Indexes

1
Indexes à Arbres et Indexes à Hachage

• Sections sélectionnées des Chapitres 10 11

2
Introduction

• Rappel des 3 alternatives dentrées des données
  k
• un enregistrement de données avec une valeur de
  clé k
• une paire ltk, ridgt
• une paire ltk, liste de ridsgt
• Le choix dépend de la technique dindex utilisée
  pour localiser les entres des données k.
• Les indexes à arbres supportent à la fois la
  recherche des plages de valeurs (range
  search) ainsi que les recherches degalités
  (equality search).
• ISAM structure statique B tree dynamique,
  sajuste gracieusement aux insertions et
  effacements.
• Indexes à Hachage meilleurs pour les recherches
  dégalité ne peuvent supporter les recherches
  des valeurs des plages.

3
Intuition Derrière les Indexes à Arbres

• Trouvez tous les étudiants avec un gpa gt 3.0
• Si les données sont stockées dans un fichier
  trié, faire la recherche binaire pour trouver le
  premier de ces étudiants, et de là faire un
  scannage pour trouver les autres.
• Le coût de la recherche binaire peut être
  prohibitif ! Il est en effet proportionnel au
  de pages puisées.
• Solution Créer un fichier dindexes

Fichier dindexes
kN
k2
k1
Page N
Fichier de données
Page 1
Page 3
Page 2

• Une recherche binaire est faisable sur de petits
  fichiers dindexes!

4
ISAM
Entrée dindex
P
K
P
K
P
P
K
m
0
1
2
1
m
2

• Le fichier dindexes peut être très large. On
  peut cependant appliquer lidée de fichier
  dindexes de manière répétée!

Pages
internes
Pages
feuilles
Pages primaires

• Les pages feuilles contiennent les entrées des
  données.

5
ISAM (Suite)

• Création du fichier les feuilles (pages de
  données) sont allouées séquentiellement et triées
  selon la clé de recherche ensuite les pages de
  débordement sont crées.
• Entrées dindexes ltvaleur de la clé, page idgt
  orientent la recherche vers les entrées de
  données se trouvant dans les pages feuilles.
• Recherche Commence à la racine compare des
  clés pour aller vers la feuille appropriée. Coût
  log F N F entrées/pg index, N
  feuilles
• Insertion Trouver la feuille à la quelle
  appartient lentrée de donnée et ly mettre.
• Effacement Trouver et enlever lentrée de la
  feuille désaffecter une page de débordement vide.

Pages de données
Pages des indexes
Pages de débordement

• Structure statique les changements naffectent
  que les feuilles.

6
Exemple dun Arbre ISAM

• Chaque nœud peut contenir 2 entrées il ny a pas
  besoin de pointeurs liant les pages entre elles
  (Pourquoi ???)

7
Après lInsertion de 23, 48, 41, 42 ...
Racine
40
Pages de lindex
20
33
51
63
Feuilles
primaires
46
55
10
15
20
27
33
37
40
51
97
63
41
48
23
Pages de
débordement
42
8
... Ensuite Effacement de 42, 51, 97
Racine
40
20
33
51
63
46
55
10
15
20
27
33
37
40
63
41
48
23

• Notez que 51 apparaît au niveau de la page de
  lindex,
• mais pas dans la feuille!

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Arbre B LIndex le plus Usuel

• Insertion/effacement avec coût log F N Garde la
  hauteur balancée. (F fanout, N
  feuilles)
• Taux doccupation minimum de 50(sauf pour la
  racine). Chaque nœud contient d lt m lt 2d
  entrées. Le paramètre d est appelé lordre de
  larbre.
• Supporte efficacement les recherches des plages
  de valeurs et les recherches dégalités.

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Exemple dArbre B

• La recherche commence à la racine et les
  comparaisons des clés lorientent vers une page
  (similaire à la méthode ISAM).
• Recherchez 5, 15, , toutes entrées de données
  gt 24 ...

