1.1 Metales y Aislantes

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1.1 Metales y Aislantes
Rango de resistividades supera 30 ordenes de
magnitud
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Metales, aislantes semiconductores?
1020-
A bajas temperaturas todos los materiales son
aislantes o metales
Diamante
1010-
Resistividad (Om)
Germanio
metales Puros resistividad incrementa
rapidamente con incremento de la temperatura.
100 -
Cobre
10-10-
100
200
300
0
Temperatura (K)
Semiconductores resistividad disminuye
rapidamente con incremento temperatura.
Semiconductores poseen resistividades
intermedias entre metales y aislantes a
temperatura ambiente.
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1.2 Electrones de Core y de Valencia
Metales formados por atomos con orbitales
atomicos parcialmente llenos

• ejemplos, Na, y Cu que tienen estructura
  electronica
• Na 1s2 2s2 2p6 3s1
• Cu 1s2 2s2 2p6 3s23p63d104s1
• Aislantes son formados de atomos con capas
  completamente
• Llenas. Solidos de gases inertes
• He 1s2 Ne 1s2 2s2 2p6
• O forman capas llenas por medio de un
• Enlace Covalente
• ejemplo. Diamante

Cuadro simple. Metal tiene electrones CORE que
estan ligados al nucleo, y electrones VALENCIA
que se mueven a traves del cristal
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Estados Ligados en atomos
Electrones en atomos aislados ocupan niveles
discretos de energia permitidos E0, E1, E2
etc. La energia potencial de un electron que se
encuentra a una distancia r de la carga positiva
del nucleo de carga q es
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Estados ligados y libres en solidos
La energia potencial 1D de un electron debido a
un arreglo de nucleos de carga q separados por
una distancia R es, Donde n 0, /-1, /-2
etc. Esto es mostrado por la linea negra en la
grafica.
0
V(r)
E2 E1 E0
V(r) Solid
V(r) es mas bajo en el solido (funcion trabajo).
Cuadro Simple estados de energia menos ligados
pueden moverse libremente atraves del cristal
r
0
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Niveles de Energia y Bandas
En solidos los estados electronicos de electrones
fuertemente ligados son muy similares a los
estados de atomos aislados.
Estos estados pasan a ser bandas de estados
permitidos
Solamente hay conduccion para bandas parcialmente
llenas
Bandas de estados de energia permitidos
E
posicion
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Porque los metales son buenos Conductores
Consideremos un cristal metalico de Sodio
compuesto de una red iones Na, donde los 10
electrones que ocupan las capas 1s, 2s y 2p,
estan unidos al nucleo, mientras los electrones
valencia 3s se mueven a traves del cristal Los
electrones de valencia forman un gas muy denso.

Debemos esperar que los electrones cargados
negativamente interaccionen fuertemente con los
iones positivos de la red y entre ellos. Sin
embargo los electrones valencia interaccionan
debilmente entre ellos y en una red perfecta no
son dispersados por los iones positivos
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1.3 Electrones libres clasicos Consideraciones

• Consideremos un gas de electrones libres clasico
  en presencia de campos electricos y magneticos.
  Las expresiones obtenidas seran utiles cuando se
  consideren metales reales
• (i) ELECTRONES LIBRES Los electrones
  valencia no son afectados por la interaccion con
  los iones. Su comportamiento dinamico es como si
  no hubiesen fuerzas internas originadas dentro
  del conductor
•  
• (ii) ELECTRONES NO INTERACTUANTES Los
  electrones de valencia de un gas de electrones no
  interactuantes se comportan como ELECTRONES
  INDEPENDENDIENTES ellos no muestran un
  comportamiento colectivo
•  
• ELECTRONES SON PARTICULAS CLASICAS
•  
• (iv) ELECTRONES SON DISPERSADOS POR DEFECTOS EN
  LA RED Colisiones con defectos limitan la
  conductividad electrica.Esto es considerado en la
  aproximacion tiempo relajacion

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1.3.1 Ley de Ohm, velocidad de deriva

• V E/L IR (Voltios)
• Resistancia R rL/A (Ohms)
• Resistivity r AR/L (Ohm m)
• E V/L rI/A rj (Volts m-1)
• Conductividad s 1/r (B0)
• j sE (Amps m-2)
• I dQ/dt (Coulomb s-1)

Fuerza sobre electrones F -eE resulta en una
velocidad de deriva cte, vd. Carga elemento
volumen dQ -enAdx
10
1.3.2 Aproximacion tiempo relajacion

