Logic

1
Logic

• M.C. Juan Carlos Olivares Rojas
• jolivares_at_uvaq.edu.mx
• February, 2009

2
Outline

• Representación del Conocimiento
• Lógica de Proposiciones
• Lógica de Predicados
• Deducción Automática

3
Representación del Conocimiento

• El conocimiento debe estar expresado en un
  lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido
  por una computadora o agente.
• Los agentes pueden consultar a la base de
  conocimientos para resolver problema o bien
  agregar nuevos conocimientos.
• Los agentes pueden obtener esta nueva información
  a través de la inferencia lógica.

4
Representación del Conocimiento

• Inicialmente el agente cuenta con unos
  conocimientos básicos llamados antecedentes o
  hechos.
• Se cuenta con una serie de reglas que definen la
  forma de deducir conocimiento.
• El agente pregunta a estas reglas y hechos para
  poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

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El Juejo del Wumpus
Percepciones (4 sensores) Hedor, Brisa,
Resplandor, Nada El agente no percibe su
situación
Acciones Ir hacia adelante, girar izda/dcha
90º Agarrar (estando en la casillla) Disparar
(sólo una flecha)
Objetivo salir con el oro lo antes posible 1000
ptos salir con el oro 1 pto penaliza cada
acción. Penaliz. Máxima 10000 ptos
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Lógica de Proposiciones

• La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados
  que se pueden construir.
• Los enunciados atómicos se componen de una sola
  proposición.
• Una proposición tiene un solo valor de verdad
  Verdadero o Falso.

7
Lógica de Proposiciones

• Los enunciados complejos se forman a partir de
  enunciados más simples y el empleo de conectivos
  lógicos.
• Los Conectivos Lógicos son cinco
• NO () también conocida como Negación.
• Y () también conocida como Conjunción.
• O (v) también conocida como Disyunción.
• Implicación (?) también conocida como
  Condicional.
• Sí y sólo si (?) también conocida como
  Bicondicional.

8
Lógica de Proposiciones

• Las expresiones que contienen conectivos lógicos
  se interpretan siguiendo el orden de precedencia
  que corresponde al mostrado en la tabla anterior.
• Por ejemplo P Q v R ? S equivale a
• ((P) (Q v R)) ? S
• Además, se emplean los paréntesis para evitar
  ambigüedades.

9
Lógica de Proposiciones

• La semántica nos define las reglas que permiten
  determinar el valor de verdad de un enunciado
  respecto de algún modelo.
• Con dos símbolos proposicionales existen 4
  modelos posibles para cada uno de los 5
  conectivos lógicos, Cómo quedarían las tablas de
  verdad?

10
Lógica en Wumpus

• Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la
  construcción de la base de conocimiento.
• Notación
• Bij indica que hay brisa en la celda (i,j).
• Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j).
• A partir de un conocimiento inicial
• E1 P11

11
Lógica en Wumpus

• Cuando hay brisa en una casilla implica que en
  una casilla contigua hay un pozo
• E2 B11 ? P12 v P21
• Ahora agregamos la primera percepción, no se
  percibe brisa en la celda (1,1) E3 B11
• Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para
  obtener nuevo conocimiento?

12
Lógica de Proposiciones

• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son
  todos verdaderos, a esa proposición compuesta se
  le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a (p v
  p)
• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son
  todos falsos, a esa proposición compuesta se le
  llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a (p
  p)

13
Lógica de Proposiciones

• Básicamente la inferencia es la implementación de
  una implicación.
• Los enunciados conocidos como verdaderos forman
  parte del antecedente.
• El consecuente es un nuevo enunciado cuya
  veracidad se desprende de los anteriores.
  Simbólicamente se representa así
• antecedente consecuente

14
Lógica de Proposiciones

• La equivalencia lógica se presenta cuando dos
  enunciados a y ß tienen los mismos valores de
  verdad para el mismo conjunto de modelos.
• A continuación mostramos una tabla con las
  equivalencias lógicas más comunes
• Doble Negación ( p ) p

