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Méthodesde Biostatistique

• Chapitre IV
• Inférence Statistique sur la moyenne

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1.Estimation ponctuelle de la moyenne

• Lestimation de la moyenne ? dune population est
  donnée par
• Exemple Lestimation de la moyenne du temps
  dattente dans une salle durgence durant les
  week-ends est donnée par

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2. Estimation par intervalle de la moyenne

• Daprès le théorème central limite, pour une
  taille échantillonnale grande (n 30) , la
  moyenne échantillonnale a une distribution
  normale de moyenne et de variance
• Ainsi, pour une taille échantillonnale assez
  large, on a
• Suit une loi normale de moyenne 0 et de variance
  1.

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• Supposons quon a un niveau de confiance de 95.
• puisque , alors
• La dernière équation indique la probabilité que
  lintervalle contient la moyenne
  est de 95. Cet intervalle est appelé
  Intervalle de Confiance.

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• Lintervalle de confiance (IC) de la moyenne ? à
  95 est donné par
• Supposons dans lexemple précédent, ?9.5, alors
  lIC de ? à 95 est
• Lintervalle de confiance (IC) de ? à 100(1-?)
  est donné par

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• LIC de ? quand la variance est inconnue
• Si la taille échantillonnale n 30, lIC pour ?
  à 100(1-?),
• Si la taille échantillonnale n lt 30, lIC pour ?
  à 100(1-?),
• ddldfn-1, où t représente la distribution
  appelée Student, et dont les valeurs sont données
  par la table 2.

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• Détermination de la taille échantillonnale
• Pour planifier une expérience, spécifiquement
  trouver la taille échantillonnale nécessaire pour
  répondre à des conditions statistiques précises,
  on doit répondre tout dabord à ces deux
  questions
• 1. Quelle erreur peut-on tolérer pour notre
  estimateur de la moyenne?
• 2. Cest quoi le niveau de confiance quon
  aimerait utiliser?
• Pour la question 2, le chercheur doit décider du
  niveau de confiance dont il a besoin. (par ex.
  90, 95 ou 99)
• Pour la question 1, On définit lerreur par
• Et donc

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3. Tests dhypothèses sur la moyenne

• Considérons lhypothèse suivante
• H0 ? ?0
• vs H1 ? gt ?0
• Considérons un échantillon de taille n provenant
  dune population dont la variance est connue et
  est donnée par ?2. Alors on dit quon rejette
  lhypothèse nulle H0 au niveau de signifiance de
  ? , si

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• Considérons lhypothèse suivante
• H0 ? ?0
• vs H1 ? lt ?0
• Considérons un échantillon de taille n provenant
  dune population dont la variance est connue et
  est donnée par ?2. Alors on dit quon rejette
  lhypothèse nulle H0 au niveau de signifiance de
  ? , si

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• Considérons lhypothèse suivante
• vs
• Considérons un échantillon de taille n provenant
  dune population dont la variance est connue et
  est donnée par ?2. Alors on dit quon rejette
  lhypothèse nulle H0 au niveau de signifiance de
  ? , si
• ou

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Tests dhypothèses avec la variance inconnue

• Considérons lhypothèse suivante
• Considérons un échantillon de taille n provenant
  dune population dont la variance est inconnue.
  Alors on dit quon rejette lhypothèse nulle H0
  au niveau de signifiance de ? , si lalternative
  est

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P-value?

• La règle suivante peut être utilisée pour prendre
  des décisions
• Rejeter H0 si p-value ?
• où ? est le niveau de signifiance choisi pour le
  test.
• Cette règle sapplique pour les tests bilatéraux.
  Dans le cas dun test unilatéral, la règle
  devient
• Rejeter H0 si (p-value/2) ?
• Comment calculer la p-value (à la main!)?
• (Voir exemple en classe!)

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Puissance et détermination de la taille
échantillonnale

• La puissance dun test est définie par
• P 1-? P(rejeter H0 H0 fausse)
• Calcul de la puissance
• La puissance est une fonction qui dépend des 3
  paramètres suivants
• 1. n Taille échantillonnale.
• 2. ? Niveau de signifiance.
• 3. DT Leffet de la taille La différence
  standardisée des moyennes spécifiées sous H0 et
  H1.

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• Considérons le test bilatéral suivant,
• vs
• Le paramètre DT est défini par
• La puissance est donnée par

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• La taille échantillonnale nécessaire pour
  sassurer dun certain niveau de puissance pour
  un test bilatéral est
• La taille échantillonnale nécessaire pour
  sassurer dun certain niveau de puissance pour
  un test unilatéral est

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4. Inférence statistique sur

• 4.1 Intervalles de confiance
• Pour construire un IC pour la différence de deux
  moyennes de deux populations supposées
  indépendantes, on étudie les 3 cas suivants
• Cas 1 Variances connues
• Cas 2 Variances inconnues mais égales
• Si les tailles échantillonnales sont supérieures
  à 30
• Si les tailles échantillonnales sont inférieures
  à 30

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• Cas 3 Variances inconnues et possiblement
  inégales
• Tests sur les variances
• vs
• ou
• Si les tailles échantillonnales sont supérieures
  à 30
• Si les tailles échantillonnales sont inférieures
  à 30
• où

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Puissance et détermination de la taille
échantillonnale

• Considérons les hypothèses suivantes
• vs
• vs
• La puissance est donnée par
• Où
• La taille échantillonnale relative à une
  puissance donnée
• en supposant que le tailles échantillonnales sont
  égales.

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Cas de deux populations dépendantes Données
pairées

• Considérons le test suivant
• vs
• Ce qui est équivalent à
• vs
• On estime par , qui est la moyenne des
  différences entre deux observations
  correspondantes.
• Les intervalles de confiances (avec différentes
  situations par rapport à la variance) sont les
  mêmes que ceux dune moyenne. Aussi, les mêmes
  règles pour les tests dhypothèses sur une
  moyenne sappliquent aussi dans ce contexte.
  (voir exemple)