Alessandro Bottaro

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PERTURBATIONS OPTIMALES et DEFAUTS MINIMAUX

• Alessandro Bottaro
• UNIVERSITÀ DI GENOVA

Abstract Optimal perturbations are those
perturbations which can optimally excite the
initial growth of the disturbance energy for a
given flow in subcritical conditions, i.e. in
conditions for which all the eigenvalues of the
linearized system predict asymptotic stability.
An approach is described to obtain optimal
perturbations, and some examples are provided.
The interest in the transient, algebraic growth
of disturbances stems from the fact that such a
growth can be so large that nonlinear
interactions should no longer be neglected from
the analysis (leading to the so-called by-pass
transition). An alternative path to transition
is also outlined, consisting in the exponential
destabilization of normal modes of a nominally
stable mean flow, optimally perturbed by a
minimal defect. The variational technique to
find such a mean flow distortion relies on the
notion of system sensitivity. The procedure is
here outlined, and examples of optimally
destabilizing defects, capable of producing early
transition are given.

2
MINIMAL DEFECTS
PERTURBATIONS OPTIMALES et DEFAUTS MINIMAUX

• Alessandro Bottaro
• UNIVERSITÀ DI GENOVA

Canal carré
3
Royal Soc. Phil. Trans., 1883
Osborne Reynolds, 1842 - 1912
4
(No Transcript)
5
LA TRANSITION DE LETAT LAMINAIRE A LETAT
TURBULENT POUR DES ECOULEMENTS CISAILLES SIMPLES
NEST PAS ENCORE COMPRISE mauvais accord
entre la théorie de linstabilité linéaire
(Recrit) et les résultats expérimentaux
(Retrans) Poiseuille Couette
Hagen-Poiseuille Canal carréRecrit
5772 ? ? ?Retrans
1000 400 2000 2000
6
2. LA TRANSITION NEST PAS ENCORE COMPRISE

La théorie classique prédit des ondes de
Tollmien-Schlichting
A lexception des expériences contrôlées et
sans bruit, on observe des stries et des
spots turbulents
7
THEORIE DE LINSTABILITE HYDRODYNAMIQUE

• Étant donne le mauvais accord entre la théorie
  classique (conditions critiques et type de
  transition) et les expériences, on peut se poser
  la question la théorie
  linéaire sert elle à quelque chose?
• OUI!
• bien que la théorie
• . ne sintéresse quau comportement asymptotique
  des perturbations,
• . ne contient pas leffet de la turbulence
  extérieure, des incertitudes géométriques,
  éléments de rugosité, écoulement de base mal
  modelé, forces de masse incertaines, etc.

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• Deux problèmes
• Conditions initiales ? croissance transitoire
• Incertitudes dynamiques et termes mal modelisés
  dans les équations ?
• perturbations structurées de lopérateur
• linéaire L(U, a w, b, Re) Dv 0

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LE PROCESSUS DE TRANSITION

• Phase de réceptivité lécoulement filtre les
  perturbations de lenvironnement
• Croissance linéaire des petites perturbations
• CHEMIN 1 TRANSITOIRE
• CHEMIN 2 EXPONENTIELLE
• en conditions nominalement sous-critiques
• (liée a la présence de défauts dans
  lécoulement de base)
• Saturation non-linéaire, instabilités
  secondaires, résonances paramétriques, etc.

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PETITES PERTURBATIONS

• Équations de Navier-Stokes incompressible,
  linéarisées pour simplifier, coordonnées
  cartésiennes, UU(y)
  
• avec conditions aux limites homogènes pour
  (u, v, w) en y?h
• But EVOLUTION SPATIALE OU TEMPORELLE
  DES PERTURBATIONS SUR DES DISTANCES/TEMPS LONGUES
  (CROISSANCE EXPONENTIELLE) ET/OU COURTS
  (CROISSANCE TRANSITOIRE)

11
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• LE MECANISME une instabilité algébrique non
  visqueuse peut exister (effet lift up). Dans
  le cas visqueux la croissance est modérée par la
  diffusion ? croissance transitoire
  
• P.H. Alfredsson and M. Matsubara (1996)
  structures striées dans une couche limite.
  Vitesse extérieure 2 m/s, niveau de
  turbulence 6

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ANALYSE NON-VISQUEUSE, CROISSANCE EN TEMPS
longues stries quasi-périodiques en z
exp(ibz)Équations à lordre principale vy
ibw 0 ut v U 0 vt -py wt
-ibp
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• x ? h/e y, z ? h (e
  ltlt 1)