15
Lógica de Proposiciones

• Leyes Conmutativas
• ( p v q ) ( q v p )
• ( p q ) ( q p )
• Leyes Asociativas
• ( p v q ) v r p v ( q v r )
• ( p q ) r p ( q r )

16
Lógica de Proposiciones

• Leyes Distributivas
• p v ( q r ) ( p v q ) ( p v r )
• p ( q v r ) ( p q ) v ( p r )
• Leyes de Idempotencia
• ( p v p ) p
• ( p p ) p

17
Lógica de Proposiciones

• Leyes de DeMorgan
• ( p v q ) p q
• ( p q ) p v q
• Leyes de Identidad
• ( p v p ) t
• ( p p ) f
• ( p v f ) p
• ( p v t ) t

18
Lógica de Proposiciones

• Leyes de Identidad
• ( p v f ) f
• ( p v t ) p
• Leyes de la Implicación
• (p ? q) (p ? q) (q ? p)
• (p ? q) (q ? p)
• (q ? p) (p ? q)
• (p ? q) (p v q)

19
Lógica de Proposiciones

• Reglas de Inferencias
• La siguiente implicación lógica se llama Modus
  Ponens y corresponde a la siguiente inferencia
• p ( p ? q ) q
• Ejemplo
• p Estudio
• p ? q Si estudio aprobaré Matemáticas
• q Entonces, Aprobaré Matemáticas

20
Lógica de Proposiciones

• La siguiente implicación lógica se llama Modus
  Tollens y corresponde a la siguiente inferencia
• ( p ? q ) q p
• Ejemplo
• p ? q Si estudio apruebo Matemáticas
• q No aprobé Matemáticas
• p Entonces, no Estudié

21
Lógica de Proposiciones

• La siguiente implicación lógica se llama
  Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente
  inferencia
• ( p ? q ) ( q ? r ) ( p ? r )
• Ejemplo
• p ? q Si estudio apruebo Matemáticas
• q ? r Si apruebo Matemáticas me regalan un auto
• p ? r Entonces, Si estudio me regalan un auto

22
Lógica de Proposiciones

• La siguiente implicación lógica se llama
  Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente
  inferencia
• ( p v q ) p q
• Ejemplo
• p v q Hay que estudiar Francés o Alemán
• p No estudio Francés
• q Entonces, Estudio Alemán

23
Lógica de Proposiciones

• La simplificación conjuntiva consiste en eliminar
  uno de los términos de una conjunción
• ( p q ) q o también ( p q ) p
• Por el otro lado, la amplificación disyuntiva
  permite agregar un nuevo término
• p ( p v q )

24
Lógica en Wumpus

• Se tiene que
• E2 B11 ? P12 v P21
• E3 B11
• Por lo que tenemos el siguiente razonamiento
• E4 (B11 ? (P12 v P21)) ((P12 v P21) ? B11)
• E5 ((P12 v P21) ? B11)
• E6 B11 ? (P12 v P21)
• E7 (P12 v P21)
• E8 P12 P21

25
Lógica en Wumpus

• Del razonamiento anterior concluimos que no hay
  un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1).
• Ahora veamos el razonamiento cuando el agente
  llega a la celda (1,2).
• E9 B12
• E10 B12 ? P11 v P13 v P22
• E12 P22

26
Lógica en Wumpus

• Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3)
  ni en la (2,2).
• E11 P13
• E12 P22
• Pero cuando el agente visitó la celda (2,1)
  percibió una brisa
• E13 B21
• E14 B21 ? P11 v P31 v P22

27
Lógica en Wumpus

• Dado que ya verificamos que no hay pozo en las
  celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la
  conclusión que
• E15 P31
• Es conveniente que nuestra base de conocimiento
  esté basada solamente en conjunciones y
  disyunciones.

