MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES II. Equations Diff

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MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES
II. Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• Tarik AL ANI
• Laboratoire A2SI - Groupe ESIEE

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.1 Equations différentielles partielles et
  Ordinaires
• Une propriété commune à toutes les lois
  fondamentales de la physique est que certaines
  quantités peuvent être définies par des valeurs
  numériques. Les lois physiques définies des
  relations entre ces quantités fondamentales et
  qui sont représentées habituellement par des
  équations. Une des classes de ces équations sont
  les équations différentielles.
• Définition II.1 Une équation différentielle est
  n importe quelle égalité algébrique qui incluse
  des dérivées.
• Exemple II.1a Oscillateur harmonique de
  l exemple I.21
• C est une équation différentielle linéaire à
  coefficients constants

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Equations Différentielles des systèmes linéaires

• II.1 Equations différentielles partielles et
  Ordinaires (suite)
• Définition II.2 Une Equation Différentielle
  Partielle (EDP) est une égalité incluant un ou
  plusieurs variables dépendantes ou un ou
  plusieurs variables indépendantes toutes avec des
  dérivées partielles des variables dépendantes par
  rapport aux variables indépendantes.
• Exemple II.1b Equation de diffusion d une
  certaine quantité dans un corps
• est la variable dépendante qui représente
  la concentration d une certaine quantité à un
  certain indépendante variable (temps t) et à un
  certaine variable indépendante ( position du
  corps x)

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Equations Différentielles des systèmes linéaires

• II.1 Equations différentielles partielles et
  Ordinaires (suite)
• Définition II.3 Une Equation Différentielle
  Ordinaire (totale) (EDO) est une égalité incluant
  une ou plusieurs variables dépendantes, une
  variable indépendante et une ou plusieurs
  dérivées de la variable dépendante toutes avec
  des dérivées partielles des variables dépendantes
  par rapport à la variable indépendante.
• Exemple II.2
  
  
• où
• , i0, 1, , n sont des constants. y(t) et x(t)
  sont des variables dépendantes et t est une
  variable indépendante
  
  

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.2 Equations différentielles non stationnaires
  et stationnaires
• Définition II.4 Une EDP ou une EDO non
  stationnaire (ou variable dans le temps) est une
  équation différentielle dans laquelle un ou
  plusieurs termes dépend explicitement de la
  variable indépendante t.
• Définition II.5 Une EDP ou une EDO
  stationnaire (ou constante dans le temps) est une
  équation différentielle dans laquelle aucun terme
  dépend explicitement de la variable indépendante
  t.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.2 Equations différentielles non stationnaires
  et stationnaires (suite)
• Exemple II.3
• sont des coefficients. Si tous
  ces coefficients sont des constants, alors cette
  EDO est une EDO stationnaire. Si une tous ou
  partie de ces coefficient est dépendant de t,
  alors cette EDO est une EDO non stationnaire

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.3 Equations différentielles linéaires et non
  linéaires
• Définissons d abord que veut dire un terme
  d une équation différentielle.
• Définition II.6 Un terme d une équation
  différentielle consiste des produits et des
  quotients des fonctions explicites de la variable
  indépendante t, et des fonctions des variables
  dépendantes et leurs dérivées.
• Définition II.7 Un terme linéaire est une
  fonction de premier ordre des variables
  dépendantes et leurs dérivées.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.3 Equations différentielles linéaires et non
  linéaires (suite)
• Définition II.8 Une EDP ou une EDO linéaire est
  une équation différentielle constituée de sommes
  des termes linéaires.
• Définition II.9 Une EDP ou EDO non linéaire
  est une équation différentielle contenant des
  termes fonction en puissance, produits, ou
  transcendantales de variables dépendantes.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.3 Equations différentielles linéaires et non
  linéaires (suite)
• Exemple II.4 Equation de diffusion dans un corps
• Les termes sot de premier ordre
• Exemple II.5
• sont des coefficients ou des
  fonctions dépendants du temps t

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.4 Notion de linéarité et superposition Définit
  ion II.10 Un système linéaire possède les
  propriétés suivantes
• Une entrée produit une sortie ,
  et
• Une entrée produit une sortie
  , et
• Une entrée
  pour tous
  les couples d entrées et et
  tous les couples de constants .
• Les systèmes linéaires sont souvent représentés
  par des équations différentielles linéaires.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.4 Notion de linéarité et superposition
  (suite)
• Définition II.11 Principe de superposition
• La réponse d un système linéaire
  correspondant à plusieurs entrées
  agissants simultanément est égale à la
  somme des réponses pour chaque entrée agissant
  seule