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Il est très facile de trouver que u - v0(y)
U t const.v v0(y)w iv0y/bp const.
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
CROISSANCE ALGEBRIQUE
14
ANALYSE NON-VISQUEUSE, CROISSANCE EN ESPACE
Équations (stationnaires) à lordre
principale
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• U, u ? Umax v, w ? e Umax
• p ? r (e Umax)2 ?/?t 0

15
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• On cherche des solutions de la forme
• En remplaçant dans les équations il est banal de
  trouver que l 1 est une
• solution, et que

CROISSANCE ALGEBRIQUE
16
Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• EXPLICATION PHYSIQUE LEFFET LIFT UP
• EXPLICATION MATHEMATIQUE NON-NORMALITE DE
• LOPERATEUR (MATRICE)
  DEVOLUTION L
• luk L uk uk vecteurs propres à droite
• lvhT vhT L vh vecteurs
  propres à gauche
• avec le produit scalaire (vh , uk) vhTuk
  dhk
• (pour vecteurs propres normalisés)

du/dt L u
17
Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• LORSQUE LA MATRICE L EST NON-NORMALE
  (LLT ? LTL)
• LES VECTEURS PROPRES uk NE SONT PAS
  ORTHOGONAUX
• ENTRE EUX. LA PERTURBATION INITIALE u
  (combinaison linéaire
• des uk) PEUT CROITRE INITIALEMENT
  (MEME LORSQUE
• TOUTES LES VALEURS PROPRES lk SONT
  NEGATIVES)

u eiq
u1
1
u
t
2
u2
t 0
t gt0
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Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Il peut être important de chercher les
conditions initiales qui produisent la
croissance transitoire la plus grande
PERTURBATIONS OPTIMALES Hypothèse
L est une matrice NxN, ses vecteurs propres
forment une base U u1 u2
uN V v1 v2 vN (vh , uk ) dhk ?
VT U I (VT U-1) (vh , Luk) (vh , lk
uk) lk dhk
VT L U L
PERTURBATIONS OPTIMALES
19
Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
U u1 u2 uN V v1 v2 vN VT U-1
VT L U L
On prends u U q
(q vecteur de coefficients) du/dt U
dq/dt L u L U q dq/dt U-1 L U q
L q ? q exp (Lt) q(0)
q U-1 u exp (Lt) q(0) exp(Lt) U-1
u(0) P est le PROPAGATEUR de la
condition initial u0
u U exp(Lt) U-1 u(0) P u0
20
Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Question comment trouver la condition initiale
optimale, c.a.d. celle qui produit la croissance
énergétique la plus importante ?
On définit lénergie comme E(t) (u , u)
uTu (Pu0 , Pu0) Problème Max(E) sous
contrainte E(0) 1 Max(L) sans
contraintes, avec L E g E(0) - 1
(u0 , PTPu0) g
(u0 , u0) - 1 En imposant que dL
0 (condition nécessaire dextremum) on trouve
léquation de Euler-Lagrange SVD
PTPu0 g u0
21
Lv 0
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Il est simple de montrer que des
itérations de puissance convergent
(souvent) rapidement sur le u0 optimal
Pu0(0) u(0) en avant, jusquà
t PTu(0) u0(1) en arrière, jusquà
0 Pu0(1) u(1) PTu(1) u0(2)
Pu0(2) u(2) PTu(2) u0(3)

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ANALYSE VISQUEUSE, CROISSANCE EN ESPACE
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Approche classique normalise avec (
) et trouve un
système de Orr-Sommerfeld/Squire avec
et Approche à deux
échelles échelle de
temps pour arriver à un système de
Os/Squire réduit
23
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Modes normaux
,
Écoulement de Poiseuille modes du système
complet vs ceux du modèle parabolique Re
2000, w 0, b 1.91 Re 2000, w
0.3, b 1.91 Parabolique ap a Re, wp w Re
Complet a, w
24
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Perturbations optimales. Il est clair que le gain

se simplifie lorsque la normalisation à deux
échelles est employée, u ? (Umax) et (v,w) ?
(Umax/Re), et le gain G est un maximum lorsque
u0 0. Donc
25
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Si on décompose la perturbation générique q comme
• une somme de modes normaux

Alors
Quotient de Rayleigh. Le gain maximal pour
chaque x est la plus grande valeur propre
solution de
B. Farrell, Phys. Fluids, 1988
26
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Croissance optimale, Re 1000, w 0, b 1.91
  (Poiseuille)
• Re 500, w 0, b 1.58
  (Couette)

27
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Iso-G, écoulement de Poiseuille, Re
  2000

28
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Écoulement de Poiseuille, Re 2000 5000, w
  0, b 1.91

Non visqueux
Visqueux
Viscous
Analytique
29
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Perturbation optimale à x 0 et strie optimale à
  xopt,
• écoulement de Poiseuille, Re 2000, w 0, b
  1.91

