en bref

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(No Transcript)
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acsystème en bref

• Société de service en
• automatique
• traitement du signal
• optimisation
• Prestations_
• études forfaitaires, réalisées en bureau détudes
  au sein de la société,
• interventions dassistance technique sur site, de
  formation et de conseil,
• développement doutils logiciels sur étagère .

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compétences

• Domaines couverts 
• traitement du signal  filtrage, analyse
  temps-fréquence, analyse spectrale
• modélisation comportementale réseaux de
  neurones, identification
• modélisation physique systèmes mécaniques,
  électriques, hydrauliques, pneumatiques
• régulations PID, RST, placement de pôles
  robuste, LQG, H8, commande prédictive
• optimisation locale, globale, sous contraintes
• conception et développement dapplications sous
  Matlab, Simulink, LabView

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produits

• Objectif simplifier la conception et la mise au
  point des systèmes de contrôle.
• Moyen proposer une gamme doutils de
  productivité permettant aux clients de se
  consacrer plus efficacement à leur véritable
  métier.
• Modules disponibles 
• quickident identification de systèmes linéaires
  (monovariable ou multivariable, continu ou
  discret, avec ou sans retard pur)
• acsystème control blockset conception de
  régulateur sous Simulink
• acsystème interval toolbox calcul numérique
  garanti

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acsystème Interval Toolbox

• Objectif proposer des solutions numériques de
  calcul garanti
• Moyen développer une toolbox de calcul par
  intervalles pour Matlab
• Principaux algorithmes proposés 
• SIVIA inversion densemble
• Résolution de systèmes déquations/inéquations
• Calcul du domaine de stabilité, du lieu des
  pôles
• INTOPTIMIZE optimisation globale et garantie
• Calage de modèles statiques
• Calcul des marges de stabilités minimales

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acsystème Interval Toolbox

• Simplicité dutilisation
• Création dun objet intervalle
• Surcharge des opérateurs (,-,,/)
• Définition des fonctions de base (sin, exp) pour
  les intervalles
• ? lutilisateur code sa fonction de façon
  naturelle
• Support dun domaine de recherche initial infini
• Interface graphique de visualisation des
  résultats en 1D et 2D
• Nombreux exemples fournis avec la toolbox
• Fiabilité
• Outward rounding implémenté pour larithmétique

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Optimisation globale

• Problème
• min c(x) x?X
• c(.) est une fonction de coût à minimiser
• le domaine de recherche initial X est défini un
  intervalle X
• Principes dun algorithme doptimisation globale
  
• Succession dopérations
• damélioration dun majorant csup du minimum
  global copt
• de rejet ou de bissection des intervalles
  candidats
• Résultat de lalgorithme
• Une liste dintervalles définissant un ensemble
  contenant tous les minima globaux
• La liste associée de minorants et majorants de la
  fonction de coût sur ces intervalles

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Optimisation globale

• Principes de lamélioration du majorant csup
• Le minimum global copt est inférieur ou égal au
  coût obtenu pour nimporte quel point de X
• Pour chaque intervalle candidat x, on peut donc
  améliorer csup
• En prenant un point au hasard dans x, par
  exemple son centre
• csup ? min(csup, c(mid(x))
• En effectuant une minimisation locale sur x
• csup ? min(csup, csupi(x)
• Où csupi est un majorant du minimum de c(.) sur
  lintervalle x
• Rappel la minimisation locale sur un intervalle
  donné (routine fmin de Matlab, par exemple) ne
  fournit quun majorant du minimum sur cet
  intervalle

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Optimisation globale

• Principes du rejet dun intervalle candidat
• 1) On calcule une estimation englobante ceng(x)
  de limage de c(x).
• ? utilisation de la routine c(.) fourni par
  lutilisateur
• 2) Si lb(ceng(x)) gt csup, cest à dire un
  minorant garanti de c(x) est strictement
  supérieur à un majorant garanti de copt, alors
  x ne contient pas xopt et peut donc être rejeté
• 3) Sinon, on partitionne x en deux parties x1
  et x2 et on remplace x par x1 et x2 dans
  la liste des intervalles candidats.
• Le fait de découper x par bissection conduit
• à lamélioration de lestimation csup par
  lintroduction de points supplémentaires csup ?
  min (csup, c(mid(x1), c(mid(x2))
• à la réduction de la surestimation de
  lestimation englobante des intervalles x1 et
  x2 ceng(x)? ceng(x1) ? ceng (x2)