• En equilibrio, en la presencia de un campo
  electrico, electrones en un conductor se mueven
  con una velocidad de deriva cte, debido a que la
  dispersion produce una fuerza de friccion.
• Consideraciones aproximacion tiempo relajacion
•  
• 1/ Electrones sufren colisiones. Cada colision
  randomisa el momentum del electron. El momentum
  del electron despues de la dispersion es
  independiente del momentum antes de la
  dispersion.
•  
• 2/ Probabilidad de occurrir una colision en un
  intervalo de tiempo dt es dt/t.
• t is llamado el tiempo dispersion, o tiempo
  relajacion momentum.
•  
• 3/ t es independente del momentum inicial del
  electron y de la energia

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Relajacion del Momentum
Consideremos electrones, de masa me, moviendose
con una velocidad de deriva vd debido a un campo
electrico E, el cual es desconectado en t0. En
t0 el momentum electron promedio es   En un
intervalo dt el cambio fraccional en el momentum
del electron promedio debido a colisiones
es integrando de t0 to t tenemos tp es el
momentum caracteristico o tiempo relajacion de la
velocidad de deriva
p(t 0) mevd(t 0)
dp/p(t) - dt/tp dp/dt -p(t)/tp
p(t) p(0)exp(-t/tp )
12
1.3.3 Conductividad Electrica

• En la ausencia de colisiones, el momentum
  promedio de electrones libres sujeto a un campo
  electrico E es dado por
•  
•  
• La rata de cambio de momentum debido a colisiones
  es
•  
•  
• En equilibrio  
•  
• Ahora j -nevd -nep/me (ne2tp /me) E
•  
• Asi la conductividad es s j/E ne2tp /me

La movilidad electronica, m, es definida como la
velocidad de deriva dividida por el campo
electrico m vd / E etp /me (unidades
m2V-1s-1)
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1.3.4 El Efecto Hall

• Un Campo Electrico Ex causa un flujo de corriente
  jx

• Un campo magnetico Bz produce una fuerza de
  Lorentz en la direcccion y sobre los electrones.
  Electrones se acumulan en una cara y carga
  positiva en la otra produciendo un campo Ey .

F -e (E v ? B). En equilibrio jy 0 asi
Fy -e (Ey - vxBz) 0
Portanto Ey vxBz
jx -nevx asi Ey -jxBz/ne
La resistividad Hall es rH Ey/jx
-Bz/ne
El coeficiente Hall es RH Ey/jxBz -1/ne
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El Efecto Hall
E
jjx
vd vx
Ey

• El coeficiente Hall RH Ey/jxBz -1/ne
• El angulo Hall es dado por, tan f Ey/Ex
  rH/r
• Para muchos metales RH es bien descrito por esta
  expresion y esta es usada para obtener la
  densidad electronica n.
• Sin embargo el valor obtenido de n no siempre
  concuerda con el numero de electrones de valencia
  y en algunos casos el efecto Hall de metales
  ordinarios tales como Pb y Zn, es positivo
  pareciendo indicar el transporte de cargas con
  signo positivo.
• Esto es totalmente inexplicable dentro del modelo
  del electron libre.

Ex
15
1.4 El modelo del electron libre
cuanticoConsideraciones.

• ELECTRONES LIBRES Los electrones de valencia no
  son afectados por la interaccion electron-ion. Su
  comportamiento dinamico es como si sobre ellos no
  estuvieran actuando fuerzas internas al
  conductor. 
• (ii) ELECTRONES NO INTERACTUANTES Los
  electrones de valencia de un gas de electrones no
  interactuantes se comportan como ELECTRONES
  INDEPENDENDIENTES ellos no muestran un
  comportamiento colectivo
•  
• (iii) ELECTRONES SON FERMIONES Obedecen la
  estadistica de Fermi Dirac
•  
• (iv) ELECTRONES SON DISPERSADOS POR DEFECTOS EN
  LA RED Colisiones con defectos limitan la
  conductividad electrica.Esto es considerado en la
  aproximacion tiempo relajacion

16
ESTADOS K PERMITIDOS Y LA DENSIDAD DE ESTADOS

•  
• Vamos a determinar
• Los estados de energia permitidos o en forma
  equivalente los estados K permitidos. Un problema
  similar al caso fononico.
• La distribucion de estos estados permitidos

17
Ecuacion de Schrödinger para el electron libre
Consideremos electrones libres dentro de un cubo
de metal de lado L. Debemos resolver la ecuacion
de Schrödinger con las condiciones de frontera
adecuadas para obtener las funciones de onda
?(r).
Coloquemos V(r) ? 0 ya que los electrones son
considerados libres Podemos colocar ?(r) 0
en la superficie del cubo. Asi obtenemos los
estados de energia permitidos. Podemos tambien
escoger Condiciones de frontera periodicas, es
decir el valor de la funcion de onda es la misma
en las caras opuestas del solido
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Estados K permitidos
Condiciones de frontera periodicas ?(x, y, zL)
?(x, y, z) ?(x, yL, z) ?(x, y,
z) ?(xL, y, z) ?(x, y, z)
Las soluciones son ondas progresivas.
Los estados permitidos no normalizados son ?(r)
expik.r donde
nx, ny, y nz /- 1,2,3,4
Los estados k permitidos en el espacio reciproco
estan igualmente separados Un
estado en el volumen (2p/L)3 en el espacio k
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Espacio K
Cada punto representa un estado permitido Estados
k permitidos estan uniformemente espaciados
Un estado en el volumen (2p/L)3
Los estados K son discretos, sin embargo en un
conductor de tamaña normal hay 1026 estados lo
que puede pensarse como un continuo
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Densidad de estados D(k)
kx
21
Densidad de Estados D(E)
Para todo estado k hay un correspondiente estado
de energia. Del ppio de Exclusion de pauli cada
estado puede acomodar 2 electrones de spin opuesto

