Th

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Théorème de Desargues
Santy thomas
Site du collège

• Enoncé
• Si les deux droites qui contiennent les cotés
  homologues de deux triangles homologiques sont
  deux à deux sécantes, les trois points
  dintersections sont alignés.

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thomas santy

• La propriété est aisée à démontrer si on suppose
  que les droites a, b et c ne sont pas
  coplanaires.
• En effet, les droites AB et AB sont
  respectivement contenues dans les plans des
  triangles ABC et ABC ces droites se coupent
  en un point C de lintersection de ces plans.
• On démontre, de manière analogue, que le point
  dintersection de BC et de BC (A) et le point
  dintersection de AC et de AC (B)
  appartiennent à lintersection des plans des
  triangles ABC et ABC.

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La propriété qui vient dêtre énoncée et
démontrée reste vraie si les droites concourantes
a, b et c sont coplanaires.Démontrons-le!

• Considérons deux triangles homologiques
  coplanaires ABC et ABC tels que les droites
  qui contiennent les côtés homologues sont
  sécantes deux à deux en A, B, et C.
• Démontrons que les points A, B et C sont
  alignés.

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• Désignons pas S1, un point quelconque
  nappartenant pas au plan des triangles
  homologiques.
• Les parallèles à SS1, comprenant les points A,
  B et C coupent les droites S1A, S1B et S1C
  respectivement en A1, B1 et C1 ( à justifier)
• Le point C appartient au plan du triangle ABC,
  au plan du triangle S1AB et au plan comprenant
  A, B, A1 et B1. Les intersections de ces
  plans, pris deux à deux, comprennent donc C
  les droites AB et A1B1 sont donc sécantes.

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• On démontre, dune manière analogue, que les
  droites BC et B1C1 se coupent en A et que les
  droites AC et A1C1 se coupent en B .
• Les triangles ABC et A1B1C1 ne sont pas
  coplanaires ils sont homologiques et, de plus,
  les droites qui contiennent leurs côtés
  homologues sont deux à deux sécantes.
• Les trois points dintersections (A, B et
  C) sont donc alignés.