28
Lógica Proposicional

• Cualquier enunciado compuesto puede ser
  transformado a uno equivalente que esté en la FNC
• La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n
  disyunciones de k elementos
• ( p11 v v p1k ) ( pn1 v v pnk )

29
Lógica Proposicional

• A continuación se describe un procedimiento para
  convertir a nuestra FNC
• Eliminar ? usando la equivalencia
• (p ? q) (p ? q) (q ? p)
• Eliminar ? usando la equivalencia
• (p ? q) (p v q)

30
Lógica Proposicional

• Simplificar usando las equivalencias
• ( p ) p
• ( p v q ) p q
• ( p q ) p v q
• Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea
  necesario.
• p v ( q r ) ( p v q ) ( p v r )

31
Lógica Proposicional

• E2 B11 ? (P12 v P21)
• (B11 ? (P12 v P21)) ((P12 v P21) ? B11 )
• (B11 v P12 v P21) ((P12 v P21) v B11 )
• (B11 v P12 v P21) ((P12 P21) v B11 )
• (B11 v P12 v P21) (P12 v B11) (P21 v B11)

32
Lógica Proposicional

• Para demostrar que una implicación BC a es
  válida, se utiliza el método de reducción al
  absurdo.
• Esto es, probar que su negación BC a es una
  contradicción.
• Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que
  es equivalente a una cláusula vacía.

33
Lógica Proposicional

• Probar que E2 E4 P12.
• (B11 ? (P12 - P21)) B11 P12
• Se convierte a FNC
• (B11 v P12 v P21) (P12 v B11) (P21 v B11)
  B11 P12

34
Lógica Proposicional

• Y para probar por reducción al absurdo, tenemos
  la negación
• (B11 v P12 v P21) (P12 v B11) (P21 v B11)
  B11 P12
• El proceso de simplificación funciona como sigue
• Si tomamos los primeros dos paréntesis,
  observamos que contienen a B11 y B11,
  respectivamente.

35
Lógica Proposicional

• Como no pueden ser ambos verdaderos
  simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien
  (P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la
  siguiente expresión
• (P12 v P21 v P12)
• Como (P12 v P12 ) es una tautología, la
  expresión anterior se reduce a (P21)

36
Lógica Proposicional

• Similarmente, los dos paréntesis siguientes,
  también contienen a B11 y B11, por lo que la
• expresión simplificada queda (P21)
• Como ambas no pueden ser verdaderas, la
  conjunción resulta en una expresión nula.

37
Ejercicios

• ( p ? q ) ( q ? r )
• p ( p ? q )
• ((p q) ? (p v q))
• (((p ? q) r ) v (p ? q))

38
Lógica de Predicados

• Hay que aprovechar la característica declarativa
  y la composicionalidad de la lógica
  proposicional. Para ello definimos dos tipos de
  elementos
• Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo)
• Las relaciones entre ellos, generalmente
  vinculadas por un verbo.
• El Agente lanzó una Flecha

39
Lógica de Predicados

• Las relaciones unitarias también se conocen como
  Propiedades y se vincula un objeto con una
  característica por el verbo SER
• La Pelota es roja.
• Las Funciones son un tipo especial de relación
  que involucra un solo objeto y devuelven un
  valor
• El padre de
• Uno más que

40
Lógica de Predicados

• Uno sumado a Dos es igual a Tres
• Objetos Uno, Dos y Tres.
• Relación es igual a.
• Función sumado a el resultado es un objeto,
  llamado Uno sumado a Dos.
• Las Casillas que rodean al Wumpus apestan.
• Objetos Casillas y Wumpus.
• Relación que rodean al.
• Propiedad apestan.

41
Lógica de Primer Orden

• La lógica de primer orden se construye sobre
  Hechos, Objetos y Relaciones.
• La lógica de primer orden es universal porque
  puede expresar cualquier cosa que pueda ser
  programada.
• El dominio de un modelo es el conjunto de objetos
  que contiene.

42
Lógica de Primer Orden

• Una relación binaria es un conjunto de pares
  ordenados.
• Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se
  denota así
• H (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis),
• Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y
  Luis, tenemos entonces

43
Lógica de Primer Orden

• Padre_de(Hugo) ? Pepe
• Padre_de(Paco) ? Pepe
• Padre_de(Luis) ? Pepe
• Padre_de(Pepe) ? ?
• A continuación se muestra la gramática de la LPO
  en BNF.

