Introduccin a los Procesos Estocsticos

1

• Introducción a los Procesos Estocásticos

2
El Problema de las Probabilidades

• Una variable aleatoria es una función cuyo
  dominio es el conjunto S de todos los resultados
  posibles, y cuyo recorrido es el subconjunto
  0,1 de los reales.
• El objetivo de las probabilidades es calcular
  P(A), la probabilidad de ocurrencia de un evento
  A, que es un subconjunto del espacio muestreal S.

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Representación Gráfica
Función de probabilidades
Espacio muestreal
S
f
1
X(s)
0
4
Proceso Estocástico

• La representación gráfica anterior muestra que
  las variables aleatorias modelan un sistema
  particular en un instante de tiempo determinado.
• Esto significa que las variables aleatorias no
  permiten evaluar el comportamiento aleatorio de
  un sistema en función del tiempo.

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Definición de Proceso Estocástico

• Un Proceso Estocástico es un grupo de variables
  aleatorias Xi, donde i pertenece a un espacio
  muestreal S, parametrizadas por una variable t
  que toma valores de un conjunto T. Esta variable
  es el tiempo.

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Representación Gráfica del comportamiento
estocástico de un sistema en función del tiempo
(Proceso Estocástico)

• para cada instante en que se analiza el
  experimento, se puede distinguir un espacio
  muestreal asociado a una distribución de
  probabilidad (variable aleatoria).

El espacio muestreal asociado a cada observación
puede variar.
Las probabilidades asociadas a cada experimento
pueden tener múltiples distribuciones a lo largo
del tiempo.
Xn(t)
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Representación Gráfica
S
s1
s2
s3
8
Representación Gráfica

• De la representación gráfica anterior se observa
  que
• Un proceso estocástico es una familia de
  variables aleatorias, es decir, para cada
  instante diferente se debe especificar
• Los posibles estados del proceso (espacio de
  estado para ese instante)
• La distribución de probabilidades que tiene
  asociado ese espacio muestreal es ese instante
• Nótese que
• el espacio muestreal asociado al sistema puede
  variar (o no) de instante a instante.
• Las probabilidades asociadas a cada resultado
  puede variar a lo largo del tiempo.

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Proceso Estocástico

• A partir de la representación gráfica anterior,
  se obtiene, de manera más formal
• Definición
• Un Proceso Estocástico es una familia de
  variables aleatorias Xi, con iÎS, parametrizadas
  por otra variable t que toma valores de un
  conjunto T. Esta variable es el tiempo.

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Objetivo conocer un proceso estocástico
qué es conocer un proceso estocástico?
Conocer la v.a. para todo instante de tiempo
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Tipos de Procesos Estocásticos

• Un proceso estocástico depende de 3
  características
• El espacio de estado, S.
• El parámetro temporal, T.
• La relación de dependencia entre las
  variables aleatorias que lo conforman, Xi(t) (la
  dinámica del sistema).

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Tipos de Procesos Estocásticos

• De acuerdo al tipo de espacio de estados los
  procesos estocásticos se pueden clasificar en
• procesos estocásticos de espacio discreto,
  cuando el resultado de un determinado experimento
  puede tomar valores distinguibles (contables)
  dentro de un intervalo
• procesos estocásticos de espacio continuo cuando
  puede tomar cualquier valor comprendido entre 0 y
  1.

Procesos Estocásticos de espacio discreto
Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos de espacio continuo
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Tipos de Procesos Estocásticos

• También se puede utilizar el parámetro temporal
  para clasificarlos
• procesos estocásticos de parámetro discreto, si
  están definidos sólo para un conjunto dsitnguible
  de instantes de tiempo (tnT,Tcte, n entero)
• procesos estocásticos de parámetro continuo
  cuando están definidos para cualquier instante.