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Optimisation globale

• Condition darrêt
• On neffectue la bissection que si x est
  suffisamment grand
• Si width(x) ? ?
• on ajoute x dans la liste des intervalles
  résultats
• on supprime x de la liste des intervalles
  candidats

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Optimisation globale

• Algorithme
• Initialisation
• csup?
• Q (X, -?)
• L ?
• Q liste des couples (intervalle candidat,
  minorant garanti de c(.) sur cet intervalle)
• L liste des intervalles définissant un ensemble
  contenant tous les minima globaux

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Optimisation globale

• Algorithme (suite)
• Répéter
• Sortir de Q le premier intervalle candidat ? x
• Essayer daméliorer csup grâce à x
• Supprimer de Q tous les couples pour lesquels le
  minorant garanti est supérieur à csup
• si width(x) ? ?,
• ajouter x à la liste L des intervalles
  résultats
• sinon
• Découper x en x1 et x2
• Calculer les minorants garantis lb1 et lb2 pour
  x1 et x2
• Ajouter (x1, lb1) si lb1? csup et (x2, lb2)
  si lb2? csup dans la liste Q des couples
  candidats
• Tant que Q nest pas vide
• Supprimer de Q tous les couples pour lesquels le
  minorant garanti est supérieur à csup

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Optimisation globale

• Exemple
• min c(x) (x2)2 x??
• Initialisation
• csup?
• Q (- ?, ?, -?)
• Q liste des couples (intervalle candidat,
  minorant de c(.) sur cet intervalle)
• Sortir le premier élément de Q x -?, ?
  et Q ? ?
• Essayer daméliorer csup grâce à x
• Prenons le milieu de x mid(-?, ?) 0
• Image de c(midx) (0 2)2 4
• csup ? min(csup, c(midx) min(?, 4) 4

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Optimisation globale

• min c(x) (x2)2 csup 4x??
• Supprimer de Q tous les intervalles dont le
  minorant est supérieur à csup
• ? Q est vide, il ny a rien à faire
• Test sur la taille de x width(x) gt ?
• ?on découpe x en deux
• x1 -?, 0 ? lb1 lb((-?, 0 2)2)
  lb((-?, 2 )2) lb( 0, ?) 0 ? csup
• x2 0, ? ? lb2 lb((0, ? 2)2)
  lb((2, ? )2) lb( 4, ?) 4 ? csup
• On remplace x par sa partition dans Q
• Q (-?, 0, 0), (0, ?, 4)
• Recommencer à 1
• Sortir le premier élément de Q x -?, 0 et
  Q (0, ?, 4)
• Essayer daméliorer csup csup ? (-1 2)2 1
• Supprimer de Q tous les intervalles donc le
  minorant est gt csup ? Q ?
• x1 -?, -1, lb1 0 ? csup, x2 -1,
  0, lb2 1 ? csup

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Optimisation globale

• min c(x) (x-2)2 csup 4x??
• Résultats au terme de chaque itération
• Q (- ?, ?, -?) csup ?
• Q (-?, 0, 0), (0, ?, 4) csup 4
• Q (-?, -1, 0), (-1, 0, 1) csup 1
• Q (-?, -2, 0), (-2 -1, 0) csup 0
• Q (-2 -1, 0), (-3, -2, 0) csup 0
• Q (-3, -2, 0), (-2 -1.5, 0) csup 0
• Q (-2 -1.5, 0), (-2.5, -2, 0) csup 0
• ? La taille des intervalles converge vers 0.
  Démonstration

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Optimisation globale

• Remarques
• Lalgorithme fonctionne également en
  multivariable (bissection selon la plus grande
  dimension)
• Lalgorithme trouve en fait TOUS les minima
  globaux.
• Exemples
• fonction de Branin (3 minima globaux)
• min (1 (x12 x22))2 ? il y a une infinité de
  minima globaux
• On peut arrêter lalgorithme en cours les
  résultats acquis sont quand même garantis (on
  ajoute Q à L)
• On peut rajouter la gestion de contraintes (un
  intervalle est rejeté si aucun de ses points ne
  satisfait les contraintes)
• Limitations
• lorsque la fonction de coût admet un minimum à
  linfini, il faut borner lintervalle de départ
  (exemple 1/x)
• Temps de calcul en labsence de contracteur, le
  temps de calcul est exponentiel avec la dimension
  de lespace X