44
Lógica de Primer Orden

• Los símbolos se agrupan en tres clases
• Símbolos de constante, que representan a los
  Objetos. Cada símbolo constante nombra a
  exactamente un objeto en el mundo, no todos los
  objetos necesitan tener nombres y algunos pueden
  tener más de un nombre.
• Ejemplo Juan, Casa, Wumpus.

45
Lógica de Primer Orden

• Símbolos de predicado, que representan a las
  Relaciones. Ejemplos Vecino, Hermano,
• Símbolos de función. Ejemplos Coseno, Padre_de,
  Oficina_de
• Los símbolos de predicado y de función tienen una
  Aridad que establece el número de argumentos.

46
Lógica de Primer Orden

• ltEnunciadogt ? ltSentencia Atómicagt
  (ltEnunciadogtltConectorgtltEnunciadogt)
  ltCuantificadorgtltVariablegtltEnunciadogt
  ltSentenciagt
• ltSentencia Atómicagt ? ltPredicadogt(ltTérminogt)
  ltTérminogt ltTérminogt
• ltTérminogt ? ltFuncióngt(ltTérminogt) ltConstantegt
  ltVariablegt

47
Lógica de Primer Orden

• ltConectorgt ? . - ? ?
• ltCuantificadorgt ? ? ?
• ltConstantegt ? Martin 59302 Gato X
• ltVariablegt ? a x s
• ltPredicadogt ? Previo Gusta Llueve Falla
• ltFuncióngt ? Padre_de Cabello_de Oficina_de

48
Lógica de Primer Orden

• Un término es una expresión lógica que se refiere
  a un objeto.
• Los símbolos constantes son términos
• Los símbolos de función son términos.
• Las variables también son términos.
• Una sentencia atómica está formada por un símbolo
  predicado seguido por una lista entre paréntesis
  de términos.

49
Lógica de Primer Orden

• Por ejemplo Hermano(Roberto,Juan) indica que
  Roberto es el hermano de Juan.
• Las sentencias atómicas pueden tener argumentos
  que son términos complejos Casado(Padrede(Roberto
  ),Madrede(Juan))
• Se pueden usar conectores lógicos para construir
  sentencias más complejas.

50
Lógica de Primer Orden

• Ejemplo
• Hermano(Roberto,Juan) ? Hermano(Juan,Roberto)
• Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues
  la relación es simétrica.
• Los cuantificadores nos permiten expresar
  propiedades de colecciones de objetos.

51
Lógica de Primer Orden

• Hay dos cuantificadores en lógica de primer
  orden universal y existencial.
• Cuando un enunciado abarca a todos los posibles
  valores del dominio de una variable, entonces se
  emplea el Cuantificador Universal, que se denota
  por ?. El cual se enuncia con frases similares a
  Para todos , Todos
• Ejemplo Todos los gatos son mamíferos.

52
Lógica de Primer Orden

• Esta proposición es falsa si al menos un solo
  valor de la variable no satisface al enunciado.
• La representación simbólica es
• ?x Gato(x) ? Mamifero(x)
• Sin embargo, mucha gente cae en el error de
  interpretarla como
• ?x Gato(x) ? Mamifero(x)

53
Lógica de Primer Orden

• Aparentemente son equivalentes, pero esta segunda
  forma es más fuerte que la anterior, pues la
  primera será verdadera cuando el antecedente es
  falso (v.gr. x es un perro)
• Cuando un enunciado indica que al menos uno de
  los posibles valores del dominio de una variable,
  entonces se emplea el Cuantificador Existencial,
  el cual se denota por ?.