• La densidad de estados, es decir el numero de
  estados disponibles en el rango entre E y EdE
  es
•  
•  
• Esto es cierto para electrones libres donde
  tenemos E ?2k2/2m.

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Funcion distribucion Fermi-Dirac

• La densidad de estados nos dice que estados son
  disponibles disponibles. Queremos saber como es
  la ocupacion de estos estados
•  
• Electrones obedecen el ppio de exclusion de Pauli
  . Solo podemos tener dos electrones en cada
  estado cuantico

La funcion que da la probabilidad de Ocupacion de
un dado estado cuantico es la funcion
distribucion Fermi-Dirac f(E).
Para T0 todos los estados estan ocupados hasta
una energia llamada la energia de Fermi, EF , y
todos los estados por encima de EF estan vacios
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La Energia de Fermi
El numero de estados ocupados por unidad de
volumen en el rango de energia entre E y EdE es
entonces Donde D(E) es por m3

• Podemos calcular EF insistiendo en que la suma de
  estados es igual al numero total de electrones de
  valencia por unidad de volumen,
•  
• Esto conduce a
•  

Figura 1.4 n(E) a T 0
24
La Superficie de Fermi
Metales tienen una energia Fermi, EF. La
Temperatura Fermi,TF, es la temperatura a la cual
kBTF EF. Todos los estados electronicos en una
esfera de Fermi en el espacio k estan llenos
hasta un vector de onda de Fermi,kF. La
superficie de esta esfera es llamada la
superficie de Fermi En la superficie Fermi los
electrones libres tienen una velocidad de Fermi
vF hkF/me.
Cuando los electrones no son libres la superficie
de Fermi aun existe pero no es una esfera.
25
El efecto de la temperatura
A una temperatura T la probabilidad que un estado
este ocupado es dado por la funcion de
distribucion
Funcion de distribucion de Fermi para TF
50,000K, aprox temperatura de Fermi del cobre
Donde µ es el potencial quimico. Para kBT ltlt EF
µ es exactamente igual a EF
La energia termica solo cambia el numero de
estados disponibles en un rango de kBT
alrededor de EF.
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Capacidad Calorifica Electronica
Consideremos un metal monovalente, esto es el
numero de electrones libres es igual al numero
de atomos. Si los electrones libres se comportan
como un gas de particulas clasicas, la energia
interna a una temperatura T, es dada para cada
particula U (kBT/2) x n (numero de grados
de libertad) Asi que el calor especifico
electronico es, CV dU/dT 3/2NkB. A
temperatura ambiente el calor especifico de red
es 3NkB En la mayoria de metales, a temperatura
ambiente, CV es muy cercano a 3NkB. La ausencia
de una contribucion electronica al calor
especifico CV fue historicamente la mayor
objecion al modelo del electron libre. Si los
electrones son libres para portar una corriente,
porque ellos no son libres para absorver energia
termica?
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Capacidad Calorifica Electronica
La energia total de los electrones por m3 en un
metal puede ser dada por E Eo(T0) DE(T).
Donde Eo(T0) es el valor a T0.
A una temperatura T solo aquellos electrones en
el rango de energia de kBT alrededor de EF
pueden adquirir una energia mayor comparados con
los electrones en T0. El numero de electrones
que incrementan su energia por el efecto de la
temperatura es, n(kBT/EF) donde n es el numero
de electrones por m3
Cada uno de estos electrones incrementa su
energia en kBT
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El calor especifico electronico es por tanto Un
calculo eaxacto es (Kittel p151-155) En terminos
de TF
demostrar
Para metales tipicos esto es 1 del valor del
gas clasico de electrones. Ejemplo, Cobre (T/TF)
300/50,000 0.6 A temperatura ambiente la
contribucion fononica es la dominante
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Calor Especifico a bajas Temperaturas
Calor especifico electronico
A bajas temperaturas tenemos, El primer
termino es debido a electrones y el segundo a
fonones. La dependencia lineal es observada para
todos los metales. Sin embargo el valor de ?
observado es ligeramente diferente del valor del
modelo del electron libre
donde g y a son constantes