et à la
perpendicularité, de même que la recherche de
procédés pour obtenir des droites
perpendiculaires ou parallèles par pliage dune
feuille de papier.
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En géométrie absolue (ou neutre), théorie dans
laquelle on introduit le plus tard possible
laxiome dEuclide, on peut démontrer que cet
axiome est équivalent à de nombreux énoncés,
parmi lesquels figure le suivant Il existe un
rectangle.
La figure ci-contre suggère quen géométrie
hyperbolique, il nexiste pas de rectangle
(quadrilatère ayant quatre angles droits).
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Problème pour passer de la géométrie instrumentée
à la géométrie théorique. Pourquoi ne peut-on
plus utiliser les instruments ? Quelle définition
de langle droit en géométrie théorique ? Statut
des énoncés classiques ?
Recherche INRP sur ce thème. Publication dans les
actes du colloque Inter-IREM de Montpellier
Quelles géométries au collège ? Geste physique,
geste virtuel, geste mental. Publication à venir
Apprentissages géométriques au début du
collège.
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Cette recherche fait jouer aux changements de
milieux (et particulièrement grâce à l'emploi de
logiciels d'enseignement de la géométrie tels que
CabriGéomètre ) le rôle de catalyseur dans le
passage de la géométrie instrumentée à la
géométrie théorique.
Pour ce qui concerne la géométrie plane, nous
avons considéré des problèmes géométriques dont
on puisse organiser l'étude et la résolution dans
une succession de milieux différents. L'ordre
dans cette succession est choisi de manière à
amener l'élève à passer de la problématique
pratique à la problématique géométrique, et à
prendre conscience des différences de modes de
validation légitimes dans le cadre de chacune
d'elles.
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Plus précisément, c'est en demandant aux élèves
de trouver une justification des techniques qui
soit indépendante du milieu matériel que nous
comptons faire émerger le besoin de géométrie
théorique.
En d'autres termes, c'est en cherchant à mieux
comprendre pourquoi des techniques (différentes
selon les milieux) donnent bien le résultat
qu'elles sont censées produire que l'on est amené
à identifier ou créer l'objet géométrique (ou les
propriétés de cet objet) sur lesquels toutes ces
techniques, pourtant différentes dans leur mises
en œuvre pratiques, sont fondées.
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Cercle
Cycle 3
Classe de 6e
Compétences - Utiliser, en situation (en
particulier pour décrire une figure), le
vocabulaire suivant  droite, cercle, centre,
rayon, diamètre, angle, droites perpendiculaires,
droites parallèles, demi-droite, segment, milieu,
médiatrice.(Les constructions à connaître sont
précisées en commentaires).
- Caractériser les points du cercle par le
fait que - tout point qui appartient au cercle
est à une même distance du centre  énoncé
2 - tout point situé à cette distance du centre
appartient au cercle. énoncé 1
Retour à la recherche INRP L'appréhension
perceptive facile de l'énoncé 2 explique que ce
dernier soit davantage disponible pour les
élèves, et que son emploi ne pose guère de
problème. En revanche, l'énoncé 1 nécessite une
prise de distance par rapport à la géométrie
perceptive que l'enseignement n'offre que trop
rarement l'occasion aux élèves de faire nous en
avons proposé une.
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Symétrie orthogonale
Cycle 3
Classe de 6e

• Compétences
• - Percevoir quune figure possède un ou plusieurs
  axes de symétrie.- Vérifier, en utilisant
  différentes techniques (pliage, papier calque,
  miroir) quune droite est axe de symétrie dune
  figure.
• Compléter une figure par symétrie axiale en
  utilisant des techniques telles que pliage,
  papier calque, miroir.- Tracer sur papier
  quadrillé, la figure symétrique dune figure
  donnée par rapport à une droite donnée.

- Construire le symétrique dun point, dune
droite, dun segment, dun cercle (que laxe de
symétrie coupe ou non la figure) - Construire ou
compléter la figure symétrique d'une figure
donnée ou de figures possédant un axe de symétrie
à l'aide de la règle (graduée ou non), de
l'équerre, du compas, du rapporteur.