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Calculs garantis

• Sur un ordinateur, tous les nombres réels ne sont
  pas disponibles
• Selon la norme IEEE 754, pour le type double,
  seuls sont disponibles les nombres pouvant
  sécrire à laide de la formule suivante
• ?(1 d1?-1 d2?-2 d1?-(p-1))??e
• Avec ?2, p 53 et -1022 ? e ? 1023
• Remarque il existe des codes spécifiques pour
  0, -? , ?, Nan
• Exemples
• 0.8 nest pas disponible
• 1.5 est disponible (d1 1, e 0)
• Les nombres entiers sont tous disponibles jusquà
  ??p ?253

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Calculs garantis

• Les erreurs darrondis lorsquon effectue une
  opération, même si les opérandes sont
  disponibles, le résultat nest pas toujours
  disponible. On prend alors en général le nombre
  réel disponible le plus proche cest larrondi.
• Exemples
• eps 2-52 est la distance entre 1 et le plus
  petit nombre disponible gt1
• 1eps/4 1 ??
• La première erreur darrondi est due à la
  transcription de lécriture décimale en un nombre
  réel disponible 0.8 sécrit,mais ce nest pas
  ce nombre réel 0.8 qui est utilisé ! Cest le
  nombre disponible le plus proche.
• Cest pourquoi la toolbox dispose dun
  constructeur garanti
• interval(0.8) ? interval('0.8')

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Calculs garantis

• Les modes darrondis en fait, larrondi ne se
  fait pas forcément vers le réel disponible le
  plus proche. Il existe 4 modes darrondis
• Vers ?
• Vers -?
• Vers 0
• Vers le nombre le plus proche (défaut)
• On peut CHANGER le mode darrondi utilisé par
  lordinateur.
• sous Matlab system_dependent(setround,mode)
• avec mode -inf, inf, 0 ou 0.5
• Suivant le mode darrondi, les résultats des
  opérations diffèrent
• 50.84 ?? Cela dépend du mode darrondi !
• 1eps/41, 1-eps/41, -1eps/4-1,
  -1-eps/4-1 ?? idem

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Calculs garantis

• Comment peut-on effectuer des calculs numériques
  GARANTIS grâce aux intervalles ?
• En changeant le mode darrondi pour calculer les
  bornes min et max de lintervalle.
• a,bx,y ? ax, ?by
• a,b-x,y ? a-x, ?b-y
• Exemples
• Interval(4)/interval(5) ? intervalle CONTENANT
  le nombre réel 0.8
• 5Interval(0.8) ? intervalle CONTENANT le
  nombre 4
• Remarque cette approche suffit pour
  larithmétique, mais pas pour toutes les
  fonctions (exp, log)

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acsystème Interval Toolbox

• Conclusions
• Lapproche intervalle permet de proposer des
  solutions numériques à des problèmes jusqualors
  inaccessibles par dautres méthodes numériques
• Optimisation globale garantie
• Résolution de systèmes déquations/inéquations
• Lutilisation de loutward rounding permet de
  saffranchir des erreurs darrondis et de
  garantir (théoriquement) le résultat
• Les temps de calcul sont raisonnables pour les
  problèmes de petite dimension
• Applications
• La toolbox est déjà utilisée dans le domaine de
  la chimie pour identifier des paramètres de
  réaction chimique à partir de résultats
  dexpériences

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contact

• bureaux bureau 9b, 1er étageparisiens 215 avenue
  Jean-Jacques Rousseau 92136 Issy-les-Moulineaux
  Cedex
• tél. [phone] fax [phone]
  89
• siège 8 rue des Tisserands zone dactivités La
  Forge 35830 Betton
• tél. [phone] fax [phone]
  53
• web http//www.acsysteme.com
• e-mail info_at_acsysteme.com
• informations légales société anonyme au capital
  de 166 100 euros RCS Rennes B 441 000 775 Siret
  441 000 775 00011 Code APE/NAF 742C