M

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Méthodes de prévision (STT-3220)

• Sections 2 et 3
• Hétéroskédasticité et
• corrélation sérielle
• Version 11 décembre 2008

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Problème des variances inégales
(hétéroskédasticité) et de la corrélation sérielle

• On rappelle les conditions de Gauss-Markov
• Sous ces conditions, le Théorème de Gauss-Markov
  dit que la méthode des moindres carrés est une
  bonne procédure.

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Une première situations où les conditions de
Gauss-Markov ne sont pas satisfaites (Section 2)

• Hétéroskédasticité
• Problème des variances inégales. Essentiellement
  cest la seconde condition qui ne tient plus.
• Exemple Relation de lépargne en fonction du
  revenu. Plus le revenu est élevé, alors en
  moyenne, il est attendu que le revenu
  discrétionnaire, en moyenne, sera plus grand.
  Cependant, la façon de disposer du revenu
  discrétionnaire varie grandement. On parle de la
  variance dans le comportement des individus qui
  augmente avec le revenu (les gens ont plus de
  choix concernant la gestion de lépargne).

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Détection de lhétéroskédasticité

• Méthodes graphiques
• On effectue une régression ordinaire.
• On détermine les résidus.
• On fait des graphiques des résidus2 versus les
  valeurs prédites.
• Toute forme de motif est un signe
  dhétéroskédasticité.

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Mesures pour contrer les effets de
lhétéroskédasticité

• Il existe des tests statistiques qui permettent
  de détecter si les variances semblent inégales
• Test de Goldfeld-Quandt Test de
  Breush-Pagan-Godfrey Test de White.
• Il est possible de considérer la technique des
  moindres carrés généralisés afin de tenir compte
  des variances inégales.
• Note dautres tests existent que lon nabordera
  pas ici
• Test de Park Test de Glejser.

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Une seconde situation où les conditions de
Gauss-Markov ne sont pas satisfaites (Section 3)

• Problème de corrélation sérielle
• Ceci représente une introduction aux données
  dépendantes.
• Dans ce cas-ci, cest la troisième condition de
  Gauss-Markov qui ne tient plus.
• Il existe des tests pour mesurer la dépendance
  dans les résidus
• Test (simple) de bruit blanc Test de
  Durbin-Watson.
• Possible de considérer également les moindres
  carrés généralisés comme technique destimation.

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Hétéroskédasticité

• On rappelle que le modèle est
• La méthode des moindres carrés (OLS)
• On remarque que même si les variances sont
  inégales, cest-à-dire , alors
  lestimateur OLS est sans biais

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Même en présence derreurs hétéroskédastiques,
OLS est sans biais

• Le modèle est
• Lespérance de lestimateur OLS est

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Le problème se situe au niveau de la variance

• La variance de lestimateur OLS nest plus donnée
  par
• Les estimateurs donnés dans les logiciels sont
  des estimateurs biaisés. Il nest pas clair si
  le biais sera positif (sur-estimation) ou négatif
  (sous-estimation).
• Le coefficient de détermination R2, lestimateur
  usuel s2 et les tests statistiques risquent
  dêtre affectés.

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Test de lhypothèse linéaire générale

• À titre dexemple, considérons le modèle de
  régression linéaire multiple
• Parmi les tests dhypothèses fondamentaux, on
  retrouve le test
• Ce test est un cas particulier du test de
  lhypothèse linéaire générale

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Test de lhypothèse linéaire générale (suite)

• Le test de lhypothèse linéaire générale est
• Or
• Le test est basé sur

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Tests de lhypothèse linéaire générale et
hétéroskédasticité

• On constate quà travers lestimateur OLS,
  nest pas forcément un estimateur sans biais
  de la variance de b.
• Ainsi, les tests dhypothèses entourant les
  coefficients, tels risquent dêtre affectés.
• Sous Gauss-Markov, un intervalle de confiance
  pour est donné par
  . En présence dhétéroskédasticité
  est biaisé.

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En résumé

• Lutilisation des logiciels standards risque de
  fournir des résultats faussés en présence dun
  problème dhétéroskédasticité.
• Essentiellement, les logiciels utilisent les
  formules présumant que les variances sont
  constantes. En présence dhétéroskédasticité, ce
  ne sont pas les bonnes formules qui sont
  implantées.