54
Lógica de Primer Orden

• Y se enuncia con frases similares a Hay ... o
  Existe ... o Para algunos ...
• Ejemplo En mi clase hay mujeres.
• Esta proposición es falsa si no existe ningún
  valor de la variable que satisfaga al enunciado.
• La representación simbólica es
• ?x Alumnodemiclase(x) ? Mujer(x)

55
Lógica de Primer Orden

• Semejante al caso anterior, mucha gente cae en el
  error de interpretarla como
• ?x Alumnodemiclase(x) ? Mujer(x)
• Pero esta segundo enunciado es más débil que el
  anterior y sería verdadero para los estudiantes
  que no están en mi clase.
• Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si
  se anidan cuantificadores.

56
Lógica de Primer Orden

• Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos
  decir cosas como
• ?x,y Hermano(x,y) ? Hermano(y,x)
• También podemos mezclar cuantificadores,
• ?x ?y Buenopara(x,y) Todos somos buenos para
  alguna cosa"
• ?y ?x Buenopara(x,y) Alguien es bueno para todo"

57
Lógica de Primer Orden

• Se pueden cambiar los cuantificadores mediante la
  negación.
• Considerar la sentencia
• ?x Gusta(x,Verduras) Para todo x, x no le
  gustan las verduras."
• Es equivalente a decir No existe un x que le
  gusten las verduras.
• ?x Gusta(x, Verduras)

58
Lógica de Primer Orden

• Similarmente, los siguientes enunciados son
  equivalentes
• ?x P ?x P
• ?x P ?x P
• ?x P ?x P
• ?x P ?x P
• Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye
  como un símbolo especial.

59
Lógica de Primer Orden

• Ejemplo Padre(Juan) José
• Afirmar que el objeto que es padre de Juan es el
  mismo que el objeto José.
• Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de
  un dominio. Ejemplos
• ?x,y Padre(x,y) ? Hijo(y,x)
• ?x,y Abuelo(x,y) ? ?z Padre(x,z) . Padre(z,y)
• ?x Masculino(x) ? Femenino(x)

60
Lógica de Primer Orden

• Algunos axiomas son considerados como
  Definiciones.
• Los axiomas son luego usados para probar
  teoremas.
• FOL en Wumpus
• El primer paso es definir la interface entre el
  agente y el mundo.

61
FOL Wumpus

• Un ejemplo de percepción sería
• Percepción(Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada,5)
• El vector de percepciones contiene 5 elementos
  que son Hedor, Brisa, Brillo, Golpe con un muro
  y Grito. Además incluye un sexto elemento para el
  tiempo.
• Las acciones posibles del agente pueden ser las
  siguientes

62
FOL Wumpus

• Girar(Derecha)
• Girar(Izquierda)
• Avanzar
• Disparar
• Tomar
• Para determinar cuál es la mejor acción, el
  agente realiza una petición como esta
• PREGUNTAR(BC, ?x MejorAcción(x,5))

63
FOL Wumpus

• Esta petición retornará una lista de acciones
  posibles, tal como a/Tomar.
• Antes de realizar esa acción, el agente deberá
  DECIR a la base de conocimiento su decisión de
  hacer la acción de Tomar
• DECIR(BC, Acción(5)Tomar)
• Reglas de diagnóstico nos llevan de los efectos
  observados a sus causas.

64
FOL Wumpus

• Por ejemplo si una casilla tiene brisa significa
  que una casilla adyacente tiene un pozo.
• ?x Brisa(x) ? ?y Adyacente(y,x) ? Pozo(y)
• Reglas Causales reflejan conclusiones respecto
  de las percepciones y sus causas. Por ejemplo un
  pozo en una casilla provoca brisa en todas las
  casillas adyacentes.
• ?y Pozo(y) ? ?x Adyacente(x,y) ? Brisa(x)

65
Lógica de Primer Orden

• La Ingeniería del Conocimiento es un proceso
  general para la construcción de una base de
  conocimiento. A continuación se describen los
  pasos de este proceso
• Identificación de la tarea.
• Recopilación del conocimiento.
• Decidir el vocabulario.
• Codificar el conocimiento.

66
Deducción Automática

• Para el hecho Contrata(Telmex,Toño), podemos
  construir índices para las siguientes peticiones
• Contrata(Telmex,Toño) Contrata Telmex a Toño?
• Contrata(x,Toño) Quién Contrata a Toño?
• Contrata(Telmex,y) A quién Contrata Telmex?
• Contrata(x,y) Quién Contrata a quién?