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.4 Notion de linéarité et superposition
  (suite) Définition II.12 Un système est linéaire
  si sa relation entrée-sortie peut être décrit par
  l intégral de convolution
• est une fonction représentant les propriétés
  physique du système appelée fonction de
  pondération..
• La contribution à la sortie de l entrée
  est une valeur pondérée de , où
  la pondération est fournie par une fonction de
  .

y(t)
x ( )
t
Fig. II.1
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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.5 Causalité et systèmes physiquement
  réalisables
• Définition II.13 Un système dans lequel le
  temps est une variable indépendante est dit
  causal si sa sortie dépend uniquement des valeurs
  de présent et celles de passé de la sortie.
  Autrement dit, la sortie y(t) dépend uniquement
  de l entrée .
• Cette définition implique quun système physique
  causal ne peut pas anticiper le future de ses
  entrées.
• Définition II.14 Un système est dit physiquement
  réalisable s il est causal. Dans ce cas
  0, i.e. les valeurs futures des
  entrées sont pondérées à zéro.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi
  linéaires Dans la réalité, aucun système physique
  peut être décrit exactement par une équation
  différentielle linéaire stationnaire. Cependant,
  beaucoup de systèmes peuvent être représentés sur
  une plage limitée de fonctionnement, ou par une
  approximation linéaire.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi
  linéaires (suite)
• Exemple II.6 Considérons l oscillateur
  harmonique décrit en exemple I.1. Si la force du
  ressort est une fonction non linéaire x,
  Fig. II.2a
• Dans ce cas l équation du mouvement
• (I.1) est valable uniquement dans la plage
• de linéarité -x0, x0 . i.e. le
• déplacement x ne doit pas dépasser la
• valeur x0.

kx0
-x0
x
x0
-kx0
Fig. II.2a
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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi
  linéaires (suite)
• Exemple II.7 Considérons de nouveau
  l oscillateur harmonique décrit en exemple I.1.
  Supposons maintenant que le déplacement x
  dépasse la valeur x0 .
• Dans ce cas pour appliquer l équation du
• mouvement (I.1), une approximation de
• la courbe en fig. II.1 par trois lignes
• droites est effectuée, Fig. II.2b.
• Dans ce cas, le système d origine est
  représenté
• par un autre système quasi linéaire
• le système est décrit par l équation (I.1)dans
  la plage de linéarité -x0, x0 avec
  kx et
• le système est décrit par pour
  

F1
-x1
x0
x1
x0
-F1
Fig. II.2b
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Equations Différentielles des systèmes linéaires

• II.6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi
  linéaires (suite)
• Exemple II.8 Considérons le pendule décrit en
  exemple I.2. Si on s intéresse à des petits
  mouvements du pendule autour du point de
  fonctionnement , alors l équation du
  mouvement peut alors être linéarisée autour de ce
  point.
• Ceci peut être effectué en formant un
  développement par série de Taylor du terme non
  linéaire autour de point
  en gardant uniquement les premiers termes de
  premier degrée. L équation non linéaire est
  

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Equations Différentielles des systèmes linéaires

• II.6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi
  linéaires (suite)
• Exemple II.8 (suite)
• L équation linéaire est alors
• qui est valide pour des petites variation en
  .

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.7 L Opérateur Différentiel (D) et l Equation
  Caractéristique
• Considérons l équation différentielle d ordre
  n

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.7 L Opérateur Différentiel (D) et l Equation
  Caractéristique
• Définition II.15 D   est appelé lOpérateur
  Différentiel d ordre n, n1,2,...
• Définition II.16 Le polynôme en D suivant
• est appelé polynôme caractéristique.
• Définition II.17 L équation en D suivante
• est appelée polynôme caractéristique. Cette
  équation possède n solutions DD1, DD2, , DDn.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental
• Définition II.18 Un ensemble de n fonctions de
  temps
• est dit linéairement indépendantes si
  l ensemble unique des constants pour
  lesquelles sont les constants
  .
• Exemple II.9
• Les fonctions t et t2 sont linéairement
  indépendantes puisque
• c1tc2 t2 t(c1 c2 t)0 implique c1 / c2 -
  t.
• Des constants qui permettent de satisfaire cette
  relation n existent pas.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental (suite)
• Définition II.19
• Une équation différentielle linéaire homogène
  d ordre n de la forme
• possède au moins un ensemble de n solutions
  linéairement indépendantes. Un ensemble
  quelconque parmi ces ensembles est dit ensemble
  fondamental.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental (suite)
• Propriétés
• cet ensemble n est pas unique,
• A partir d un ensemble fondamental donné, autres
  ensembles fondamentales peuvent être générés par
  la méthode suivante
• Soit un ensemble fondamental pour une équation
  différentielle d ordre n. Alors un ensemble de n
  fonctions
• peut être formé
• est un ensemble de n2 constants. Chaque
  est une solution de l équation
  différentielle. Cet ensemble de n solutions est
  un ensemble fondamental si