Procesos Estocásticos de parámetro continuo
Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos de parámetro discreto
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Tipos de Procesos Estocásticos

• Considerando que tanto el tipo de espacio de
  estados como el tipo de parámetro temporal,
  existen 4 tipos de procesos estocásticos
• Proceso de espacio discreto y parámetro
  discreto.
• Proceso de espacio discreto y parámetro
  continuo.
• Proceso de espacio continuo y parámetro
  discreto.
• Proceso de espacio continuo y parámetro
  continuo.

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Tipos de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos de parámetro continuo y
espacio discreto
Procesos Estocásticos de parámetro continuo y
espacio continuo
Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos de parámetro discreto y
espacio continuo
Procesos Estocásticos de parámetro discreto y
espacio discreto
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Tipos de Procesos Estocásticos
Espacio Discreto y Parámetro Discreto
Descripción General
Ejemplo de un Sistema
Modelado del Sistema
Representación Gráfica
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Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Discreto
Descripción General

• En este tipo de procesos el parámetro toma
  valores enteros, por lo que se asocia
  generalmente a los naturales.
• En el caso del espacio discreto, los resultados
  son distinguibles dentro del espacio.
• La solución de este tipo de procesos consiste
  en evaluar la probabilidad de que el sistema se
  encuentre en un determinado estado justo después
  de n unidades de tiempo.

1-
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Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Discreto
Ejemplo

• El sistema que se describe a continuación puede
  ser modelado como un proceso estocástico de
  espacio discreto y parámetro discreto .
• Un jugador va al casino a jugar Black Jack.
• Su capital inicial es de 10.000 en fichas.
• En cada apuesta puede ganar o perder 1.000
• El máximo de dinero que puede acumular el
  jugador antes de que el casino declare Banca
  Rota es C .
• Se desea conocer el capital acumulado por el
  jugador después de n apuestas, n gt 1.

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Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Discreto
Modelado formal del sistema

• Sea n el número de apuesta que se puede hacer.
  Esto corresponde al parámetro temporal.
• n 0, 1, 2, 3,......,k
• El espacio de estados está definido por las
  posibles cantidades de dinero que puede poseer el
  jugador en n.
• S 0, 1.000, 2.000...., C
• Resolver este proceso estocástico consiste en
  evaluar
• P(X(n)i) pi(n), la probabilidad de que el
  jugador tenga i cantidad de dinero justo después
  de la n-ésima apuesta.

20
Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Discreto
Representación Gráfica del sistema modelado
Espacio de estados posibles para las tres
primeras apuestas. Representa la cantidad de
dinero acumulada por el jugador justo después de
la n-ésima apuesta.
El jugador comienza con 10000.
n
21
Tipos de Procesos Estocásticos
Espacio Discreto y Parámetro Discreto
Descripción General
Ejemplo de un sistema
Espacio Continuo y Parámetro Discreto
Modelado del sistema
Representación gráfica
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Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Discreto
Descripción General

• En este tipo de procesos el parámetro toma
  valores enteros, por lo que se asocia
  generalmente a los naturales.
• En el caso del espacio continuo, los resultados
  están asociados a intervalos del espacio.
• La información que se obtiene a partir de este
  tipo de procesos es la probabilidad acumulada
  dentro de un intervalo del espacio de estados
  luego de n experimentos.

1-
23
Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Discreto
Descripción del sistema a modelar

• El sistema que se describe a continuación puede
  ser modelado como un proceso estocástico de
  espacio continuo y parámetro discreto .
• El experimento consiste en tomar el tiempo que
  demora un paquete al ser enviado y recibido a
  través de la red por un mismo terminal.
• Las mediciones son realizadas cada vez que se
  envía un paquete desde el equipo transmisor.
• El tiempo varía continuamente desde un mínimo
  tiempo de propagación m hasta el timeout M.