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Commentaires (Cycle 3) Létude systématique de
la symétrie axiale relève de la sixième. Au cycle
3, il sagit de fournir loccasion aux élèves
détendre leur champ dexpériences sur cette
transformation et de mettre en œuvre
quelques-unes de ses propriétés. Les activités
conduites peuvent prendre appui sur lanalyse ou
la réalisation dassemblages, de frises, de
pavages, de puzzles, en utilisant différentes
techniques pliage, calque, miroir, gabarits.
Ces activités sont loccasion de mettre en
évidence des phénomènes de déplacement, avec ou
sans retournement, ainsi que de rencontrer
dautres transformations.Lutilisation de
lordinateur (logiciels de dessin, imagiciels)
permet denrichir le champ dexpériences des
élèves.Sur papier quadrillé, on se limite à
lutilisation daxes de symétrie qui suivent les
lignes du quadrillage ou qui sont des diagonales
de ce quadrillage.Les élèves sont confrontés à
quelques cas où laxe de symétrie coupe la figure.
Commentaires (6e) Dans la continuité du travail
entrepris à l'école élémentaire, les activités
s'appuient encore sur un travail expérimental
(pliage, papier calque) permettant d'obtenir un
inventaire abondant de figures simples, à partir
desquelles sont dégagées les propriétés de
''conservation'' de la symétrie axiale
(conservation des distances, de l'alignement, des
angles et des aires).  Le rôle de la médiatrice
comme axe de symétrie dun segment est mis en
évidence. La symétrie axiale n'a, à aucun moment,
à être présentée comme une application du plan
dans lui-même.  La bissectrice d'un angle est
définie en sixième comme la demi-droite qui
partage l'angle en deux angles adjacents de même
mesure. La justification de la construction de la
bissectrice à la règle et au compas est reliée à
la symétrie axiale.
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 La symétrie orthogonale est mise en jeu le plus
fréquemment possible pour justifier les
propriétés des quadrilatères usuels.
Figures triangles, quadrilatères usuels
Cycle 3
Classe de 6e
Compétences - Reconnaître de manière perceptive
une figure plane, en donner le nom. -
Identifier, de manière perceptive, une figure
simple dans une configuration complexe.-
Vérifier lexistence dune figure simple dans une
configuration complexe, en ayant recours aux
propriétés et aux instruments.- Décomposer une
figure complexe en figures plus simples.
Compétences - Connaître les propriétés
relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales
pour les quadrilatères suivants rectangle,
losange, cerf-volant, carré. - Connaître les
propriétés relatives aux côtés et aux angles des
triangles suivants triangle isocèle, triangle
équilatéral, triangle rectangle.- Utiliser ces
propriétés pour reproduire ou construire ces
figures.
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Classification des quadrilatères dans
lencyclopédie mathématique Didier
Un mot sur le cerf-volant
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Cette classification est faite en géométrie
affine. Pour ce qui concerne le collège, seuls
les cerfs-volants isocèles de la classification
précédente sont considérés, et appelés simplement
cerf-volant.
Définitions (caractérisations) possibles du
cerf-volant
Quadrilatère (convexe) dont une diagonale est axe
de symétrie.
Quadrilatère (convexe) ayant deux paires de côtés
consécutifs de même longueur.
Remarque Le deltoïde (quadrilatère ayant les
mêmes propriétés, mais qui nest pas convexe) est
également intéressant.
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Il reste à traiter - la reproduction et la
construction de figures (complexes).- la
géométrie dans lespace.- les grandeurs.
La géométrie dans lespace est également
travaillée dans la recherche INRP, mais avec une
autre problématique. Emploi du matériel ZOME,
permettant de visualiser un parallélépipède
rectangle, les projetantes et sa représentation
en perspective cavalière, tout ceci dun seul
tenant.