30
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

• Seconde valeur singulière, écoulement de
  Poiseuille, Re 2000

31
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE

32
(No Transcript)
33
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
Perturbations optimales
Gmax/Re2 xopt/Re Poiseuille
2.4110-4 0.057 bopt 1.91 Couette 3.3910-4 0
.073 bopt 1.58 HP 1.0310-4 0.033 mopt
1 Canal carré 1.1210-4 0.039
34
CHEMIN 1 CROISSANCE TRANSITOIRE
En conditions sous-critiques, la croissance
transitoire peut provoquer une telle
amplification des perturbations que les effets
non-linéaires ne sont plus négligeables
transition by-pass
35
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Observation préliminaire les valeurs propres du
système de OS/Squire sont très sensibles aux
perturbations E de lopérateur
L.N. Trefethen et al., Science, 1993
36
On considère une forme très particulière de
perturbations de lopérateur, une distorsion de
lécoulement moyen U(y) (produite par un
quelconque forçage de lenvironnement) ?Le
pseudospectre-dU est différent du pseudospectre-e
classique, parce quil se base sur des
incertitudes dynamiques structurées, fonctions
seulement des défauts qui peuvent apparaître sur
le profil de vitesse moyenne
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
37
ANALYSE DE SENSIBILITEEquation de OS L
(U, a w, b, Re) v 0Avec une variation de
lécoulement de base dU(y) dL v L
dv 0
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
38
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
On projette sur a, fonction propre adjointe
(LTa0) pour trouver et donc, En pratique,
pour chaque valeur propre an on peut mettre en
relation la variation de lécoulement de base dU
à la variation da de la valeur propre, à travers
la fonction de sensibilité GU
39
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
ECOULEMENT DE HAGEN-POISEUILLE
Spectre de valeurs propres pour Re 3000, m 1,
w 0.5. Les deux valeurs propres plus
réceptives sont encerclées.
40
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Norme ? de rGu. Les modes sont numérotés en
ordre de ai croissant.
41
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
FONCTIONS DE SENSIBILITE
Mode 22 (ligne continue) mode 24
(traits) 103mode 1 (traits-points)
42
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Optimisation Recherche de la distorsion
optimal de lécoulement de base (défaut minimal)
de norme donnée e, de sort que le taux de
croissance de linstabilité (-ai) soit maximisé
Une condition nécessaire est que
Min(ai) avec U Uref de norme e
43
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
En employant le résultat précédent Un
algorithme du gradient simple peut être employé
pour trouver le nouvel écoulement de base qui
maximise le taux de croissance, pour chaque an et
pour un défaut de norme e quelconque avec
44
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Re 3000, m 1, w 0.5. Écoulement de HP
(cercles), avec le défaut minimal (triangles)
pour e 2.510-5 qui minimise ai du mode 22.
45
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Écoulement de Hagen-Poiseuille avec et sans le
défaut minimal. La courbe (U/r)/20 indique une
instabilité inflexionnelle.
46
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Re3000
Re2300
Re1800
Re1760
Taux de croissance en fonction de w pour m 1
et e 10-5
47
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
48
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
e210-6
e10-5
e510-6
e510-5
Courbes neutres pour m 1 et e 10-5. Les
symboles donnent Recrit
49
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE

• e varie comme Re-2 ? lamplitude critique varie
  comme Re-1
• (cf. Hof, Juel et Mullin, PRL 2003)

50
CHEMIN 2 CROISSANCE EXPONENTIELLE
Un petit défaut sur lécoulement de base peut
déstabiliser lécoulement, en conditions qui sont
nominalement sous-critiques, et provoquer la
transition
51

• Un peu de pub ...
• Bottaro A., Corbett P. Luchini P.,
  "The effect of base flow variation on flow
  stability", J. Fluid Mech., Vol. 476, 2003, pp.
  293-302.
•  
• Galletti B. Bottaro A., "Large scale
  secondary structures in duct flow", J. Fluid
  Mech., Vol. 512, 2004, pp. 85-94.
• Zuccher S., Luchini P. Bottaro A.,
  "Algebraic growth in a Blasius boundary layer
  Optimal and robust control by mean-flow suction
  in the nonlinear regime", J. Fluid Mech., Vol.
  513, 2004, pp. 135-160.
•  
• Biau D. Bottaro, A., "Optimal
  perturbations and minimal defects Initial paths
  of transition to turbulence in plane shear
  flows", Phys. Fluids, Vol. 16, 2004, pp.
  3515-3529.
• Gavarini I., Bottaro A. Nieuwstadt
  F.T.M., "The initial stage of transition in
  cylindrical pipe flow Role of optimal base-flow
  distortions", J. Fluid Mech., Vol. 517, 2004, pp.
  131-165.