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental (suite)
• Exemple II.10
• Reprenons l équation du mouvement de
  l oscillateur harmonique (Exemple I.1)
• Cette équation différentielle d ordre 2 possède
  un ensemble fondamental
• un deuxième ensemble fondamental est

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental (suite)
• Définition II.20
• En général, si l équation caractéristique
  possède des racines distinctes , alors
  l ensemble fondamental de l équation homogène
  est l ensemble des fonctions
  .
• Exemple II.11 L équation différentielle
• possède l équation caractéristique D23D20,
  ses racines sont D D1 -1 et D D2 -2.
  L ensemble fondamental de cette équation est
  

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.8 Indépendance linéaire et ensemble
  fondamental (suite)
• Définition II.21
• Si l équation caractéristique possède des
  racines répétées, alors pour chaque racine Di de
  multiplicité ni , il existe ni éléments de
  l ensemble fondamental de l équation homogène
  .
• Exemple II.12 L équation différentielle
• possède l équation caractéristique D22D10,
  ses racines sont D D1 D2 -1. L ensemble
  fondamental de cette équation est

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants
• Définition II.22 Problème de la valeur initiale
• Considérons la classe d équations
  différentielles de la forme
• sont des constants, x(t) est l entrée qui est
  une fonction supposée connue, et yy(t) la sortie
  qui est la solution inconnue de cette équation.
• Si cette équation décrit un système physique,
  alors en général et n est appelé
  l ordre de l équation différentielle.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants
• Définition II.22 Problème de la valeur initiale
  (suite)
• Pour spécifier complètement le problème tel
  quune solution unique y(t) peut être obtenue, il
  faut spécifier deux informations
• l intervalle du temps sur lequel une solution
  est désirée
• un ensemble de n conditions initiales pour y(t)
  et ses premiers n-1 dérivées.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Pourquoi ?
• Cette restriction est une contrainte pratique
  puisque les plupart des systèmes physiques
  possèdent l effet de lissage (smoothing) sur les
  entrées. (lissage signifie que des variations à
  l entrée sont atténuées par la dynamique du
  système).
• Interprétation La sortie y est liée à
  l entrée x par une dynamique incluant m
  dérivations et n intégrations de l entrée.
  Ainsi, pour obtenir un effet de lissage entre
  l entrée et la sortie, il doit y avoir au moins
  autant d intégrations que de dérivations, i.e.
  .

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Exemple II.13
• Un système décrit par ,
  Fig. II. 3
• La sortie
• la dérivation de x augment les variations,
• l intégration de x diminue les variations.

x
1
t
1 2 3 4
dx/dt
y(t)
1
t
Fig. II.3
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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• La solution de cette classe d équations est
  composée de deux réponses
• réponse libre yL(t)
• réponse forcée yF(t)

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Définition II.23 Réponse libre
• Cette réponse est la solution de l équation
  différentielle quand toutes les entrées x(t) sont
  identiquement nulle
• La solution yL(t) de ctte équation dépend
  uniquement des n conditions initiales.
• Si est un ensemble fondamental,
  alors la solution est
• Les constants ci sont obtenus en termes des
  conditions initiales
• à partir des n équations algébriques

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• L indépendance linéaire de y(t) garantie quune
  solution à ces équations peut être obtenue pour
  ci1, 2, , n.
• Exemple II.13 La réponse libre de l équation
  différentielle
• avec les conditions initiales est
  déterminée en posant
• où sont des coefficients inconnus et est
  l ensemble fondamental de l équation
  différentielle (voir exemple II.11).
• Puisque doit satisfaire les conditions initiales
• et
• Ainsi, et