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Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Discreto
Modelado formal del sistema

• Sea n el número de experimento que se realiza,
  enviar y recibir un paquete. Esto define el
  parámetro temporal.
• n 0, 1, 2, 3,......,N.
• El espacio de estados está definido por todas
  los posibles tiempos medidos en cada experimento.
• S m , M
• La solución de este ejemplo está descrita por
• Sea P(T(n)i) pi(n) la probabilidad de que el
  tiempo medido en el n-ésimo experimento sea i.

25
Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Discreto
Representación Gráfica del sistema modelado
Probabilidad de que un paquete se demore a lo más
i.
Distribución de probabilidad para el experimento N
i
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Tipos de Procesos Estocásticos
Espacio Discreto y Parámetro Discreto
Descripción General
Descripción de un sistema
Espacio Continuo y Parámetro Discreto
Modelado del sistema
Espacio Discreto y Parámetro Continuo
Representación gráfica
27
Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Continuo
Descripción General

• En este tipo de procesos el parámetro toma
  valores dentro de un intervalo continuo, por lo
  que se asocia generalmente al tiempo.
• En el caso del espacio discreto, los resultados
  asociados a cada estado son totalmente
  distinguibles dentro del espacio.
• La información que se obtiene a partir de este
  tipo de procesos es la probabilidad de estar en
  un estado determinado luego de un intervalo de
  tiempo.

1-
28
Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Continuo
Descripción del sistema a modelar

• El sistema que se describe a continuación puede
  ser modelado como un proceso estocástico de
  espacio discreto y parámetro continuo.
• Con un sistema digital se registra en forma
  continua la utilización de una canal de datos.
• El parámetro temporal es continuo por el tipo de
  medición, pero el espacio es discreto porque el
  canal puede tener utilizado un número determinado
  de bits en cada unidad de tiempo.

Central Telefónica
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Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Continuo
Modelado formal del sistema

• Sea t el parámetro temporal, reflejará el tiempo
  transcurrido en una medición.
• t 0...?
• El espacio de estados está definido por la
  cantidad de bits por unidad de tiempo.
• S 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5.....,C
• La solución de este ejemplo está descrita por
• Sea P(T(t)i) pi(t) la probabilidad de que al
  haber transcurrido t segundos hayan transitado i
  bits por el canal de datos.

30
Proceso Estocástico de Espacio Discreto y
Parámetro Continuo
Representación Gráfica del sistema modelado
Probabilidad de que después de t segundos haya
transitado 1 bit.
Medición del tráfico de bits.
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Tipos de Procesos Estocásticos
Espacio Discreto y Parámetro Discreto
Descripción General
Descripción de un sistema
Espacio Continuo y Parámetro Discreto
Modelado del sistema
Espacio Discreto y Parámetro Continuo
Espacio Continuo y Parámetro Continuo
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Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Continuo
Descripción General

• En este tipo de procesos el parámetro toma
  valores dentro de un intervalo continuo, por lo
  que se asocia generalmente al tiempo.
• En el caso del espacio continuo, los resultados
  están asociados a intervalos del espacio.
• La información que se obtiene a partir de este
  tipo de procesos es la probabilidad de acumular
  cierta cantidad luego de un intervalo de tiempo.

1-
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Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Continuo
Descripción del sistema a modelar

• Un ejemplo concreto de ésto es el Movimiento
  Browniano que describe el movimiento de una
  partícula en un medio acuoso.
• Sea X(t) la posición X de la partícula en el
  instante de tiempo t. Luego de un intervalo de
  tiempo la partícula se encontrará en alguna
  posición aleatoria. El problema es encontrar la
  probabilidad de que la partícula se encuentre en
  cualquier posición X para cualquier instante de
  tiempo t.

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Proceso Estocástico de Espacio Continuo y
Parámetro Continuo
Modelado formal del sistema

• Sea t el parámetro temporal
• t 0...?
• El espacio de estados está definido por todas
  las posibles posiciones de la partícula en el
  medio
• X -8 , 8
• La solución de este ejemplo está descrita por
• Sea P(X(t)i) pi(t) la probabilidad de
  encontrar la partícula en la posición i en el
  instante t.