Racine
17
24
30
13
39
3
5
19
20
22
24
27
38
2
7
14
16
29
33
34
11
Arbre B en Pratique

• Ordre typique 100. Remplissage typique 67.
• Sortance (fanout) moyenne 133
• Capacités typiques
• Hauteur 4 1334 312,900,700 enreg.s
• Hauteur 3 1333 2,352,637 enreg.s
• Les niveaux supérieurs de larbre peuvent souvent
  tenir en mémoire principale (buffer pool)
• Niveau 1 1 page 8 Kbytes
• Niveau 2 133 pages 1 Mbyte
• Niveau 3 17,689 pages 133 MBytes

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Insertion dune Entrée de Données

• Trouver la feuille appropriée L.
• Mettre lentrée de données dans L.
• Si L a assez despace, fin!
• Sinon, on doit partager L (en L et un nouveau
  nœud L2)
• Redistribuer les entrées de manière égale, copier
  la clé du milieu vers le haut.
• Insérer lentrée dindex pointant vers L2 dans le
  parent de L.
• Ceci peut arriver de manière récursive
• Pour partager nœud dindex, redistribuer les
  entrées de manière égale, mais pousser la clé du
  milieu vers le haut. (Contrastez ceci avec le
  partage des feuilles !!)
• Les partages font croître larbre le partage de
  la racine augmente sa hauteur.
• Croissance de larbre devient plus large ou d
  un niveau plus élevé à la racine.

13
Insertion de 8 dans lExemple

• Veuillez noter la différence entre copier vers le
  haut et pousser vers le haut. (Pourquoi fait-on
  cette différence????)

Entrée à insérer dans le nœud parent.
(Notez que 5 est copié vers le haut et
5
continue dapparaître dans la feuille.)
3
5
2
7
8
napparaît quune fois dans lindex.
14
Exemple dArbre B Après lInsertion de 8
Racine
17
24
30
13
5
2
3
39
19
20
22
24
27
38
7
5
8
14
16
29
33
34

• La racine a été partagée doù augmentation de
  la hauteur.

• En fait, nous pouvons redistribuer ici au lieu
  de partager
• cependant cela nest pas usuel dans la
  pratique.

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Effacement dune Entrée de Donnée

• Commencer à la racine, trouver la feuille L à
  laquelle lentrée appartient.
• Enlever lentrée.
• Si L est au moins à moitié vide, fin!
• Sinon L a seulement d-1 entrées,
• Essayer de redistribuer, empruntant des cousins .
• Sinon, fusionner L et un cousin.
• Si une fusion a lieu, on doit effacer lentrée
  (dindexe) pointant (vers L ou le cousin) à
  partir du parent de L.
• La fusion peut se répercuter jusquà la racine,
  décroissant ainsi la hauteur de larbre.

16
Notre Arbre Après lInsertion de 8, Suivie de
lEffacement de 19 et 20 ...
Racine
17
27
30
13
5
2
3
39
38
7
5
8
22
24
27
29
14
16
33
34

• Effacer 19 est facile.
• Effacer 20 est fait via une redistribution.
  Noter comment la clé du milieu est copiée vers le
  haut après la redistribution.

17
... Et Ensuite Après lEffacement de 24

• On doit fusionner.
• A droite, on fait un échange dentrée dindex.
• Ci bas, on tire une entrée vers le bas.

30
39
22
27
38
29
33
34
Racine
13
5
30
17
3
39
2
7
22
38
5
8
27
33
34
14
16
29
18
Exemple de Redistribution Interne

• A lopposé du cas précédant, ici on peut
  redistribuer une entrée de lenfant gauche de la
  racine vers lenfant droit.

Racine
22
30
17
20
13
5
19
Après la Redistribution

• Intuitivement, les entrées sont redistribuées en
  poussant lentrée partageante vers le noeud
  parent.
• Il suffit de redistribuer lentrée dindex avec
  clé 20 on a aussi redistribué 17 pour
  illustration.

Root
17
13
5
30
22
20
39
7
5
8
2
3
38
17
18
33
34
22
27
29
20
21
14
16
20
Chargement en Vrac dun Arbre B

• Si lon a une large collection denreg.s et que
  lon veut créer un indexe à arbre B avec une clé
  donnée, le faire enregistrement par
  enregistrement est très inefficace.
• Solution Bulk Loading (chargement en vrac).
• Initialisation
• Trier toutes les entrées de données et les
  diviser en page
• créer une page racine vide et
• insérer un pointeur de la racine vers la 1ère
  page des données.