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Définition II.24 Réponse forcée
• Cette réponse est la solution de l équation
  différentielle quand toutes les conditions
  initiales
• sont identiquement nulles .
• L implication de cette définition est que la
  réponse forcée dépend uniquement de l entrée
  x(t). La réponse forcée pour une équation
  différentielle ordinaire à coefficients constants
  peut être définie par l équation de convolution
• est la fonction de pondération de
  l équation différentielle qui décrit un système
  causal.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Définition II.25 Fonction de pondération d une
  équation différentielle ordinaire à coefficients
  constants
• Cette fonction est définie comme suit
• où sont des constants et l ensemble des
  fonctions
• est un ensemble fondamental de l équation
  différentielle.
• est la réponse libre de l équation
  différentielle et ainsi requiert n conditions
  initiales pour une spécification complète. Ces
  conditions fixent les valeurs des constants
  . Les conditions initiales qui sont
  toutes des fonctions de pondération des équations
  différentielles linéaires doivent satisfaire
  .

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Exemple II.14 La fonction de pondération de
  l équation différentielle est
• Alors et
• Si x(t)1, alors

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.9 Solution des équations linéaires ordinaires
  à coefficients constants (suite)
• Définition II.26 Réponse totale
• réponse totaleréponse libre réponse forcée
• Exemple II.15 La réponse totale de avec les
  conditions initiales

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.10 Réponses en régime permanent et en régime
  transitoire.
• Définition II.27 Réponse en régime permanent
• Cette réponse est la partie de la réponse totale
  qui ne tend pas vers zéro quand t tend vers
  infini. C est la réponse libre.
• Définition II.28 Réponse en régime transitoire
• Cette réponse est la partie de la réponse totale
  qui tend vers zéro quand t tend vers infini.
  C est la réponse forcée.
• Exemple II. 16 La réponse totale de l exemple
  II.15 est
• La réponse en régime permanent est
• La réponse en régime transitoire est

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières
• Pour étudier les systèmes de contrôle et leurs
  équations différentielles, une famille
  particulière de fonctions appelées fonctions
  singulières est utilisée. Ces fonctions sont les
  suivantes
• fonction unité (fonction d Heaviside)
• fonction de Dirac
• fonction rampe.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.29 Fonction unité (fonction
  d Heaviside)
• Cette fonction est définie par

1
t
Fig. II.4
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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.30 Fonction de Dirac
• Cette fonction est définie par
• où r(t) est une échelon unité.
• Parfois, en pratique, on utilise des fonctions
• tendent vers .
• Par exemple la fonction gaussienne

t
Fig.II.5
42
Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.31 Fonction rampe unité
• Cette fonction est définie par
• où r(.) est une échelon unité.
• Parfois, en pratique, on utilise des fonctions
• tendent vers .
• Par exemple la fonction gaussienne

1
t
1
Fig.II.6
43
Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.32 Réponse à une échelon unité
• Cette réponse est la sortie y(t) du système
  quand l entrée x(t)r(t) (fonction unité) et
  toutes les conditions initiales sont nulles.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.33 Réponse Impulsionnelle
• Cette réponse est la sortie y(t) du système
  quand l entrée x(t) est une impulsion de Dirac
  et toutes les conditions initiales sont nulles.
• Propriété de fenêtrage

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.11 Fonctions singulières (suite)
• Définition II.34 Réponse à une rampe unité
• Cette réponse est la sortie y(t) du système
  quand l entrée x(t) est une fonction rampe unité
  et toutes les conditions initiales sont nulles.

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.12 Systèmes de deuxième ordre
• Ce système est très important puisque des
  systèmes d ordre plus élevés peuvent souvent
  être rapprochés par des systèmes de deuxième
  ordre.
• L équation différentielle de ce système
• est donnée par
• où est le coefficient d amortissement
  réduit
• est la fréquence naturelle du
  système non amorti (pulsation propre)
• En supposant que , l équation
  caractéristique est
• alors
• où est le coefficient
  d amortissement
• est la pulsation
  propre du système amorti
• est le constant du temps

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Equations Différentielles des systèmes
linéaires

• II.12 Systèmes de deuxième ordre (suite)
• La fonction de pondération
• qui donne pour une entrée échelon unité
• où
• Fig. II.7 montre la représentation paramétrique
  de la réponse à une échelon unité. L abscisse de
  la famille des courbes est un temps normalisé
  , et le paramètre définissant chaque courbe est
  le coefficient d amortissement réduit .