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Lógica - Segundo Cuatrimestre 2009Argumento de
la Diagonal de Cantor

• Prof. Eduardo Alejandro Barrio
• Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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Lógica

• George Cantor
• (1845 - 1918)

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Lógica

• Resultados acerca de conjuntos infinitos
• Los conjuntos infinitos no se comportan del mismo
  modo que los conjuntos finitos.
• Por ejemplo
• El conjunto de los números pares es tan grande
  como el de los naturales.
• Agregar el conjunto de los números naturales al
  conjunto de los impares no agranda el tamaño del
  conjunto inicial

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Lógica

• Medir el tamaño de un conjunto es poner en
  correspondencia uno a uno (correspondencia
  biunívoca) todos los elementos de cada conjunto.
• 2----0
• 4----1
• 6----2
• 8----3
• 10--4
• 12--5
• .

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Lógica

• Argumentos Diagonales
• Cantor usa este tipo de argumento para mostrar
  que hay conjuntos infinitos de distinto tamaño.
• Dada una lista, una colección de elementos, el
  método puede ser aplicado a ella para descubrir
  un conjunto de elementos que no aparece en la
  lista.
• Formulación Sea R una matriz formada por las
  colecciones D1 y D2 y sea F una relación diagonal
  sobre D1 y D2. Sea H el contravalor de F.
  Entonces, H no aparece como una línea de R.
• Sean D1 y D2 el conjunto de los números náturales
  y el de nos números entre 0 y 1 respectivamente.
• La antiDiagonal H queda definida por una
  condición especial
• Es el número que resulta de alterar cada dígito
  de la diagonal

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Lógica

• Argumentos Diagonales el argumento de Cantor
  tiene la siguiente estructura
• (I) Supongamos que hay una correspondencia uno a
  uno (biunívoca) entre los elementos de dos
  conjuntos infinitos D1 y D2.
• (ii) Entonces es posible construir una lista
  completa tal que en la primera estén todos los
  números naturales y en la segunda todos los
  números reales entre 0 y 1.
• (iii) Prestemos atención al número real formado
  por la diagonal del cuadro. Ya que la lista es
  completa, entonces ese número tiene que estar en
  la lista en algún lugar.
• (iv) Considerar ese número asegura una
  peculiaridad. Ese número comparte con todos los
  números reales listados (por suposición) un
  dígito.
• (v) Consideremos el número antidiagonal formado a
  partir del número diagonal alterado de manera
  sistemática cada uno de los dígitos del número
  diagonal (por ejemplo, cambiando el 9 por 1 y el
  1 por 9)
• (vI) Ese número tiene que estar en la lista, ya
  que la lista es completa. Pero ese número no
  puede estar en la lista, ya que por construcción,
  no puede estarlo. Si hubiera estado en la lista,
  habría sido alterado en un dígito.
• Surge una contradicción el número antidiagonal
  está y no está en la lista.
• Por lo tanto la suposición es falsa, Luego no hay
  una corespondencia uno a uno entre reales y
  naturales.
• .

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Lógica

• 1) Prueba de Cantor No hay una correspondencia
  biunivoca entre los naturales y los reales.
• D2
• D1 0 1 2 3 4 5
• E1 9 1 9 9 1 1
• E2 9 1 1 9 9 9
• E3 1 1 9 1 9 9
• E4 1 9 1 9 1 9
• E5 9 1 9 1 1 9
• E6 1 9 1 9 9 9
• D1 conjunto de los enteros positivos
• D2 conjunto de los reales entre 0 y 1.

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Lógica

• 1) Prueba de Cantor No hay una correspondencia
  biunivoca entre los naturales y los reales.
• D2
• D1 0 1 2 3 4 5
• E1 1 1 9 9 1 1
• E2 9 9 1 9 9 9
• E3 1 1 1 1 9 9
• E4 1 9 1 1 1 9
• E5 9 1 9 1 9 9
• E6 1 9 1 9 9 1
• D1 conjunto de los enteros positivos
• D2 conjunto de los reales entre 0 y 1.