67
Deducción automática

• El primer paso consiste en transformar los
  enunciados en sentencias lógicas.
• Posteriormente se aplican las técnicas anteriores
  para convertirlas en un conjunto de cláusulas
  positivas de primer orden.
• Luego se encadenan esos conocimientos para
  obtener nuevos enunciados.

68
Deducción Automática

• Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos
• Asterix es un galo
• Los romanos que son amigos de algún galo odian a
  César
• Asterix ayudó a Marco
• Marco es amigo de quien le ayuda
• Quien odia a algún romano, lucha contra él
• Marco es romano

69
Deducción Automática

• Asterix es un galo
• galo(Asterix) (en FNC)
• Los romanos que son amigos de algún galo odian a
  César
• ?x romano(x) . (?y galo(y) . amigo(x, y)) ?
  odia(x,Cesar)

70
Deducción Automática

• Reemplazando la cláusula existencial
• ?x romano(x) . (galo(G) . amigo(x, G)) ?
  odia(x,Cesar)
• Asterix ayudó a Marco
• ayuda(Asterix,Marco) (en FNC)
• Marco es amigo de quien le ayuda
• ?x ayuda(x,Marco) ? amigo(Marco, x)

71
Deducción Automática

• Quien odia a algún romano, lucha contra él
• ?x ?y romano(y) . odia(x, y) ? lucha(x, y)
• Reemplazando la cláusula existencial
• ?x romano(R) . odia(x, R) ? lucha(x, R)
• Marco es romano
• romano(Marco) (en FNC)

72
Deducción Automática

• Los Miembros del equipo de tenis son Juan, Sara,
  Beto y Elena.
• Juan está casado con Sara.
• Beto es hermano de Elena.
• El cónyuge de un miembro del equipo también es
  miembro del equipo.

73
Deducción Automática

• La última reunión fue en casa de Juan.
• Representar los enunciados anteriores en lógica
  de predicados. Demostrar que
• La última reunión fue en casa de Sara.
• Elena no está casada.
• Agregue los hechos que necesite para las
  demostraciones.

74
Deducción Automática

• A Paco le gustan los cursos fáciles.
• Los cursos de Física son difíciles.
• Los cursos de Humanidades son fáciles.
• El curso de Ética es del área de Humanidades.
• Qué curso le gustaría tomar a Paco?

75
Deducción Automática

• A Beto le gusta la comida italiana.
• En un restaurante hay comida mexicana a no ser
  que se anuncie explícitamente lo contrario.
• En La Conchita no anuncian que tipo de comida
  sirven.

76
Deducción Automática

• A las personas no les gusta ir a restaurantes
  donde sirven comida que no es de su preferencia.
• Se puede concluir que a Beto no le gusta ir a
  La Conchita?

77
Deducción Automática

• Formaliza los siguientes hechos
• Todo dragón está feliz si todos sus hijos pueden
  volar.
• Los dragones verdes pueden volar. Un dragón es
  verde si es hijo de al menos un dragón verde.
• Demuestra por resolución que la conjunción de los
  hechos anteriores implica que
• Todos los dragones verdes son felices.

78
Deducción Automática

• Considere las siguientes relaciones
• Feliz(x) para x es feliz.
• Volar(x) para x puede volar.
• Verde(x) para x es verde.
• Dragón(x) para x es dragón
• Rojo(x) para x es rojo.
• Hijo(x,y) para x es hijo de y.

79
Referencias

• Carreón, J. (2007) Material de la Asignatura de
  Inteligencia Artificial, Universidad Vasco de
  Quiroga, Morelia, Michoacán, México.
• Nilsson, N. (2001). Inteligencia Artificial. Una
  nueva síntesis. McGraw-Hill, España.
• Russel, S. y Norving, P. (2004). Inteligencia
  Artificial. Un Nuevo enfoque. Pearson Prentice
  Hall, España

80
(No Transcript)