Son et Musique

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Son et Musique

• Variations sur un thème
• pour
• loption Sciences de seconde

F Geniet 06/07
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Quelques considérations acoustiques
Partiels et Harmoniques
Un système simple à partiels
2 modes
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Le mouvement nest en général pas périodique
(mathématiquement, cest un tore avec deux
fréquences incommensurables). Ce sont des partiels
NB Pour un physicien, cest simple à expliquer
la relation de dispersion est non linéaire, et
les vecteurs donde sont quantifiés par la boite
Ce cas de figure est en fait général cavités,
plaques, barres ne vibrent pas de façon
harmonique
Deux exceptions notables les tuyaux sonores et
les cordes vibrantes sont en première
approximation harmoniques. Ce sont des systèmes
1 dimensionnels (quasi) infinis. les fréquences
des partiels sont multiples de la fréquence du
fondamental.
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Cordes vibrantes. Dans ce cas, la relation de
dispersion est linéaire, et les modes sont
harmoniques. On se les représente souvent comme
cela
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Mais en réalité, avec la magie des cosinus, la
vibration de la corde ressemble plutôt à
Ce qui se comprend mieux comme la somme de deux
ondes se propageant à droite et à gauche à
vitesse c
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Le cas du violon est très semblable. Le mouvement
observé sappelle vibration de Helmholtz
En regardant bien, on comprend pourquoi
lintensité du son du violon augmente avec la
vitesse de larchet (et pas avec la pression sur
la corde !) En effet loscillation se déplace
à vitesse c fixée le long de la corde. Pendant ce
temps t, larchet (et la corde en phase
 stick ) se déplace de vt
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Conclusion Au moins deux grandes familles
cordes et vents, archétypes des instruments
produisant des sons musicaux, sont basés sur la
série harmonique. Cela justifie limportance de
la série harmonique dans la construction des
gammes, et en particulier le rôle essentiel de la
première harmonique non triviale la quinte
fquinte 3 ffondamental
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Harmoniques et Consonance
Les sons musicaux sont très riches en harmoniques
(ou partiels)
Remarquer lincompatibilité apparente de ce
graphique avec Dw DT gt 1 !
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Consonance
Dans le cas où les sons produits sont
harmoniques, on a une idée simple de consonance
de deux sons cest labsence de battements
entre les différentes harmoniques des sons.
Dans la réalité, on va voir quil est impossible
dobtenir une absence de battements.
La notion de consonance semble donc en
définitive liée à labsence ou à la lenteur des
battements entre les différents sons.
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Intervalles et Gammes
Plusieurs logiques en conflit
Physique ? Physiologie
Mélodie ? Harmonie
Consonance ? Transposition non limitée
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Intervalles et Gammes
Les intervalles harmoniques sont construits sur
des rapports de fréquences simples octave
(2) , quinte (3) , tierce (5) Lintervalle
doctave définit une relation déquivalence. On
passe au quotient pour identifier les notes.
intervalle de quinte f1 / f0 3 / 2
Depuis lantiquité, les harmoniques, et la quinte
en particulier, apparaissent comme indissociable
de la justesse musicale (consonance des
harmoniques)
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Intervalles et Gammes
mesure des intervalles suivant I K
log(f2/f1).
Savarts K 1000 et log10 1 octave 301.03
Savarts Cents K 1200 et log2 1 octave
1200 Cents
Fréquences de la gamme chromatique bien tempérée
théorique  fi f0 2 i/12 Les intervalles
sont égaux dans cette construction, mais
1200 log2(3/2) 701.955 ? 700 Intervalles
harmoniques et gamme bien tempérée sont en
conflit !
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Constructions de la gamme de Pythagore à partir
des quintes justes fn f0 (3/2)n ( n
-6 5 )
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Réb
Mib
Solb
Lab
Sib
Et les dièses ?
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Et si on continue le cycle des quintes ?
On fabrique une gamme 53 tonique, connue des
chinois et qui donne la division du demi ton en
4 ou 5 commas
53
50
52
51
Il y a donc des grands et des petits demi
tons, mais chaque ton contient 9 comas
Remarque ça ne boucle toujours pas, malgré les
apparences !
En effet, 353 19383245667680019896796723 284
19342813113834066795298816
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• construction de la Gamme de Zarlin.

Gamme de Pythagore
Gamme de Zarlino
Les physiciens acousticiens disent que cest  la
gamme naturelle 
mais les musiciens ne sont pas du tout daccord
A part laspect mathématiquement esthétique des
fractions simples, cette gamme est fausse, on ne
peut pas construire simplement les notes
chromatiques et la transposition est quasi
impossible mais on continue à sy référer!
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Conclusion A travers ces quelques remarques
simples, on voit que le problème de produire des
instruments justes est en réalité très complexe,
et doit concilier plusieurs logiques en apparence
opposées.
Ce domaine nest pas clos comme le montrent par
exemple le renouveau apporté par les travaux de
Serge Cordier sur la question de justesse et la
pratique de laccord du piano.
Il est cependant dommage que les travaux
mathématiques sur la musique se contentent
souvent de visions très schématiques, peu
pertinentes dans ce domaine où les connaissances
ont étés élaborées de façon empirique, mais sûre,
depuis des millénaires.