Pages dentrées de données triées non encore
mises dans larbre B
Racine
21
Chargement en Vrac (Suite)

• Les entrées dindex pour les feuilles sont
  toujours créées dans la page dindex la plus à
  droite située juste au dessus du niveau des
  feuilles. Si cette dernière est pleine, elle est
  partagée. (Ce processus peut se répéter
  récursivement

Racine
10
20
Pages de données
35
23
12
6
à mettre sur larbre
3
6
9
10
11
12
13
23
31
36
38
41
44
4
20
22
35
Racine
20
10
35
6
23
12
38
3
6
9
10
11
12
13
23
31
36
38
41
44
4
20
22
35
22
Hachage Statique

• Pages primaires en nombre fixe et affectées
  séquentiellement jamais désaffectées pages de
  débordement si nécessaire.
• h(k) mod M bucket où mettre lentrée des
  données dont la clé est k. (M de buckets)

0
h(key) mod N
2
key
h
N-1
Pages (bucket) primaires
Pages de débordement
23
Hachage Statique (Suite)

• Les buckets contiennent les entrées des données.
• La fonction de hachage utilise le champ de la clé
  de recherche de lenregistrement r. Les valeurs
  des clés doivent être distribuées sur une plage
  allant de 0 à M-1.
• Les fonctions de hachage ont été abondamment
  étudiées.
• Défaut possible développement de longues chaînes
  de débordement qui peuvent entraver la
  performance.
• Hachage extensible et haching linéaire
  Techniques dynamiques pour résoudre ce problème.

24
Hachage Extensible

• Situation un bucket (page primaire) se remplit.
  Pourrait-on réorganiser le fichier en doublant le
  de buckets?
• Lire et écrire toutes les pages est très coûteux!
• Solution Utiliser un répertoire de pointeurs
  vers les buckets doubler le de buckets en
  doublant la taille du répertoire, tout en ne
  partageant que les buckets en débordement!
• Le répertoire est bien plus petit que le fichier
  lui-même, doù doubler le répertoire est moins
  coûteux. Plus besoin de pages de débordement!

25
Exemple
2
PROFONDEUR LOCALE
Bucket A
16
4
12
32
PROFONDEUR GLOBALE

• Le répertoire est de taille 4.
• Pour trouver un bucket pour r, prendre un de
  bits à la fin de h(r) équivalent à la
  profondeur globale p.ex.
• Si h(r) 5 ( binaire 101), r est dans le bucket
  vers le quel pointe 01.

2
2
Bucket B
13
00
1
21
5
01
2
10
Bucket C
10
11
2
REPERTOIRE
Bucket D
15
7
19
PAGES DE DONNEES

• Insertion Si le bucket est plein, le partager
  (affecter une nlle page,
• et redistribuer).

• Si nécessaire, doubler le répertoire. (En fait,
  partager un bucket
• nentraîne pas nécessairement le doublement
  du répertoire
• un doublement nest nécessaire que si la
  profondeur globale ne
• correspond plus a la profondeur locale.)

26
Insertion de h(r)20 (Cause un Doublement)
2
3
PROFONDEUR LOCALE
PROFONDEUR LOCALE
Bucket A
16
32
32
16
Bucket A
PROFONDEUR GLOBALE
PROFONDEUR GLOBALE
2
2
2
3
Bucket B
1
5
21
13
00
1
5
21
13
000
Bucket B
01
001
2
10
2
010
Bucket C
10
11
10
Bucket C
011
100
2
2
REPERTOIRE
101
Bucket D
15
7
19
15
19
7
Bucket D
110
111
2
3
Bucket A2
20
4
12
DIRECTORY
20
12
Bucket A2
4
(image'
de Bucket A)
(image'
de Bucket A)
27
Insertion de h(r)20 (Suite)

• 20 binaire 10100. Derniers 2 bits (00)
  indiquent que r appartient au bucket A qui est
  déjà plein! On divise A en A et A2. mais on a
  besoin des 3 derniers bits pour décider.
• Profondeur Globale du répertoire Max de bits
  nécessaires pour décider du bucket auquel une
  entrée appartient.
• Profondeur Locale dun bucket de bits utilisés
  pour déterminer si une entrée appartient à ce
  bucket.
• Quand double-t-on le répertoire?
• Avant insertion p.l. du bucket p.g..
  Linsertion entraîne p.l. gt p.g. le répertoire
  est doublé par copie (copying over) et
  réarrangement des pointeurs.

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Résumé

• Index en arbre ISAM, arbres B
• ISAM est une structure statique
• Seules les feuilles sont modifiées pages de
  débordement nécessaires
• Défaut chaînes de débordements
• Arbres B est une structure dynamique.
• Insertion et effacement laissent larbre balancé
• coût de log F N
• Pas de chaînes de débordement
• Bulk loading des arbres B
• Index à hachage Hachage statique vs. extensible